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觀念數學 1 如何學好中學數學

觀念數學 1 如何學好中學數學

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內容簡介

  從國小、國中,到高中、大學,不同的階段,有不同的學習方法與學習重點,
  《如何學好中學數學》專門針對高中階段的數學學習,
  清楚指出高中與國中的學習方法有何不同,
  並以現行課程的實例來解說,是全方位的高中數學學習方法。

  這本書要告訴你:學習方法正確了,不但能學好數學,更能學得輕鬆。

作者簡介

任維勇

  台灣大學數學系畢業,師大數研所碩士。

  有二十多年教學經驗,
  曾為台北市教育局高中數學輔導團成員,
  現任北一女中數學教師。

  著有《觀念數學1-如何學好中學數學》
    《觀念數學2-中學代數解題策略》。

 

目錄

前言

第一章  打破數學學習的迷思
迷思1. 國中數學是這樣學的,高中數學也應該這樣學。
迷思2. 國中數學都學不好,高中數學沒救了。
迷思3. 數學學不好就是因為演算題目不夠。
迷思4. 多背點公式就能解出題目了。
迷思5. 多學點特殊技巧就可以解出難題。
迷思6. 懂不懂沒關係,反正我會做題目就好。
迷思7. 我懂這是什麼,只是我說不出來。
迷思8. 數學考不好,趕快去補習就可以了。
迷思9. 數學考不好,趕快請家教就可以了。
迷思10. 數學學不好,因為我的頭腦不好。
迷思11. 多看幾遍自然就懂了。

第二章  數學的特性與學習
1. 學習數學的歷程──一張藍圖
2. 數學是理解的科目
3. 數學題目可以分成三種層級
4. 數學是絕對精確的
5. 數學需要不斷的思考
6. 數學題目非常多又非常相似
7. 數學的內容是環環相扣,累積起來的
8. 數學是有趣的
9. 只要方法正確,每個人都能學好高中數學

第三章  正確學習數學的方法
1. 新學一個定義
1-1 數學化的定義
1-2 深入了解一個定義
1-3 數學化定義也可能有很多種
1-4 直觀的定義與數學化的定義交互使用
1-5 定義有主要部分與附帶條件
1-6 類似定義的數學式
2. 新學一個公式或定理
2-1 哪些公式要背?
2-2 深入了解一個定理
2-3 實例說明
3. 如何去記一個公式或定理
3-1 多半公式不需要死背
3-2 算熟了就自然記下來
3-3 用特例去推廣公式
3-4 用性質或特例去記公式
3-5 可以互推的公式只記一個
3-6 類似公式一起背
3-7 用一個公式去推其他公式
3-8 只記公式的關鍵
3-9 用圖形記公式
4. 注意等價的關係
5. 基本的解題策略
5-1 什麼是解題策略?
5-2 條件與求解(或求證)數學化
5-3 找尋條件與求解的關係
5-4 化簡的方向
5-5 假設未知數,再列方程式解之
5-6 條件式可以用來消去變數
5-7 題目屬於哪個範疇?有什麼公式可用?
5-8 可否代換成簡單的型態?
5-9 運用解題策略
6. 熟練基本運算──百分之百的理解
7. 理解標準題──提升理解的層次
7-1 這個題目怎麼做?
7-2 為什麼這樣做是對的?
7-3 為什麼會想到要這樣做?
7-4 這一類的問題該怎麼做?
7-5 多幾個例子
7-6 學會深入思考問題
8. 學完一個段落──構築解題策略
8-1 小範圍的解題策略
8-2 解題策略實例1:餘弦定理
8-3 中範圍的解題策略
8-4 解題策略實例2:餘式定理
8-5 解題策略實例3:進一步的三角問題
8-6 大範圍的解題策略
8-7 解題策略實例4:指數問題
8-8 解題策略實例5:比大小問題
8-9 解題策略實例6:算幾不等式
8-10 要建立自己的解題策略
9. 學習解思考題
9-1 解題思考的過程
9-2 解思考題的實例
9-3 解完思考題之後
9-4 有很多不同的解法
10. 考試作答技巧
10-1 看題目時慢一點、仔細一點
10-2 做完一題後,立刻重新看一遍題目
10-3 用代入特殊數值得答案
10-4 能不能猜答案?
10-5 隨時記得驗算
10-6 作答卷寫清楚
10-7 其他該注意事項
11. 如何避免粗心錯?
11-1 純粹的粗心錯
11-2 不精確的粗心錯
11-3 不專心的粗心錯

第四章  解決數學學習的問題
1. 我的孩子在學校上數學課都聽不懂,怎麼辦?
2. 我的孩子上課都聽懂了,可是考試都不理想,怎麼辦?
3. 我的孩子小考都還不錯,可是段考就不太理想,怎麼辦?
4. 我的孩子總是容易粗心錯,怎麼辦?
5. 我的孩子記性不好,公式總是背不起來,怎麼辦?
6. 我的孩子各科都很好,只有數學差,怎麼辦?
7. 我的孩子每次打開數學課本就發呆,怎麼辦?
8. 資優生也可能會有問題

