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數學思辨之旅:拆解國中數學,建立數學素養與能力

中学生からの数学「超」入門

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內容簡介

為什麼要學數學?
反思、論證、練習與解題
跟著數學家探索世界

  數學史、定義與公式解說、習題演練……
  數學領域的價值與意義是什麼?
  從現實到抽象,將文字化為數學語言。
  數學素養的培養,從國中數學開始
  目的在於培養解決問題的能力!

  NHK、《日本經濟新聞》、《東洋經濟週刊》
  日本各大媒體雜誌報導,
  東京大學畢業、數學奧林匹克參賽者,
  日本最強數學補習班創辦人、數學教育專家
  ──永野塾主持人永野裕之,
  帶你從國中數學開始,
  探索基礎數學領域:幾何、代數、函數、機率與統計學。

  永野裕之老師,累積十數年教學經驗,有感於學生會解題、考試拿高分,卻沒有數學素養,因而決定拆解國中數學,從數學史的發展切入,提醒大家,學習數學目的在於培養解決問題的能力。在反思、論證、練習與解題的過程中,體會從現實到抽象,運用人類獨具的想像力,將文字化為簡潔的數學語言,最終建立數學素養與能力。

  「圖形──幾何學」的學習重點:
  I「論證」方法
  II 分類的方法與運用
  III採取不同的視角

  「數與式──代數學」的學習重點:
  I 想像力
  II 合理的過程
  III 簡化題目

  「函數──分析學」的學習重點:
  I 變數
  II 因果關係
  III 1對1對應(圖)

  「資料的運用──機率、統計學」的學習重點:
  I 比較的合理性
  II 資料的整理
  III 隨機

名人推薦

  前師大數學系主任 洪萬生 老師  審訂
 

作者介紹

作者簡介

永野裕之


  1974年生於東京。日本東京大學理學部地球行星物理學系畢業。日本東京大學宇宙科學研究所(現JAXA)肄業。高中時期曾參加數學奧林匹克競賽。現為個別輔導補習班・永野塾數學補習班負責人。數學補習班也招收成年人,廣受日本各界媒體報導。日文著作有《寫給大人的數學魔法書》、《統計學的數學教室》(鑽石社)、《再次接觸微積分》(昂舍)、《東大教授之父親授 腦袋變聰明的學習法》(PHP研究社)、《喚醒你與生俱來的數學力》(台灣臉譜出版)、《數學式的邏輯思考入門》(SCC)等等。

審訂者簡介

洪萬生


  美國紐約城市大學(CUNY)科學史博士,國立台灣師範大學數學系學士、碩士。國立台灣師範大學數學系教授兼主任(2007/8/1-2009/7/31)、台灣數學教育學會理事長(2007-2009)、國際科學史學院通訊會員、Historia Mathematica(國際數學史雜誌)編輯委員、《HPM通訊》發行人、台灣數學(虛擬)博物館創始人之一。

譯者簡介

衛宮紘


  清華大學原子科學院學士班畢。現為自由譯者。譯作有《上司完全使用手冊》(東販)、《超慢跑入門》(商周)、《男人懂了這些更成功》(潮客風)、《世界第一簡單電力系統》(世茂)……等。賜教信箱:emiyahiro@hotmail.com.tw
 

目錄

序言
第1章 圖形──幾何學
哲學始於幾何學
巴斯卡的說服術
廣為流傳《幾何原本》的定義與公理
「分類」方法與運用
不同視角──訓練水平思考能力
學會「好的形式」──證明(論證)推演方法(國二)
何謂「正確的推論」?
證明的第一步──三角形的全等性質(國二)
「外項的積=內項的積」──三角形的相似性質(國三)
相似的問題練習
國中數學的重點──畢氏定理(國三)
蘊含許多定理的「美麗圖形」──圓(國二、國三)
圓的題目練習
練習從「相反的視角」切入──面積和長度(國二)
練習「轉換的視角」──畢氏定理的應用(國二)

第2章 數與式──代數學
西方希臘、東方印度
長年不被接受的「負數」概念
誕生於古代東方文明的「代數學」
兩位代數學之父
求解方程式的要素
算術和數學的差異
挑戰各種公式解
演繹思考的利弊
概念性的數──負數(國一)
「負數×負數=正數」的理由
看不見卻存在的數──平方根(國二)
適用於《幾何原本》的正確解題法──一次方程式(國一)
代入法才是消去未知數的捷徑──聯立方程式(國一)
挑戰國中數學最難的數學式變形──二次方程式(國二)
簡化題目的練習──方程式的應用(國一到國三)

第3章 函數──分析學
邂逅「變數
笛卡爾的「革命」──解析幾何學的誕生
歐拉開創的「分析學」
日本的「函數」淵源
因果關係
1對1對應的用法──「計算」的語源
邂逅變數──函數
推導函數的基本──變化的比例
追查原因──函數的利用(國一到國三)
觀察變化──函數與圖形(國一至國三)

