客服公告:【早鳥優惠】7-ELEVEN貨到隔日取,抽50元E-Coupon!詳情

  • 今日66折
  • 天天BUY
圖解向量與解析幾何

圖解向量與解析幾何

  • 定價:300
  • 優惠價:79237
  • 優惠期限:2018年01月04日止
  • 【分級買就送】分級VIP會員買就送OPENPOINT(部份除外) 詳情
運送方式:
  • 可配送點:台灣、蘭嶼、綠島、澎湖、金門、馬祖、全球
  • 可取貨點:台灣、蘭嶼、綠島、澎湖、金門、馬祖
    香港、澳門、新加坡
載入中...

優惠組合

 

內容簡介

  ★解決向量在老師與學生內心的疙瘩。
  ★難道一定要用物理概念才能學會數學向量嗎?
  ★內積、外積在數學與物理各自是什麼意思?

  本書是為了解決一段人對向量的大量疑惑。因為從物理的功、力矩定義導入向量內積、外積概念,令人誤會沒有這兩個觀念就不能將解析幾何,由二度推到三度空間。及為什麼能用物理概念推論數學?本書詳細說明數學及物理的向量歷史,認知到解析幾何根本不需要「向量」概念,就能夠推廣,只是相當繁瑣。並理解是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。

  作者之一多年來在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。兩位作者都認為死背定義的數學學習,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分越少越好。想要保持數學直覺性與創意性,適當的途徑是研究這門學科的歷史和現狀。因此本書盡可能釐清內積、外積在數學與物理的混亂。希望學生不再有困惑,心理不再存在疙瘩,並了解在自然科學中,數學具有不可理喻的有效性。
 
 

作者介紹

作者簡介

吳作樂


  學歷 國立台灣大學數學系學士
  美國哥倫比亞大學數理統計博士
  經歷 長榮大學資訊管理系教授   
  數位內容創作學程主任
  國家太空中心主任    
  國際宇宙航行學院 (International Academy of Astronautics) 院士
  宏遠育成科技股份有限公司總經理
  工研院電通所副所長
  美國Bell core公司信號處理部研發經理(District Manager)
  美國貝爾實驗室(Bell Labs) 衛星通訊部門研究員

吳秉翰

  學歷 輔仁大學應用數學學士
 
 

目錄

前言

第1章 疑惑與歷史
1-1 向量常見的疑惑 
1-2 數學與物理的關係 
1-3 數學的歷史 
1-4 太多新的定義 
1-5 向量的教學順序令人困惑 

第2章 傳統解析幾何
2-1 笛卡兒的平面座標 
2-2 平面座標系的直線方程式(1):由來 
2-3 平面座標系的直線方程式(2):斜截式 
2-4 平面座標系的直線方程式(3):點斜式、截距式 
2-5 平面座標系的直線方程式(4):兩點式 
2-6 平面座標系的直線方程式(5):參數式 
2-7 空間座標系的平面方程式(1):由來 
2-8 空間座標系的平面方程式(2):表示方法 
2-9 空間座標系的直線方程式 
2-10 平面座標系的兩直線夾角 
2-11 空間座標系的兩直線夾角 
2-12 平面座標系、空間座標系的距離問題 
2-13 平面座標系的點到線的距離(1):畢氏定理 
2-14 平面座標系的點到線的距離(2):三角函數 
2-15 平面座標系的點到線的距離(3):參數式 
2-16 空間座標系的點到線的距離、兩平行線的距離 
2-17 空間座標系的點到面的距離 
2-18 各個平行情況的距離 
2-19 空間座標系的兩歪斜線的距離 
2-20 空間座標系的兩平面相交直線方程式 
2-21 空間座標系的兩平面夾角 
2-22 整合此章的數學式 
2-23 參數式的起源:拋物線 

第3章 行列式
3-1 解聯立方程式:兩變數 
3-2 解聯立方程組:三變數 
3-3 行列式的運算(1):二階 
3-4 行列式的運算(2):三階 
3-5 克拉碼行列式求平面方程式 
3-6 二階行列式與面積關係 
3-7 三階行列式與體積關係 
3-8 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(1) 
3-9 變形的二階行列式(測量員公式)求多邊形面積(2) 

