用小學數學看世界

前言─從原始構想到動態思考

序　章●個別思考與虛構的感覺─何謂「算數的構想」
算數的負面印象
擅長數學的人怎麼看待算數
算數和數學的差異---個別性和普遍性
算數的根本有先端科學的構想
追趕問題中的世界觀
算數的虛構感覺
虛構的效果---牛頓和海森堡
一起搭計程車該怎麼分攤車費
算數的構想能讓你以更豐富的角度看待世界

第I部 透過單純的構想看清世界的演變

第一章●從「追趕問題」到宇宙論─從相對角度看待事物的構想
追趕問題的想法
從國中生的角度重新思考追趕問題
算數特有的哲學
饒富趣味的應用問題
從追趕問題到物理學
救護車的鈴聲音高改變的原因
都卜勒效應和相對速度
都卜勒的實驗
光的都卜勒效應和宇宙膨脹
可以在前進的電車上休息的理由
動量不變
人生中的相對性
回到「哈伯定律」
規模浩大的追趕問題

第二章●從「高斯問題」到環境問題─倒過來看玻璃杯的構想
天才高斯的小故事
倒過來再相加的技巧
高斯的速算法
有點高級的應用問題
避險和高斯問題
自由競爭與最佳化
市場交易的過程
市場交易中的高斯問題
調整價格實現最佳均衡---瓦爾拉斯定律的證明
畢固提出反例
畢固所提出的外部不經濟的例子
圖解「社會利益」的方法
圖解外部不經濟
以課稅制度解決公害

第三章●從「相似圖形」到碎形（fractale）─無限的構想
從「相似」觀點看世界
相似和面積的關係
證明「相似和面積定律」
瓦特的蒸汽機
利用相似證明畢氏定理
自我相似（self－similar）碎形
考區曲線也出現在國中入學考試
史賓斯基地毯
曼德布洛特的新發現
愛因斯坦也發現了碎形
浸透和臨界現象
世上真的有碎形嗎？
碎形的周長和面積
減低「次元」，掌握觀念
小學算數能幫助我們計算次元
求碎形的次元
里亞式海岸的碎形次元
日式居家建築的碎形
碎形暴露經濟社會的秘密

第II部 以柔軟的思考看穿社會的結構

第四章●從「工作問題」談到日本的景氣停滯─看穿景氣低迷的思考
工作問題的想法
如何解決更深入的問題
牛頓問題的想法
經濟世界的牛頓問題
經濟成長的原理
投資對社會是貢獻？
秘訣在於要考慮每一個人
處於穩定狀態經濟也會成長
儲蓄率的影響
日本的高度成長和高儲蓄率之謎
少子化對於經濟有什麼影響
盛極必衰？
「失落的十年」原因何在
景氣低迷的原因
林．普列斯卡模型
對經濟成長理論的期望

第五章●從「數數有幾種」談到熵（entropy）─解讀社會貧富差距
數數有幾種的技巧
關鍵是「不遺漏，不重複」
樹狀圖的技巧
排列．組合的技巧
「同質性」和「異質性」的觀點
無法倒帶的自然現象
以樹枝圖表現氣體分子
不受「鎌鼬」鬼怪侵襲的原因
變得混亂的力量
熱現象與熵---以錢為比喻
社會貧富差距與熵
和國中入學考有關的「資訊與人際網絡」
六年一貫綜合中學和公立國中「各據山頭」的模型

第六章●從「集合問題」談利益分配─解讀社會貧富差距
集合問題與范恩圖
三個集合的排容原理
應用排容原理
有趣的因數倍數法則
數學家梅比烏斯（Mobius）的發現
尤拉函數的發現
了解排容原理和梅比烏斯反轉公式
如果有主從關係，就能作梅比烏斯反轉
共乘計程車的車費分攤方式
三人共乘的問題
出現梅比烏斯反轉公式
薛普利值的合理性
從數數看有幾種情況的觀點來看薛普利值
議會的政黨角力

推薦序

導讀小島寬之新書

　　這是一本掌握數學思維的經濟學家所寫的數學普及讀物！作者小島寬之能夠為我們解釋「『算數樸素而原始的構想』其實和先端科學的看法、想法相通」，顯然擁有非常成熟的數學心智，否則大概無法強調「算數的構想是人類最接近本質的思考方法，可以解開人際關係、社會現象、宇宙之謎。」舉例來說，本書最令人心折的數學普及書寫，莫過於有關碎形的次元（或維度）之說明。作者從相似圖形與面積公式這些小學算數的概念切入，即可定義並計算碎形的次元（或維度），他的論述平易可解，筆調親切宜人，真是不負科普書寫之使命。作者所以介紹碎形，當然與股價的走勢圖形有關。不過，作者為了徹底理解碎形，想必投注了可觀的心力才是。

　　日本人所謂的「算數」，是指我們所說的小學「算術」，只要活用小學算術，就可以幫助我們解決那麼多的人文、社會與自然等問題，的確令人匪夷所思！不過，一旦細心地進入本書鋪陳的數學世界，一定可以相信作者所言不虛！

