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這個問題,你用數學方式想過嗎?史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課,大師教你像數學家一樣思考

Introduction to Mathematical Thinking

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內容簡介

完整書名:這個問題,你用數學方式想過嗎?:史丹佛大學教授最受歡迎的4堂思考力訓練課,大師教你像數學家一樣思考,讓你擁有關鍵的邏輯力、證明力、數字力

  ★寫給高中生、大學生和所有希望提升思考力的人的「數學思維入門」
  ★超過50,000人註冊,史丹佛大學教授最熱門的開放式數學課
  ★百萬人爭讀、比臉書和推特用戶成長更快--超夯線上教育平台Coursera廣受歡迎的公開課
  ◆畢達哥拉斯獎、卡爾.沙根科普獎得主,《數學的語言》作者嶄新力作,一本改變你對數學的看法的書!
  ◆臺灣師範大學數學系退休教授 洪萬生老師 專文導讀.合譯

  空白頁上寫著「此頁留白」,那這頁到底是不是空白的?
  所有的鳥類都會飛,所有的美洲豹都有斑紋……請證明給我看!
  有些大象不喜歡鬆餅……每個人都愛著某個人……
  (大象會爬樹) → ( 3是無理數)
  (歐幾里得的生日是7月4日) → (長方形有四個邊)
  (凱薩死了) → (π > 3)
  若蘋果紅了,則它可以吃了……
  看起來理所當然的事真的如此確定無誤嗎?

  ◎為什麼要用數學來思考?
  數學不是只有+-×÷、函數、微積分,但是,用數學來思考可以幫我們做什麼?
  它讓我們有能力提出明確的關鍵性問題
  它讓我們以數學的嚴謹識別和描述問題
  它讓我們用數學的精確分析和解答問題

  ◎誰需要學習數學思考?
  讓思考從混亂、令人沮喪、有時看起來不可能,到具有決定性的解析思維能力!
  希望提升分析思考技巧和具創新思維的人
  高中生、大學生,打算主修數學比重高的科目的學生
  無法藉由尋找樣板來依循、無法找公式來代換數值或者套程序來應用的人

  ◎為什麼要用這本書來學數學思考?
  完全用不到數學步驟的數學思維入門課,跟著大師學思考!
  本書作者德福林是最具教授數學熱忱的著名史丹佛大學數學家
  超過50,000人搶讀的線上開放學習平台Coursera課程同名專書
  像學習騎腳踏車一樣的數學思考訓練,剛開始總是跌倒,成功卻非遙不可及

  ◎透過理解問題的意義來解決問題

  數學家說,在他還沒有證明,或是尚未看到具有說服力的證明之前,他都無法肯定一個直覺看來正確的數學命題為真。

  「做數學」常涉及套用步驟和進行繁複的符號運算;「數學思維」則是一種思考事物的明確方法,且思考對象不限於數學。

  如果你無法藉由尋找一個樣板來依循、一個公式來代換數值進去,或者一個程序來應用,那麼,你該怎麼辦?

  答案就是:思考這個問題!

  本書作者齊斯.德福林是史丹佛大學著名數學家、暢銷科普作家,致力於對大眾教授和傳播數學。

  他在知名線上開放課程平台Coursera所開辦的「數學思維入門」課程,吸引了全球超過50,000人爭相註冊,本書即是針對協助培養「以數學方式思考」的能力所寫的專書。

  本書的目標是協助發展數學思維的方法,而不是學習記誦一堆千篇一律的規則,窒礙了你的思考!

  無論是希望提升分析思考技巧的讀者,或者剛由高中進入大學而打算主修數學比重很高科目的學生,都能從書中學習到如何研究一個新問題,換個方式思考直覺看來正確的事物。

  讓看不見的得以被看見,讓不可解的問題得以被解決,讓我們學習像數學家一樣思考!