第4章 高斯列運算
4-1 加減消去法與列運算(1):兩變數 
4-2 加減消去法與列運算(2):三變數 
4-3 高斯列運算求平面方程式 

第5章 向量在物理的意義
5-1 向量在物理的意義 
5-2 功與內積 
5-3 力矩與外積 
5-4 向量的定義 
5-5 向量的基礎計算(1) 
5-6 向量的基礎計算(2) 
5-7 向量的基礎計算(3) 
5-8 正射影與正射影長 
5-9 向量與藝術:投影幾何 
5-10 向量數學式總結 

第6章 向量改變數學的教法
6-1 數學的夾角與內積 
6-2 向量與平面上的直線方程式關係 
6-3 數學的平面方程式係數與外積(1):解析幾何方法 
6-4 數學的平面方程式係數與外積(2):法向量與力矩 
6-5 數學的平面方程式係數與外積(3):法向量怎麼求 
6-6 利用向量求平面上點到線的距離 
6-7 利用向量求空間中點到平面的距離 
6-8 利用向量表示傾斜程度(斜率) 
6-9 向量與柯西不等式(1):如何證明 
6-10 向量與柯西不等式(2):柯西不等式與配方法的關係 
6-11 向量與柯西不等式(3):如何記憶 
6-12 利用向量與二階行列式,求平面座標系的三角形面積 
6-13 利用向量與三階行列式,求平面座標系三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積 
6-14 利用向量與二階行列式,求空間座標系的三角形面積、及兩向量張出的平行四邊形面積 
6-15 空間座標系的「兩向量張出的平行四邊形面積值」等於「兩向量外積後的公垂向量長度值」 
6-16 三角錐體積與行列式(1):拉格朗日 
6-17 三角椎體積與行列式(2):向量方法 
6-18 空間座標系的三向量張出平行六面體體積 
6-19 空間座標系的點到線的距離(1) 
6-20 空間座標系的點到線的距離(2) 
6-21 歪斜線的向量討論(1) 
6-22 歪斜線的向量討論(2) 
6-23 三垂線定理的討論 
6-24 向量方法證明畢氏定理、三角不等式 
6-25 傳統解析幾何的分點公式與向量的三點共線定理 
6-26 計算三角形重心 
6-27 計算三角形內心(1):向量方法 
6-28 計算三角形內心(2):傳統解析幾何 
6-29 外心、垂心的向量性質 
6-30 兩面角與兩平面交線的向量求法 
6-31 二度空間的角平分線與三度空間的角平分面 
6-32 三度空間的角平分線 

第7章 向量從物理到數學,再回到物理
7-1 物理數學家與數學物理家 
7-2 向量對數學的意義 
7-3 數學與物理互相幫助

第8章 矩陣
8.1 動畫的由來(1) 
8-2 動畫的由來(2) 
8-3 動畫的由來(3) 
8.4 矩陣的由來 
8-5 矩陣的運算(1):二階矩陣PART1 
8-6 矩陣的運算(2):二階矩陣PART2 
8-7 矩陣的運算(3):二階矩陣PART3 
8-8 矩陣的運算(4):三階矩陣 
8-9 矩陣的運算(5):二階矩陣的反矩陣的由來 
8-10 矩陣的運算(6):三階矩陣的反矩陣的由來與記法 
8-11 矩陣的應用(1):轉移矩陣的概念 
8-12 矩陣的應用(2):如何求轉移矩陣 
8-13 矩陣的應用(3):血型的轉移矩陣
 
第9章 總結
9-1 相關歷史 
9-2 結論 

附錄
附錄1.為什麼負負得正呢? 
附錄2.為什麼阿拉伯數字會長這樣? 
附錄3.配方法與雙重配方法 
附錄4.相關聯結 
 

前言

  本書是針對高中生學習「向量」時,產生大量疑惑而寫的一部著作。高中數學課本從物理學的功、力矩的定義導入向量內積、外積的概念,造成學生極大的困惑,並誤以為僅能經由功、力矩的概念,才能推導出向量的內積與外積,這是相當大的錯誤認知。其中最大的問題是:

  1. 如果沒有「功」和「力矩」的概念,就沒有「內積」和「外積」嗎?

  2. 沒有「內積」和「外積」,就不能將解析幾何,由二度空間推廣到三度空間嗎?

  3. 為什麼會用物理概念來推論數學,不是說數學是科學的語言嗎?