附錄  簡易邏輯──數學的規則

 

前言

  執教二十多年,看過很多令人同情的學生、無助的家長,他們耗費了很多時間與金錢,卻沒有收穫。只因找不到學習方法,造成學生的痛苦,家長的無奈。學生最大的問題在於學習方法,大多數同學都沿襲不正確的方式,效果始終有限,因為他們已經養成了固有的學習習慣,不是三言兩語可以改變的。很多老師都會不斷提醒學生:「要理解,要思考,不要死背。」可是很少人能告訴學生如何理解、思考?如何學好高中數學?

  所謂不正確的方式,就是過度使用記憶與熟練,代替應有的理解與思考。很多學生就是這樣學數學:上課專心聽講、抄筆記,回家後拿出筆記,先背公式,然後將老師教過的再看一次,或照著筆記再算一次,然後拿出參考書,努力做題目,會的就做,不會的就看解答,不懂的就記下來。

  這樣也不能說錯,只是好像少了什麼?不錯,少了思考。高中數學最重要的是邏輯的因果關係,而計算過程是工具。模仿與熟練只適用在最基本處,真正的學習是要學到解決問題的能力。只在記憶與熟練,當然效果有限。

  簡單說,數學學習的最後成果是解題,解題的過程需要思考。數學思考與生活思考很類似,只是需要更精確,而且先要對數學內容有充分理解,才能夠運用數學知識做思考工具。深入的理解、精確的態度與自然的思考,就能學好數學。詳細地說,就是本書的內容。

  坊間也有不少有關數學學習的書籍,大多是翻譯國外著作。有的適用於研究者,談的是大環境、大方向;有的適用資優生,談的是解題的技術;有的只是用趣味碰觸數學,而無實際幫助。沒有一本針對高中生的數學學習。

  我用了兩年多寫出這本書,針對高中生,詳細寫出正確的學習方法,其中範例也都取自目前國、高中的教材。同時也告訴學生為什麼要這樣做?只有先了解為何現在的學習無效,才能了解為什麼要改變自己習慣的方式,才願意試著用本書所說的方法。其中一部分的內容,也合適家長閱讀,讓家長也能了解該如何幫助孩子。

  本書所說的方式是高標準的,如能完全做到,必能成為數學高手。開始時也許很難完全做到,只要確認學習方向做下去,一旦習慣了,不但能學好數學,更能學得輕鬆,並且享受數學的樂趣。

  不同的階段,各有不同的學習方法,國小、國中、高中、大學的學習方法與重點,都有些不同,本書針對的正是高中階段的數學學習。有少數國中生,已經能以本書所談的方式學數學,這些學生多半也是能夠輕鬆又快樂學好數學的學生。不過,限於國中生的心智成熟度與課程需要,也不用強求,以免揠苗助長,大約在國三時逐漸改變即可。至於高中生,就必須用本書的方式學習了。將來上大學後,學習必須更深入,思考必須更精確。

  本書共分四章。

  第一章為打破數學學習的迷思,我列出11項似是而非、不完全正確、卻是很多人的直覺想法。我深入說明或加以修正,希望破除這些迷思。建議家長與學生一起閱讀,也可以一起討論,當你們也能體會出,只靠記憶與熟練無法學好數學,才能真心願意去改變學習習慣。

  第二章為數學的特性與學習,這裡要重建學生對數學的正確認識,也說明正確的學習態度。我要強調,學習數學所需要的思考,與我們日常的思考差別不大,只要運用自己的智慧,將它用在數學上。

  第三章為正確學習數學的方法,也是本書最重要的一章,內容即在詳細解說學習數學的細節與數學思考的方法。請學生仔細閱讀,並且想一想是否這才是理解數學的方法?盡量照著做,最好還能經常翻閱本章,並檢視自己的學習。剛開始沒辦法完全做到,也沒關係,先至少做到一部分,就會對數學有全新的感受,覺得有效了,再更全面地去做。

  第四章為解決數學學習的問題,這一章我將學生的問題細分成多種類型,直接針對各種類型,提供最可能的原因與改進的方法。家長和學生可以一起想想問題出在哪裡,再做相應的改正。

  附錄是簡易邏輯,如要精確的學習數學,了解數學的邏輯是必要的,學生若還不清楚,就必須學習。我盡量用淺顯的方式說出重點,並將學生最容易犯的錯誤列出來。

  能夠完成這本書,要感謝所有教過我與被我教過的人,是你們讓我對數學學習有這麼深的感受。尤其是老婆在我寫書期間對我的包容,以及北一女中溫、良兩班寶貝給我的鼓勵,其中蘇意涵、林妏霙同學更給我很多寶貴意見。

  如何使用本書──家長

  首先,致上個人真摯的敬意。會閱讀本書的家長,不僅是關心孩子課業,而且是會去尋求適當方法的家長。

  教育孩子真的是門學問,也是挑戰,是一種甜蜜的辛苦。對父母而言,孩子的成長只有一次,失敗就很難重來。我也是孩子的爸,常常覺得教育的資訊不易取得,就書籍而言,只有學齡前教育比較充足,上國中以後,幾乎就只看得到參考書,明知道那是填鴨,可是有別的選擇嗎?

