從生活 學數學 -曹老師的生活數學教室3

序  數學就在你身邊

第0篇  學篇
——學什麼、怎麼學
0.1  人是尋求規律的動物
0.2  從規律到胚騰
0.3  問路
0.4  尋根
0.5  成績單的學問

第1篇  說篇
——說什麼、怎麼說
1.1  1、2、3……
1.2  向前看，怎麼解？
1.3  雞同鴨講
1.4  分門別類
1.5  舉一反三

第2篇  算篇
——算什麼、怎麼算
2.1  現代的覺者
2.2  焦點新聞數字
2.3  差不多先生的一天
2.4  去零術
2.5  八分之七等於一
2.6  潛在的無窮

第3篇  變篇
——變什麼、怎麼變
3.1  代數思維的核心
3.2  類化的系統
3.3  關係的類化
3.4  數學模型
3.5  等比的世界
3.6  音，調對了嗎？
3.7  頻率的平均

第4篇  看篇
——看什麼、怎麼看
4.1  找路
4.2  登高遠眺
4.3  台灣的面積
4.4  左邊的路給誰走？
4.5  孿生的左與右
4.6  對稱
4.7  帶狀裝飾

第5篇  想篇
——想什麼、怎麼想
5.1  數學是一種語言
5.2  集體與個別之間
5.3  人皆有死
5.4  混水可摸到魚？
5.5  0與1之間的選擇
5.6  挑戰約定，突顯特色

延伸閱讀

序言

曹亮吉
數學就在你身邊

　　幾年前我寫了一本書《阿草的葫蘆》（遠哲科學教育基金會出版），特別標明「人類文化活動中的數學」。出版後頗受好評，不過也有人告訴我，還是寫得太深，跳得太快。

　　我承認，該書的讀者應該是已對數學有興趣，而更想知道數學在文化中所扮演角色的人。我考慮，是否該寫一本書，能讓一般讀者發現數學是身邊事，因而引起對數學的興趣。

　　參加國中小學九年一貫課程數學領域的設計，讓我更能體會到，一般國民需要什麼樣的數學。所以我就寫了現在這本書，定位是一般國民能夠知曉的數學，內容固然有些九年義務教育該學習到的數學，也有不少以義務教育為基礎，在終身學習的實踐中，一位成熟的社會人士也能領會的數學。

　　「數學是科學之母」，學科學的人都會同意這樣的主張，但一般人為什麼要學數學？很多人說離開學校後，除了簡單的算術外，數學是沒有用的；少數人說學好數學腦筋會比較清楚。前者屬數學無用論，後者屬數學抽象有用論。無論怎麼說，數學教育之功能是件很神祕的事。

　　這使我想起了尋找聖杯的故事。從十二世紀開紀，英國流傳亞瑟王及圓桌武士的故事。除了主架構外，後人又添加了許多新武士及他們的冒險故事。冒險故事之一就是尋找聖杯。

　　聖杯是耶穌及其門徒，在最後晚餐所用的杯子，自然神聖得很；傳說聖杯又可變出許多食物，所以又是有用得很。「神聖得很」類似於數學抽象有用論？「有用得很」類似於「數學是科學之母」，或者對一般人真有用？

　　傳說聖杯放在某一個古堡中，也傳說聖杯無所不在，於是眾多武士忙得不亦樂乎。從事數學教育的人也在問，數學的聖杯是什麼？在哪裡找得到？經過多年的尋尋覓覓，我認為數學的聖杯就是數與形所能呈現的各種胚騰（pattern）——廣義的規律，在日常生活中，在各領域裡，它是無所不在的。

尋找數學聖杯

　　我把各處找到的數學聖杯，彙整成這本書。這本書採例舉式的，儘量用實際的例子來表達意旨。全書36篇文章，依類分成6大篇，各以「學、說、算、變、看、想」為題。

　　「學」篇強調學數學的重點應擺在胚騰的追求與了解，胚騰指的是各種廣義的規律，在許多事務中的數與形都會出現。學會追尋胚騰，使得數學能力生根，學數學才真正有用。

　　裡面有兩篇文章談規律與胚騰。＜人是尋求規律的動物＞這篇文章，原來出現在黃敏晃教授所著《規律的尋求》（心理出版社出版）一書中，是我替該書所寫的一篇序文。第二篇文章＜從規律到胚騰＞則說明「廣義的規律」是什麼，為什麼選用「胚騰」做為pattern的中譯。另外的三篇文章則舉例談數學的學習。

　　「說」篇談的是一般語言中，牽涉到數字的語彙，譬如數數、計量、說時間、說空間、說順序等等。我們用十進位夾帶萬進位數數，很有特色。我們用數詞來做為點數實物的單位，但數詞應用對象的歸類太馬虎，造成學習數詞的困擾。時間、空間、順序的說法，如果不去注意說話者的時空背景，有時會造成雞同鴨講的窘境，譬如「向前看」怎麼解？下一班車、這一班車又怎麼移轉？

　　另外，有些用語和說法與數學有關，如亂七八糟、舉一反三等，已融入日常用語中，借來做為類比之用。能深究其原意，更能了解這些用法的深意。

　　「算」篇談的是算術。算術不只是計算規則而已。我們經常遇到很大的數目，不可能細數，只能估算。估算當然要了解相關事務的背景。要與日常生活或其他領域連結，數學才會有用。連結從算術就得開始。

　　隨著時間的推移，有些數目，譬如要過的日子、人口的多寡、航班的號碼，都有無限增長或重複利用的可能，我們稱之為潛在的無窮。怎樣掌握潛在的無窮，算術也能扮演重要的角色。

　　「變」篇談的是代數，強調「變」是代數思維的主軸：把同類的事務，以變數x做標記加以類化；隨著事務x的變化，事務某種特定的性質f(x)也隨之變化。如何類化？如何由x確定f(x)？如何由f(x)之特值確定x？這三個問題都屬代數的範疇。通常代數的教學過分重視第三個問題，也就是設未知數解方程式的問題。其實在日常生活中，解方程式的機會是絕少出現的。第二個問題是建立模型的問題。類化與模型的應用最為廣泛，應是一般人學習代數的重點。

　　計量心理學家提出了感覺M與刺激E之間的數學模型：E是M的指數函數。它可應用到地震規模與能量、星星的星等與亮度，甚至推而廣之，到都市規模、人才等級等等。另外各種成長現象，甚至音樂的音階設計，也可通過指數函數的數學模型來了解。

　　「看」篇談的是幾何。我們不談平面幾何的推理，而強調的是「看」：看地圖、地標找路、看視界的遠近、看面積的大小。這些都是簡單的幾何應用，案例卻是潛在的無窮。

　　我們也注意看平面的位置變化，鏡射的、平移的、旋轉的，進而探討各種對稱及帶狀裝飾。在這裡，我們發現了數學與藝術接壤的地方，數學提供了基本胚騰的理論基礎，藝術則在基礎之上發揮，做各種多采多姿的變化。

　　「想」篇說明數學是一種語言，當然有其思考的特色。我們把這種特色融入一般語言之中，於是歸納的意義、個體與集體之間的關係、集體與整體的不同、三段論法的應用、充分必要條件的區分、多元的可能與選擇等等，就比較容易想得清楚。甚至幽默與笑話之所以幽默與好笑，也可以有些數學的道理。

　　一本書不可能道盡尋找數學聖杯的所有故事，這本書希望能帶給讀者尋找數學聖杯的喜悅與衝動。