  有鑑於此,作者從歷史演進說明及數學推導傳統解析幾何根本不需要「向量」的概念,就能夠推廣至三度空間,只是相當繁瑣而己。誠然物理學家創造了向量的概念,並啟發了數學家。換句話說,物理為了正確描述力學現象,建立一套數學語言,而後由數學家接手,建構了向量分析、線性代數,及希爾伯特空間(Hilbert Space),也就是n維度空間。但我們仍然不可以將數學與物理混為一談、這樣會導致兩者關係的混亂,誤會數學需要物理,事實上數學不需借助外力,本身就可說明清楚,也就是自圓其說。

  作者在本書所要釐清的重點是:

  1. 高中數學使用向量學習三度空間內容,是因為比傳統方法簡潔,而非必要,這個重點應該讓學生清楚知道,並讓學生知道數學不該存在破綻,一門演繹邏輯的科目,不該被誤解為歸納邏輯。

  2. 本書依實際發生過的歷史進展過程詳加說明,徹底去除學生因課本的陳述方式,所產生的歷史錯亂與困惑感,如:柯西不等式、行列式、參數式。為了解決這種問題,本書將不屬於向量範疇的內容移除,以免學生誤會一定要先會向量才能學會那些內容,並了解傳統解析幾何就足以推導,但較為繁瑣,必須知道不用借助向量也可以推導。

  3. 點出數學與物理之間的關係,數學是物理的語言,數學可以和物理緊密相關,也可能亳不相關。然而有趣的是,表面上和物理不相關的數學,竟然常常被物理學家或工程師使用在新的領域。有興趣的讀者可參考物理學家Eugene Wigner有名的論述:「在自然科學中,數學不可理喻的有效性。」原文是:「The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences」。

  4. 了解內積、外積在數學、物理兩方的關係,而不是混為一談。數學「餘弦定理」會對應到物理的「功」,其運算動作都稱為「內積」;數學「平面方程式係數」會對應到物理的「力矩」,其運算動作都稱為「外積」。現行的內積、外積教學方式,大抵如下述:內積直接用物理來定義,硬套用到數學,不一定解釋。外積用公垂向量解釋外積,或直接用物理來定義,硬套用到數學,不一定解釋。本書詳細說明向量在數學及物理的歷史發展,並說明數學支撐物理。

  5. 認識向量是基礎數學和基礎物理的交界點之一,高中數學從物理應用切入三度空間的數學,導致許多學生產生困惑。雖然數學和物理有錯綜複雜的關係,但我們仍然不該混為一談。必須理解到數學是建構在演繹邏輯的語言,而物理是建構在歸納邏輯的自然科學,只是用數學語言來表達,物理與數學兩者高度相關,但不相同。作者將所有產生困惑的原因全面清理,期望學生或教師們終能理解。

  6. 如果不說明清楚向量概念的原由,將失去一次可以說明數學與物理之間的關係(另一次是拋物線的內容)。而數學與物理之間的關係,實際上是數學支撐物理,而不是物理來說明數學。如果不了解兩者關係,使得有一部分的人將數學當作物理,也就是誤會數學公式如同物理公式一般,會隨著時代被修正,也就是將演繹邏輯當歸納邏輯。

  作者認為數學教科書應該使學習者學習順暢,而非死背定義。現行教科書用向量作為定理來說明解析幾何,也就是用物理概念強迫學生學向量,再處理數學的解析幾何問題。學生可能不明白內積的意義,若要死背公式(內積)來硬套數學題目,必然會令學習者相當困惑。

  但作者也能理解到傳統解析幾何非常繁瑣,所以也不希望完全走回原本的老路,最起碼也應該用數學餘弦定理的概念來說明內積,用公垂向量來說明外積,避開物理概念的硬套,才能讓學生接受。如果非要用物理也應該說清楚從何而來,為什麼物理與數學可以相互呼應。為此本書說明了物理為什麼需要創造向量與內積、外積。

  作者之一多年來,在求學與教學深受上述問題困擾,因為用物理說明數學會導致學生不理解、造成教學困難。作者認為死背定義的數學學習方式,或說不清楚的數學,根本不配稱為好的數學教育。因為數學是一門可以被說清楚的演繹邏輯,不能說清楚的部分愈少愈好。因此本書盡可能將向量產生的疑惑納入討論,希望學生不再有困惑,心裡不再存在疙瘩。

  本書詳述了非常多的細節部分,但實際的核心價值是「釐清內積、外積在數學與物理的混亂」,想要快速解除困惑可以參考CH1、CH5、CH6的6-1到6-5、CH7、CH9,至於細節部分可以斟酌跳過。