作者簡介

齊斯.德福林Keith Devlin

  史丹佛大學數學家及該校人文科學與先端科技研究中心(H-STAR)共同創辦人和執行長,也是該校Media X研究計畫創立人之一,以及該校語言資訊研究中心(CSLI)資深研究員,世界經濟論壇院士及美國科學促進協會(American Association for the Advancement of Science)會士。

  目前他的研究重點是運用各種媒材,向各種各樣的聽眾教授和傳播數學,同時致力於設計情報分析的資訊及推論系統。他的研究興趣還包括訊息理論、推理模式、數學技巧在傳播研究上的應用,以及數學認知等。2003年,以「在數學領域以及數學與邏輯學、語言學間關係的創新研究和長期耕耘」,獲得加州眾議院表揚。在美國國家公共廣播電台主持「數學小子」(Math Guy)節目。

  著有《數學的語言》(The Language of Mathematics)等書。

譯者簡介

洪萬生

  美國紐約市立大學(CUNY)博士,主修數學史、科學史,輔修數學哲學、科學哲學。曾任職臺灣師範大學數學系,講授數學(社會)史、數學哲學與HPM(數學史與數學教育之關連)專題,並主持「台灣數學博物館」(science.math.ntnu.edu.tw/museum)網站,透過網路結合科普同好,分享國內外數學普及活動的學術與教育資源,對於推廣數學普及讀物的書寫、出版及閱讀不遺餘力。

黃俊瑋

  國立臺灣師範大學數學系博士候選人,主修數學史。譯有《數學偵探物語》、《掉進牛奶裡的e和玉米罐頭上的π》等書,並與洪萬生教授等人合著《摺摺稱奇:初登大雅之堂的摺紙數學》。期望透過數學普及閱讀與數學教育之結合,以更加豐富、多元而開放的面向,增進學生的數學思維與數學素養。

蘇惠玉

  高雄人,國立臺灣師範大學數學系碩士,現任台北市立西松高中數學教師,並擔任《HPM通訊》主編。

陳彥宏

  國立臺灣師範大學數學系碩士,現任台北市成功高中數學教師。

葉吉海

  國立臺灣師範大學數學系碩士,現任桃園國立陽明高中數學科教師,喜歡在課堂上將數學有趣的面向與教材結合,讓學生更喜愛高中數學。

 

目錄

導讀 洪萬生

序言

導論:本書之為用

1. 數學是什麼?
1.1 遠超過算術
1.2 數學的符號
1.3 現代大學程度的數學
1.4 為什麼你必須學習這些東西?

2 將語言精確化
2.1 數學述句
2.2 邏輯連詞:且、或以及非
2.3 蘊涵
2.4 量詞

3 證明
3.1 何謂證明?
3.2 反證法
3.3 證明條件句
3.4 證明量化命題
3.5 歸納證明

4 證明有關數字的成果
4.1 整數
4.2 實數
4.3 完備性
4.4 數列

附錄:集合論

索引

 

導讀

洪萬生

  這兩三年來,國內出版界對於數學普及面向的關照,已經逐漸脫出數學的「有用」與「有趣」兩個主要面向,而開始注意到數學知識的嚴格論證。以我自己的經驗為例,2010年,當商周編輯請我幫忙審定《社會組也學得好的十堂數學課》時,我當時就覺得意外與驚喜,因為那是一本針對初等數學知識結構,鋪陳得相當嚴謹的普及作品。沒想到2012年,臉譜編輯也請我幫忙審定同一類型的《1, 2, 3和+-×÷的數學旅行》。現在,這一本《這個問題,你用數學方式想過嗎?》則更嚴肅地強調:從中學數學到大學數學的銜接課程中,嚴密論證訓練的不可或缺。

  因此,這本可以視為數學普及訴求的著作,在另一方面,也被賦予了數學通識的教材功能。事實上,如果讀者瀏覽本書目錄(共有四章),即可發現作者德福林(Keith Devlin)對「語言精確」和「證明嚴謹」的高度重視。在第2章中,作者花了許多篇幅,詳盡地說明了數學述句、邏輯連詞、蘊涵以及(邏輯)量詞。顯然,作者認為這些單元的精熟,可以幫助吾人「將語言精確化」。而在第3章中,作者則是說明證明的幾種(推論)形式,包括含量詞的命題之證明時必須注意的事項。此外,為了說明數學學習的這兩個基本要求,作者還不惜安排本書第4章,利用整數、實數、完備性與數列四個單元,來「闡釋數學證明的意義」,儘管「本書的重點是一種特殊類型的思維」,而不是特定的數學。