第4章 資料的運用──機率、統計學
機率論發展初期的爭論①
機率論發展初期的爭論②
機率論發展初期的爭論③
「拉普拉斯」的惡魔
統計學家最有吸引力嗎?
近代統計學之父
南丁格爾與統計學
茶會與推測統計
隨機的困難度與重要性
確認「出現機率相同」──機率(國三)
掌握資料的特徵──資料整理(國三)
由部分推測全體──抽樣調查(國三)
結語
日文參考文獻
數學史相關年表
 
 

序言

  一開始我必須先說清楚,本書不是從頭學習國中數學。

  本書沿循著數學歷史,以國中數學來傳達學習數學的意義與價值。

  你還記得升上國中一年級時的春天嗎?背後少了雙背帶書包,內心是不是感到些許不安呢?穿著寬鬆的制服、看見校園內學長姐的姿態,是不是強烈意識到自己登上大人的階梯呢?我到現在依然記得,開始上數學課時內心萌生「我已經不是小孩子」的感覺。

  雖然這麼說,但不久之前還是小學生,實際上也還是小孩子。即便從算數轉為數學,對名稱上的變化感到強烈衝擊,也沒有足夠的能力瞭解其中的差異。

  我們經常聽到──特別是對數學感到棘手的人──

  這樣說:「出社會後,數學就用不到啦,為什麼還要學得那麼辛苦呢?雖然加減乘除還會用到,但學習數學根本就沒有好處。」

  對數學老師來說,這是非常悲哀的想法,相信拿起這本書的你肯定沒有這樣的想法,但這也是無可奈何的,對知性、感性都尚未成熟的國中生來說,想要他們瞭解學習數學的意義、價值,的確是相當困難的事情。

  然而,轉眼間升上高中,心智皆將成熟的時候,數學卻變得格外困難。不要說瞭解其中的意義、價值,大多數人煞費苦心才勉強考到及格。

  正因為這樣,所以我才執筆本書。

  數學是人類從史前時代,綿綿傳承下來的睿智結晶。嘗試翻閱數學的歷史,我想各位成熟的大人也會類似的感觸。在人類獲得永不褪色智慧的故事當中,為了讓讀者能體會箇中感動,我全心全意著述了本書。

  本書將國中學到的數學分成幾何學(第1章)、代數學(第2章)、分析學(第3章)、機率統計學(第4章)四章,各章前半部分記述相關的數學史,後半部分統整希望讀者在該領域學得的東西。另外,內容也適時穿插「問題」,但本書(基本上)不是學習用的教科書,不擅長數學的讀者可以快速瀏覽感到困難的地方。當然,自負有能力的讀者,請一定要挑戰看看這些問題,體會解開問題的樂趣。

  那麼,我們就開始吧。接觸後述內容中天才們的偉業之後:

  「啊啊,數學果然是全民應該學習的學問。」

  若能產生這樣的想法,這是筆者我最大的榮幸。
 
 

詳細資料

  • ISBN:9789869425162
  • 叢書系列:數學館
  • 規格:平裝 / 208頁 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

第 2 章  數與式——代數學

藉由中學的數與式學習:

I想像力
II合理的過程
III簡化題目

西方希臘、東方印度

如同第1章所述,希臘透過幾何學發展了論證數學,但對希臘人來說,「數學」的討論對象主要是圖形,他們處理的多是長度、面積等「量值」,比較沒有發展數的計算技術。

與此相對,印度推展了數的計算技術。這與印度人早先採用以十種「數」(如今的阿拉伯數字)來表示所有數的「進位計數法」,有密切關係。印度人很早就發明「0」的概念,最晚約從第五、六世紀開始,便已使用現代的阿拉伯代數學數字來表示數的概念。

其他古代文明則發明了羅馬數字、中文數字,採用遇到進位便使用新數字的「數位計數法」。

以數位計數法來記錄數字較為方便,例如以阿拉伯數字表示「 1000038 」,沒有辦法一眼就看出數值為何,但若以數位計數法的中文數字表示成「一百萬○三十八」,馬上就可以看出數值。然而,若以數位計數法計算「一百三×二十九」,你會很不知所措吧!與此相對,計算「 103 × 29 」簡單許多。實際動手操作,你就能體會進位計數法在計算上有著壓倒性的優勢。

之後,約五、六世紀,隨著0概念的發明,東印度採用了進位計數法,致力於發展計算技術的數學。

長年不被接受的「負數」

大約七世紀時,印度人最先想出小於0的數負數,歸功於當時他們發展出最先進的數文化,但「負數」,但並非發想自數學家。

發明負數概念的是印度商人,他們將「 100萬元的借款」表示成「 100萬元的利益」,這是最早的負數例子。

印度數學家很快地接受了負數的概念,在七世紀中期的印度數學書籍中,即可發現有關於負數的記載。另一方面,歐洲數學家到了十七世紀才接受負數的概念。

在長達千年的歷史中,西方數學家頑強地反對將負數納入數學領域,這是為什麼呢?因為負數是抽象的,需要想像力。例如,但我們沒有辦法具體舉出「-3個麵包」。就無法具體表示這點來說,負數和正數完全不一樣,負數是屬於概念性、抽象性的。

而且,若單純僅把負數當成「比0小的數」,那麼負數的計算,尤其是乘法、除法,會令人不知道怎麼計算。

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