  「如果我做的物理問題呈現意料外的豐富數學結構,那麼這個物理理論一定是正確的。我們都知道這個假說曾經被驚人的驗證過,例如愛因斯坦的重力理論與狄拉克的電子理論。」

  徐一鴻,華裔美國物理學家

  本書雖經多次修訂,缺點與錯誤在所難免,歡迎各界批評指正,得以不斷改善。如有問題也可以連絡作者,作者信箱praxismathwu@gmail.com
 

詳細資料

  • ISBN:9789571194189
  • 叢書系列:圖解系列
  • 規格:平裝 / 248頁 / 17 x 23 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

1-2 數學與物理的關係
 
數學與物理的關係,這個問題可以連同「為什麼要學一堆幾何證明」一起回答。很多學生對於幾何證明的題目太多,感到有疑問,為什麼要練習那麼大量的幾何證明?幾何證明固然可以學習邏輯,但基礎概念理解後其他僅是練習,為什麼有那麼多題目?因為中世紀的僧侶,因戰爭避世,並肩負傳承知識,認為「上帝就是幾何學家(God is Geometer)」、「宇宙的建築師(Architect of the Universe)」,所以僧侶研究幾何問題產生大量的證明;同時文藝復興時期的歐洲人認為希臘的數學是哲學的基礎,故大量練習幾何證明(歐式幾何),更成為近代教科書的內容。
 
僧侶為什麼要研究數學?因為在西方的文化,理性占文化很大一部分,並且神學、哲學、數學的關係是密不可分的。同時更早希臘時期的大哲學家—柏拉圖也曾說過「經驗世界是真實世界的投影」。其意義為我們處的世界具有很多數學規則,有些已經理解成為了經驗,有些是由這些組合成為新的經驗,但仍不夠完善。所以要學習數學的目的是為了解神創造世界的原理。
 
為什麼他們從數學切入,而不是從其他科目切入,如:物理、化學?因為科目本質性的不同,可以從幾個角度來討論原因。
 
1.出錯修正的機率
 
數學是零修正,唯一需要修正的情形,僅是取有效位數產生的誤差,如:圓周率,微積分(200年來都沒變,且不需要改變)。
 
物理、化學則是隨時代進步而修正模型公式。
 
2.研究的方式
 
數學是演繹邏輯的學問。
 
物理、化學是經驗結果論(歸納邏輯)的科學,科技進步就會更改,如:拋物線的軌跡、四大元素到現在週期表。
 
3.由真實經驗假設最基礎的情形
 
數學是可以理解的、不必再質疑準確性的公理做為最小元件。
 
如:1 + 1 = 2。再以此基礎來組合定義新的數學式,且不需質疑與驗證。
 
並且數學進步可視作由小元件到大物品的組合。
 
物理、化學是以現在的科技能觀察到的情形,做為元件,因科技進步,觀察到在更大的情形不符合,就必須修正。如:牛頓力學與愛因斯坦的相對論,或是要說明此方程式對於此情形是正確的,須實驗確定真實性。並且物理、化學進步可視作元件由半成品到大物品的組合,但須驗證,因為不清楚此半成品的理論是否正確,可能會導致大物品的實驗產生錯誤;以及半成品是否可以分解為更細小的元件。如:四大元素→週期表→電子中子→夸克→超弦理論。
 

特惠贈品

載入中...

最近瀏覽商品

 

相關活動

  • 閱讀是孤獨的,求知是自我的【2017五南暢銷展】一個人的功課:單書79折、二書75折,特價書66折起
 

購物說明

若您具有法人身份為常態性且大量購書者,或有特殊作業需求,建議您可洽詢「企業採購」。 

退換貨說明 

會員所購買的商品均享有到貨十天的猶豫期(含例假日)。退回之商品必須於猶豫期內寄回。 

辦理退換貨時,商品必須是全新狀態與完整包裝(請注意保持商品本體、配件、贈品、保證書、原廠包裝及所有附隨文件或資料的完整性,切勿缺漏任何配件或損毀原廠外盒)。退回商品無法回復原狀者,恐將影響退貨權益或需負擔部分費用。 

訂購本商品前請務必詳閱商品退換貨原則 

  • 1
  • 1

訂閱電子報

想獲得最新商品資訊,請訂閱免費電子報