  不過,這些在數學(系)專業訓練中佔有古典核心的單元,為何值得納入現代大學生的數學通識教材呢?作者以其在企業界擔任數學顧問的身分,特別苦口婆心地指出:企業員工之晉升必須要有數學技能的工作能力。這種技能可以分為兩種類型:擁有第一類型的人能夠提出數學問題,並求得其解;至於擁有第二類型的人,則能夠提出新問題,並按數學方式來形成、識別和描述這些問題的主要面貌,從而得以精確運用數學的敘述去進行分析。在過去,有相當大的需求聘僱具有第一類型技能的人才,而僅有少部分進一步需要第二類型的人才。儘管我們的數學教育過程大多能滿足這兩方面的需求,不過,基本上它總是聚焦在培養第一類型的人才。可是,當今企業公司必須持續創新以保持競爭力,因此,他們對人才的需求已經轉向第二類型--那些能跳出數學框架,而不是身陷其中去思考的人。換言之,在21世紀,較大的需求會是擁有第二類型能力的人才。這種人才,作者提議稱呼他們為「創新的數學思考者」。

  這種新類型的人才除了基礎數學技能的精熟之外,對於數學知識結構,也被要求必須擁有概念性的理解或思考能力。至於他們即將面對的處境,則正如作者所指出,在這21世紀,除了原有的數學技術之外,時時刻刻都有新的技術被發展出來,因此,要想在K-16年(幼稚園到大學)的教育過程中,涵蓋所有的技術之學習,是完全不可能的。當大學生畢業並進入職場的時候,有許多他們在大學時期學過的特定技術,可能已經不再重要或者遭受淘汰,反而是學校教育中未學過的新技術正當流行,因此,目前教育的焦點必須放在學習如何學習上。而相應地,無論是中學到大學的數學銜接課程(假定高中職數學課程不夠深入),或者是大學的數學通識課程,教學或學習的焦點都必須在計算技能的精熟之外,也兼顧潛在的、基本的概念思考能力。

  這種基本的數學思維能力之訓練,其實可以強化我們的日常邏輯思維。前一陣子,我在高速公路的一個交流道入口處,發現有一個交通號誌圖示:「大於或等於250cc重型機車不可進入」。這個數學或邏輯上的謬誤或許情有可原,因為此一入口緊鄰一條快速道路的交流道入口,而快速道路允許250cc以上的重型機車行駛。好在目前該交通號誌上的「大於或等於250cc」字樣,已經被白膠布遮蓋,否則行經該處時,我這個「數學人」總是有一種不知從何說起的感覺。無論如何,國中數學簡單的不等式與邏輯連詞(「非」)的結合,即使在與日常生活息息相關的交通法規之說明上,都顯得如此不可或缺。看來,本書作者所期許的現代公民之數學核心素養,果然頗有道理!

  總之,本書是一本值得精讀的數學普及小書。作者建議:如果在大學數學通識的層次上,將它充當正規的教材使用,則不妨在五至七週內授完。不過,他也希望讀者能夠正面挑戰本書所配備的習題,「慢-慢-來」,而且最好與同學一起思考與解題。這個建議對於那些將本書列為數學普及書籍的讀者來說,也同樣適用。另一方面,中學數學教師也可以在(高三)特色數學選修課程中,將本書列為教材,幫助學生在進入大學之前,統整數學知識結構與邏輯思維,從而強化概念性或結構性的理解。至於國中數學教師,則可推薦本書充當數理資優班的教材,讓學生在一般難題的求解挑戰之外,也可以看到數學的另一個「新的」天地,從而開啟他們的知識獵奇心靈。最後,我還要特別推薦本書第2章,作者將日常語言與邏輯思維的連結,呈現得親切易讀,是同類書寫中的經典,一般科普讀者千萬不要錯過!