  上高中以後,很少家長有辦法自己幫助孩子,我遇過不少父母是博士、教授,可是術業有專攻,他們也無法樣樣顧到。像我是高中數學老師,我也只懂數學,孩子的英文我就一竅不通了。

  有人以為只有成績不好的學生家長才會覺得困擾,實際上,關心孩子的家長多半都戰戰兢兢的看著孩子成長,不管是生活還是課業,成績不好會令人擔心,成績好的希望他更好,有時看到家長的焦慮甚至超過孩子。

  這裡順便提醒各位家長:去尋求更好的方法幫助孩子,而不是一味的要求孩子。還有,不要讓孩子看見自己的焦慮;父母的焦慮有時也會變成孩子沉重的壓力。

  即使各位家長完全不懂數學,那也無妨,請先仔細閱讀本書第一、二章,去了解數學的特性與學習的方式。這兩章與數學內容無關,每個人都可以看懂,也可以和孩子一起看,一起討論。了解數學的特性,才有辦法幫助孩子,而不只是一再要求孩子努力得高分而已;同時,也可以知道孩子面對的困難是什麼,該怎樣去循著正確的方法學數學。然後再看第四章,針對孩子的問題,提醒孩子改正習慣。

  如何使用本書──國中畢業生

  首先,恭喜你進入學生生涯的新階段,既期待又怕受傷害;也恭喜你閱讀本書,踏出了正確的第一步!過去很多優秀的國中畢業生,到了高中就受到嚴重的傷害,於是很多人盡量提早學習高中教材的內容,但其實,更重要的是要學習高中該有的學習態度與方法。

  曾聽過一個建中資深老師說,他遇過一個學生,從高二開始,數學通常只有兩種成績:0分和5分,0分是正常的,5分是因為題目有錯而送分。能考上建中,當然基測的數學成績一定很高,怎會有如此下場?不能適應高中數學,最後由挫敗到排斥變成放棄,令人惋惜。

  我必須提醒,高中數學與國中數學真的很不同,難度與廣度加大是必然的,學習的方法也勢必需要大幅的改變。回想從小學到國中階段,就有不少人被數學打敗了。通常不是不用功,而是學習方法無法隨階段改變,事實上,求學(或人生)的每一個階段,都有不同的方法和方向,不能順應變化而調整,勢必被淘汰。

  請先仔細閱讀第一、二章,先了解高中數學的難度,做好心理準備。再仔細閱讀第三章,完全不懂的例子可以跳過,等學到時再翻閱比較。要隨時拿出本書檢驗自己的學習方法是否正確。記著,本書提醒的是方法,照正確方法做下去才會有效果。
祝你們上高中後都有順利的起步。

  如何使用本書──高中生

  如果你已經讀完了高一數學,一定能體會高中數學變化多端,難以捉摸。閱讀本書後,一定會有很深的感觸。

  不論你現在的數學成績如何,請先仔細閱讀第一、二章,想一想書中所說的是否有道理。再仔細閱讀第三章,比較一下自己的學習。對於定義、定理的理解夠深入嗎?解難題時有自己思考嗎?改變學習的方式是很困難的,了解自己是改變的第一步。

  如果你正為數學苦惱,改變數學學習方法是唯一的路。改變永遠不遲,初期可能不適應,甚至因為破壞既有的節奏而痛苦。努力照著本書去做,做不徹底也無妨,先要求走對方向。首先掌握第三章第5節的「基本解題策略」,再配合深入的學習,試著自己去解題,很快就能對數學有新的感覺。

  如果你對於學習數學已有心得,你應該已經有了正確的方向,請你仔細研讀第三章第8節的「構築解題策略」,相信你一定會發現更多好方法,你也一定願意用更多的思考。本書會讓你再突破,讓你的數學百尺竿頭更進一步。

  祝你們都能在數學中找到樂趣。

 

詳細資料

  • ISBN:9789863200819
  • 叢書系列:科學天地
  • 規格:平裝 / 298頁 / 20.5 x 20.5 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

