按圖索驥：無字的證明2

推薦序二
　　
　　這是宗佑出版的第一本數學教學書「按圖索驥」的下冊—包含了第四、五、六章。我非常高興宗佑在百忙當中，能夠挑燈夜戰，把這本書寫完。也非常感謝有這個機會可以再寫一小段文字來恭賀這本書上下兩冊的完成。
　　
　　這一本比上一本，在內容上難了許多。難的地方在於，這些主題逐漸脫離了我們從國中以來就比較熟悉而且具體的基礎幾何和基礎代數，以及還可推導的不等式概念，而進入了更加抽象的三角學、數列與級數、和極限與微積分等領域。
　　
　　在進入需要抽象思考的概念的時候，學生愈需要視覺的輔導，尤其是在關鍵的概念轉換時刻。例如，三角學中，學生需要從較為熟悉的銳角三角形的角與邊的對應關係，轉換為以圓為中心概念的廣義角的角度與弦的對應概念。此時，學生需要對於圓內的三角函數中的正弦角(sinθ)和餘弦角(cosθ)以及其對應的邊的關係有一個重新的建構。例如，原來的+=的熟悉概念，會需要轉換到θ+θ=1（假設圓的半徑為1）。但是，這還只是第一步。接下來會發展出許多因為這個嶄新的定義而產生的各種新的關係。對於許多學生來說，這個概念的轉換，可能猶如從這個世界要轉換到另外一個世界。
　　
　　根據我有時跟著實習老師到各個中學內觀課的觀察，許多中學老師會在這個概念（世界）轉換的時節，講解得相當快。會把這個轉換，當作是一個定義在講解。也就是說，把定義講完了，就可以進入計算了。但是，許多學生就會在這個「世界轉換」的節骨眼上卡關。因為這個新的世界很抽象，很可能離他所在的具體環境有些遙遠，而他在奮力要用自己的心智去掌握與熟悉這個新世界時，手上所能夠依靠的工具或憑藉可能很稀少。
　　
　　這本《按圖索驥—無字的證明2》恰恰好就是要提供這樣的憑藉與依據，把這些對於高中生來說，相當抽象的概念，用圖的方式，有順序地，有脈絡地，一一地表徵出來。在老師或學生閱讀這本書的時候，可以反覆地對照與推敲，以達到不斷地思索與反芻的功效。最重要的是，宗佑依著他教學十年來的經驗，把這樣複雜的概念逐步拆解，依據學生可以理解的步驟推敲，然後依序建構。
　　
　　希望透過這本書的介紹，老師同學們都有機會發展他對於這個數學新世界的了解。也能夠透過這套免費的自由軟體Geogebra的運用，在圖形與概念之間穿梭悠遊。
　　 　　
自序

　　萊茵巴哈（H.Reichenbach）曾將科學的學習歷程分為：發現及驗證（the context of discovery and the context of justification）兩個階段。人類不斷地透過觀察自然，體察事物，利用邏輯找出及發現可能的模式，再敘述及驗證之，達到分析、體認這自然世界，來說明、闡述自然哲理，更能運用這模式與能力做抽象思考以及解決所遇到的問題。

　　敝人感謝三民書局，特別是臺灣大學的蔡聰明教授，指導及幫忙審定，並給了我這個機會向數學界，特別是國、高中生及奉獻給中學教育的前輩、老師們呈現這本作品，這是屬於是理解數學證明的小品。在從事數學教學中，引導學生認識證明是進入數學思考中很扎實的一環，介紹：直接證法、間接證法和數學歸納法，利用文字敘述、符號表達、邏輯推演都盡可能嚴謹地向學生呈現。敝人觀察出學生有多元的學習能力，透過眼到、心到、手到等等方式，找到屬於自己學習數學的竅門，不獨是運算式的堆疊，也需要繪製適當圖形作為輔助，更是數與形兩大數學學理根基的展現，於是在教學歷程累積下來，整理出這一本「按圖索驥」！

　　這本「按圖索驥」不論是對學養豐富的教師學者們，研讀漸漸成熟的學生族群，或正在修習的初學者，都很適合參閱這本書，在這本書努力的方向是以「多元化、具啟發性、具參考性、有記憶點」這幾個要點做發揮，希望在傳統的論證架構之上，讓數學學習中加入多元的聯想力、富有創造性的思考力，雖不敢稱妙不可言、打破成規，但內心是希望可以另闢蹊徑，多走出一個方向，縱使路途雖遠，心仍嚮往之。

　　本書針對中學教材及科普知識中的主題，共有六章，分為兩冊：第一冊有三章，第一章基礎幾何：畢氏定理、三角形面積、西瓦定理等等；第二章基礎代數：乘法公式、配方法等；第三章不等式：四大不等式及應用、Jordan不等式。第二冊也有三章，第四章三角學：正餘弦定理、和角公式、和差化積、正弦疊合；第五章數列與級數：連續整數和、三角數、費式數列等等；第六章極限與微積分：分部積分、無窮等比級數和等等。

　　每一個主題皆以「起、承、轉、合」的方式繪製四個圖形，搭配顏色為運算邏輯上增添層次，讓讀者將四張圖細細閱讀時，有如親身經歷一般，輕鬆簡易地完成主題的論證；本書也提供同一個主題的多種證法，希望能帶給讀者更多元的啟發，能從中取得更多共鳴。

　　其次，敝人要感恩及感謝編寫這本書一路上朋友的鼓勵與幫忙，還有幾位不可多得的貴人。在求學時期就深深影響我，時刻地給我鼓勵與啟發的臺灣大學張海潮教授，教授時常勉勵：「當一個老師的人，做學問不能越做越差，要時時精進，時時充實」這也是敝人家裡書桌上的箴言，藉此勉勵自己充實能力，更進一步，這本書的起源便是與張教授討論中學數學時，教授做了提點而深受啟發的。

　　臺灣大學蔡聰明教授，是敝人完成此書的最大動力與指引。在跟隨蔡教授學習的過程中，聽教授將舊典籍娓娓道來，卻富有新的靈感；把古今中外的數學知識及史料，開闊縱橫，融會貫通，不自覺嚮往之。蔡教授學識淵博，中學數學、科普知識及數學史料無不精通，成了此書最重要的動力來源，是踏實的請益對象，也是溫暖的師長長輩，更是在出版數學書籍道路上最為豐富且嚴謹的學者教授。

　　最後，敝人將此書呈現給各位讀者，希望能有所共鳴，雖有不足的地方，尚祈不吝指教。