(本文作者為臺灣師範大學數學系退休教授暨本書統籌譯者)

 

詳細資料

  • ISBN:9789862352526
  • 叢書系列:科普漫遊
  • 規格:平裝 / 240頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

◎遠超過算術

許多在現今科學與工程中使用的數學,不過只有三、四百年那麼老,有一些的年紀還小於一個世紀;然而,典型的高中課程中所包含的數學,至少都有那麼老――有些甚至已經超過兩千年了!

在現今,教導某些這麼老舊的知識並沒有錯,如同諺語所說的,如果東西沒有壞,就不要修。那些說阿拉伯語的貿易商在8、9世紀所發展的代數學(algebra﹝代數﹞這個字來自於阿拉伯文的al-jabr,意思是「還原」﹝restoration﹞或是「分開部分的重聚」﹝reunion of broken parts﹞),被用來增進他們商業交易的便利性,到如今依舊如當時一般的有用以及重要,即使今日我們可能使用可觀的電子試算表來實施運算,而不再如中世紀般用手指頭計算了。但是,隨著時間的流逝與社會的推進,在這段過程中,對新數學的需求上升,然後在適當的時候,這種需求被滿足。教育必須跟上腳步。

數學這一門學科的起源可說是來自於數目與算術的發明,這些發明據說發生在大約一萬年前,隨著貨幣的引入而發生(是的,似乎它始自於貨幣!)。

過了幾個世紀,古埃及人和巴比倫人將這門學問包括進了幾何學與三角學。在這些文明中,數學大部分是功利性的,非常像是「食譜」這類的功用(對數目或幾何圖形作這樣那樣,你就會得到答案)。

大約從西元前500年到西元300年的這一段時間,是所謂的希臘數學時期。古希臘的數學家對幾何特別高度重視,事實上,他們還以幾何的形式來對待數字,將其當成邊的度量;而當他們發現有些邊的長度沒有數可以相對應時(基本上,就是無理數的發現),他們對數目的研究大部分就停滯了下來。

事實上,是希臘人將數學帶入了研究的領域,讓數學不只是測量、數數、核算之類的技術匯集。大約西元前500年,米利都的泰利斯(Thales of Miletus)(米利都為現在土耳其的一部分)引入這樣的想法:正確地陳述的數學主張能夠藉由形式化的數理邏輯所證明。這個創見標誌著定理的誕生,現在已經成為數學的根基。這種希臘人所採取的形式化之進路,在歐幾里得的《幾何原本》出版之後達到顛峰,這本書被譽為是繼《聖經》之後流傳得最廣的一本書。

總的來說,學校數學根基在上面我所陳述的發展上,再加上兩個更進一步的進展。這兩個都來自於17世紀:微積分和機率論。實際上,沒有任何最近三百年的數學能夠進入到教室之中。然而,大部分在現今世界中使用的數學,都是近兩百年來所發展出來的,更不用說近三百年了!

就結果上來說,任一個對數學的看法侷限於學校所教授之刻板印象的人,就不會體認到數學的研究是一種茂盛的、廣泛的活動,或者接受數學以一種可觀的規模滲透到現代生活與社會的各行各業中。舉例來說,他們可能不知道在美國哪一個組織聘僱了最多的數學博士。(雖然正確的數字為官方機密,不過答案幾乎可以確定為國家安全局﹝National Security Agency﹞。這裡面大部分的數學家,他們的工作為密碼破解,讓局裡能夠讀懂那些由監視系統所攔截的加密訊息――雖然再次地國家安全局並沒有說明任何隻字片語,至少這是一般人所假設的。儘管大部分的美國人可能知道國家安全局會從事密碼破解,他們可能並不了解它需要用到數學,因此,也就不會想到國家安全局是聘僱最多頂尖數學家的組織。)

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