　　對很多人而言，小學算術當然重要 － 日常生活必定少不了它，不過，加減乘除運算及其相關的應用題，似乎是讀者共同的回憶（也許不怎麼愉快）。然而，小學算術中的「追趕問題」和「工程問題」到了作者筆下，都成了大哉問，真是令人驚奇！追趕問題解法的適當應用，可以幫助我們解釋救護車鈴聲音高改變的都卜勒效應，至於工程問題，則觸及日本少子化對於經濟影響的因素。以這些為例，小島寬之邀請我們依序「透過單純的構想看清世界的演變」（本書第I部份主題）、「以柔軟的思考看穿社會的結構」（本書第II部份主題）。

　　誠如作者所說，算數的構想能讓我們以更豐富的角度看待世界，這是因為「算數的構想累積了日常生活、人際關係、人生經驗的諸多觀點」，因此，一旦掌握了「算數的單純看法、原始點子，也能讓你的生活更豐富，滋潤你的人生。」作者當然也注意到數學 － 其中代數的思維應該是核心部份 － 的重要性：「數學的『普遍操作性』能節省思考步驟和時間，提高『效率性』，或者避免想法有缺失，避免跳躍，確保『嚴密性』」，不過，希望從比較綜合、直觀的角度看待或欣賞世界，還是有賴算數的「個別思維」模式。

　　本書作者小島寬之出身東京大學數學系與經濟研究所，專業領域為數理經濟，又廣泛接觸科普作品（含小說與電影），因此，他每能就近取譬（本書例子大都十分有趣、切合實用），讓本書內容更加平易近人。因此，本書跟他的《從數學看人類進步的軌跡》一樣，都非常值得推薦，希望大家一起來「戴上『算數構想』的有色眼鏡，享受世界繽紛的一面。」

洪萬生
台灣師範大學數學系

前言

從原始構想到動態思考

　　二零零六年四月，我到J-WAVE電台「Growing Reed」節目中擔任特別來賓，討論的主題是「數學有用嗎」。主持人是V6（編註：日本的超人氣偶像團體）的岡田准一，他完全沒有偶像的架子，是個穩重的年輕人，令人喜愛。我和他討論了一個小時，非常開心（參考資料(1)的網站有詳細內容）。

　　和岡田准一的談話中，讓我吃驚的是，他認為算數和數學是「由老師設計問題，早就有答案的規定」。不只岡田准一如此，許多人心裡應該也是這麼想的。所以我對他說：「數學發展的方式，隨著國家、時代、文化改變，現在數學還在進化中。」他非常驚訝，雙眼流露出小男孩似的好奇光芒，我看準機會，說：「算數和數學的構想並不只是為了通過學校的考試，而是散佈於日常生活、人際關係到宇宙之謎，柔軟多變化，是人類的文化也是資產。生而為人，尚未了解數學就離開人世，實在可惜。」聽到這段話之後，岡田准一那恍然大悟的表情，至今仍然烙印在我心中（他長得很帥當然也是原因之一）。他身為偶像卻非常敏銳，光是聽到這段話就全都明白了。

　　這本書正是為了告訴像岡田准一一樣的讀者，算數的魅力何在。書中所列舉的許多算數問題，將帶領大家享受解法背後特有的構想。我挑選的問題幾乎都是國中入學考的問題。算數是（日本）小學必修的科目，上了國中之後稱為數學。這本書要證明算數和數學不只是名稱不同，而是本質上帶有不同構想的領域。只要大家隨手翻閱就知道，這本書的目標並不是希望大家「能解答」算數問題。

　　這本書究竟是什麼樣的書？

　　這本書列舉了許多領域的例子，為大家解釋「算數樸素而原始的構想」其實和先端科學的看法、想法相通。每一章都從算數的「○○問題」開始，在不知不覺中就已經跳到先端科學的成果。介紹的科學包括物理學、經濟學、數學、統計學、賽局理論，豐富多樣。

　　算數的構想是人類最接近本質的思考方法，可以解開人際關係、社會現象、宇宙之謎。即使不懂數學，也可以省略了解數學的步驟，只靠算數就能了解先端理論。實際上，不透過數學反而比較容易了解某些領域。本書網羅了所有這一類的領域。

　　序章以分析的角度敘述「何謂算數的構想」。第I部包含一到三章，匯集讓人對大自然到宇宙完全改觀的話題。第一章從「追趕問題」談到宇宙膨脹的話題，第二章從「高斯問題」談到環境問題，第三章從「相似」談到複雜系的話題。第II部包含四到六章，介紹的構想可以解讀人類社會複雜而麻煩的結構。第四章從「工作問題」談到日本景氣停滯＝「迷失的十年」的話題，第五章從「數數有幾種」談到熵（entropy）再解讀社會貧富差距，第六章從「集合問題」談到利益分配的問題。

　　希望大家看了筆者的文章，改變對算數的印象，戴上「算數構想」的有色眼鏡，享受世界繽紛多彩的一面。