第一章 打破數學學習的迷思

大家都明瞭「給他魚,不如給他釣竿」的道理,不只是給他釣竿,更要先讓他明白為何要用釣竿,還要教他怎樣使用釣竿,否則給了他釣竿,可能變成了曬衣竿或打狗棒。

不正確的學習方法,簡單地說,就是過度使用記憶與熟練來學數學,而不是用理解與思考。會有這樣的結果,其實是長期錯誤的習慣與認知造成的。而廣泛存在於許多人心中的一些迷思,更阻礙了學生調整學習方法的動機!唯有先打破對於數學的迷思,讓學生了解錯誤學習方式所產生的危機,才能使學生願意改正學習習慣和方法。

常常有新認識的朋友知道我是數學老師後,第一句話就是:「啊!數學是我以前最怕的科目。」這表示很多人在學生時代都恐懼數學。有的父母當年就怕數學,因為抓不到方法而學不好,現在教育子女,同樣不知道該如何督促他們學數學,有的仍舊沿襲自己當初的想法去要求子女,於是對數學的害怕就這麼代代相傳。不僅在台灣,這情況舉世皆然。

這一章我希望家長與學生一起閱讀,除了可以打破傳統上對數學的誤解,也能了解為什麼要改變學習方法。


迷思1. 國中數學是這樣學的,高中數學也應該這樣學。

我們先來看看,國中數學與高中數學有什麼不同?

從小學到大學,學習的方式需要不斷地改變。小學的數學幾乎都是用直觀,看得見的真實問題,覺得對就好,不需要證明,過程也不會太長。

國中的數學引進較多的符號系統,開始出現一些生活中不易印證的內容,有少許的證明,也出現一些規則,需要用推理來解決問題。

到了高中,數學離生活越來越遠,邏輯的推論漸漸占有更重的分量,推論必須更精確,題目的變化更大,解題的過程變長,直觀的想法已經不足以應付了。

如果大學讀數學系,那就變得更抽象了,幾乎完全是邏輯的思維,直觀只是輔助思考的工具。

每一個階段的學習方式和要求不同,是因為要配合學生心智的成長,這些改變是循序漸進的,會越來越接近純數學的本質。小學生無法用高中生的數學思考模式,高中生的數學也無法用小學生的方法學習。

原本學生按部就班學習,依著教材逐漸改變學習方式,應該不會有太大問題,可是由於升學考試的壓力,不只是學生,還包括家長和老師,常常因此而扭曲了數學的學習,這現象在國中與高中都很常見。

回到我們的問題:「是否可以用國中時的方法來學習高中數學?」這個問題,要看國中時期是如何學數學的,倒不是國中數學成績好,就一定可以照著以前的方法學習數學;至於那些國中時期就學得很辛苦的學生,當然更要修正學習的方法,否則高中數學會更慘。

只有兩種學生大致可以不必擔心。

第一種學生是,國中時在數學方面沒有花很多時間、卻又能考好的同學。不要懷疑,真的有一些學生是如此,他們已經抓到了學數學的方法,總是能夠輕鬆學好數學,這些學生在進入高中後,也會再自行思索而找到適合高中的學習方法。正確學習數學的方向在國中與高中相差不多,可惜只有很少數的學生掌握到方向。

另一種學生就是,國中時即熱愛數學,我是指那種喜歡數學本身的學生,而不是只喜歡數學分數或數學老師的學生。這種學生已經領略了數學的樂趣,會廣泛涉獵課外的數學,而他們的數學成績也都很好。

那麼,那些國中三年都戰戰兢兢努力算數學、同時也能得到不錯成績的學生,又會面臨什麼處境呢?

這些同學多半沒有用對方法,但是由於國中數學範圍不大,考題變化不多,所以藉由不斷反覆練習,通常也可以得到不錯的成績。像這樣,運用記憶與熟練來代替理解的方法,在國中時期可能還有效,可是上了高中就不行了。這樣的學生通常數學分數還不錯,可是不喜歡數學,也不知道數學到底學了什麼。

這樣的學生其實很多,去年(2008年)國際教育成就調查委員會(IEA)公布調查結果,台灣八年級學生數學平均成績全球第一,但對數學的興趣和自信卻吊車尾。

拿國中數學與高中數學來超級比一比,高中當然比較難,分量也多了很多倍──其實更重要的是,高中數學比國中數學更抽象、更精細而嚴謹,因此相對的,在高中階段,邏輯推論會比演算更重要。這本來就是數學這門學科的特性,只是高中階段要求更高,如果讀到大學數學系,要求又會比高中階段更高。

至於考試題目,當然就更廣泛而難以捉摸,每年的學測與指考題目推陳出新,學校的考題也跟著變化多端。不僅數學科是這樣,其他科目也大致如此。

那麼那些認真學習數學,花了很多時間,而且考了高分的學生,他們的學習方法有問題嗎?這很難說對或錯,可是他們的學習方法可能適用於考高中的基測,卻不適用於考大學的學測與指考。

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