數學女孩：伽羅瓦理論

給讀者
序章

第1章　你喜愛的畫鬼腳
1.1　交織的畫鬼腳
1.1.1　兩端交換
1.2　溢出的畫鬼腳
1.2.1　計算數量
1.2.2　由梨的疑問
1.3　理所當然的畫鬼腳
1.3.1　冰沙
1.3.2　無可替代之物
1.3.3　可以做所有的模式嗎
1.4　你喜愛的畫鬼腳
1.4.1　三條直線
1.4.2　畫鬼腳的二次方
1.4.3　畫鬼腳的三次方
1.4.4　繪圖
1.4.5　追求更進一步的謎題

第2章　睡眠之森的二次方程式
2.1　平方根
2.1.1　由梨
2.1.2　負數×負數
2.1.3　複數平面
2.2　公式解
2.2.1　二次方程式
2.2.2　方程式與多項式
2.2.3　推導二次方程式的公式解
2.2.4　傳達心情
2.3　根與係數的關係
2.3.1　蒂蒂
2.3.2　根與係數的關係
2.3.3　腦袋的整理
2.4　對稱多項式與體的觀點
2.4.1　米爾迦
2.4.2　再訪：根與係數的關係
2.4.3　再訪：公式解
2.4.4　歸途

第3章　探索形式
3.1　正三角形的形式
3.1.1　醫院
3.1.2　再次發燒
3.1.3　夢的結局
3.2　對稱群的形式
3.2.1　圖書室
3.2.2　群的公理
3.2.3　公理與定義
3.3　循環群的形式
3.3.1　往『學樂』前進
3.3.2　結構
3.3.3　子群
3.3.4　基數
3.3.5　循環群
3.3.6　阿貝爾群

第4章　與你共軛
4.1　圖書室
4.1.1　蒂蒂
4.1.2　因式分解
4.1.3　數的範圍
4.1.4　多項式的除法
4.1.5　1的十二次方根
4.1.6　正ｎ邊形
4.1.7　三角函數
4.1.8　出路
4.2　循環群
4.2.1　米爾迦
4.2.2　十二個複數
4.2.3　製作表格
4.2.4　共有頂點的正多邊形
4.2.5　1的原始十二次方根
4.2.6　分圓多項式
4.2.7　分圓方程式
4.2.8　與你共軛
4.2.9　循環群與生成元
4.3　模擬考
4.3.1　考試會場

第5章　角的三等分
5.1　圖的世界
5.1.1　由梨
5.1.2　角的三等分問題
5.1.3　對於角的三等分問題的誤解
5.1.4　尺與圓規
5.1.5　可能作圖的意義
5.2　數的世界
5.2.1　具體例子
5.2.2　透過作圖加減乘除
5.2.3　透過作圖開根號
5.3　三角函數的世界
5.3.1　雙倉圖書館
5.3.2　麗莎
5.3.3　離別之際
5.4　方程式的世界
5.4.1　看穿結構
5.4.2　用有理數練熟
5.4.3　一步的重覆
5.4.4　能進行到下一個步驟嗎？
5.4.5　發現了嗎？
5.4.6　預測與定理
5.4.7　出路呢？

第6章　支撐天空的東西
6.1　次元（維度）
6.1.1　廟會
6.1.2　四次元的世界
6.1.3　章魚燒
6.1.4　支撐的東西
6.2　線性空間
6.2.1　圖書室
6.2.2　座標平面
6.2.3　線性空間
6.2.4　ℝ上的線性空間ℂ
6.2.5　ℚ範圍內的線性空間ℚ（√2）
6.2.6　擴展的大小
6.3　線性獨立
6.3.1　線性獨立
6.3.2　次元的不變性
6.3.3　擴張次數

第7章　拉格朗日預解式的秘密
7.1　三次方程式的解的公式
7.1.1　蒂蒂
7.1.2　紅色的卡片『契爾恩豪森轉換』
7.1.3　橙色的卡片『根與係數的關係』
7.1.4　黃色的卡片『拉格朗日預解式』
7.1.5　綠色的卡片『三次方的和』
7.1.6　藍色的卡片『三次方的積』
7.1.7　靛色的卡片『從係數到解』
7.1.8　紫色的卡片『三次方程式的公式解』
7.1.9　描繪旅行的地圖
7.2　拉格朗日預解式
7.2.1　米爾迦
7.2.2　拉格朗日預解式的性質
7.2.3　能夠適用嗎
7.3　2次方程式的公式解
7.3.1　二次方程式的拉格朗日預解式
7.3.2　判別式
7.4　五次方程式的公式解
7.4.1　五次方程式是？
7.4.2　「5」這個數的意義

第8章　建造塔
8.1　音樂
8.1.1　茶水間
8.1.2　相遇
8.2　講課
8.2.1　圖書室
8.2.2　擴張次數
8.2.3　擴張體與部分體
8.2.4　ℚ（√2）/ℚ
8.2.5　小測驗
8.2.6　ℚ（√2, √3）/ℚ
8.2.7　擴張次數的積
8.2.8　ℚ（√2+√3）/ℚ
8.2.9　最小多項式
8.2.10　新發現？
8.3　信
8.3.1　歸途
8.3.2　家
8.3.3　信
8.3.4　可能作圖數
8.3.5　晚餐
8.3.6　朝向方程式的可解性
8.3.7　最小分裂體
8.3.8　正規擴張
8.3.9　以真貨為對象

第9章　心情的形式
9.1　對稱群S3的形式
9.1.1　雙倉圖書館
9.1.2　類別
9.1.3　陪集
9.1.4　漂亮的形式
9.1.5　製作群
9.2　書寫法的形式
9.2.1　氧
9.2.2　置換的書寫法
9.2.3　拉格朗日定理
9.2.4　正規子群的書寫法
9.3　部分的形式
9.3.1　獨自孤零零的3√2
9.3.2　探求結構
9.3.3　伽羅瓦的正規分解
9.3.4　進一步除以C3
9.3.5　除法與同等看待
9.4　對稱群S4的形式
9.4.1　鈹
9.5　心情的形式
9.5.1　碘
9.5.2　熄燈時間

第10章　伽羅瓦理論
10.1　伽羅瓦節
10.1.1　簡略年表
10.1.2　第一論文
10.2　定義
10.2.1　定義（可約與既約）
10.2.2　定義（置換群）
10.2.3　兩個世界
10.3　引理
10.3.1　引理1（既約多項式的性質）
10.3.2　引理2（用根製作的V）
10.3.3　引理3（用Ｖ表示根）
10.3.4　引理4（Ｖ的共軛）
10.4　定理
10.4.1　定理1（『伽羅瓦群』的定義）
10.4.2　方程式x2-3x+2=0的伽羅瓦群
10.4.3　方程式ax2+bx+c=0的伽羅瓦群
10.4.4　伽羅瓦群的做法
10.4.5　方程式x3-2x=0的伽羅瓦群
10.4.6　定理2（『伽羅瓦群』的縮小）
10.4.7　伽羅瓦的錯誤
10.4.8　定理3（添加輔助方程式的所有的根）
10.4.9　縮小的重覆
10.4.10　定理4（縮小的伽羅瓦群的性質）
10.5　定理5（能夠以代數方式解方程式的充分必要條件）
10.5.1　伽羅瓦的問題
10.5.2　何謂『能夠以代數方式解方程式』
10.5.3　蒂蒂的提問
10.5.4　p次方根的添加
10.5.5　伽羅瓦的添加元
10.5.6　由梨的手忙腳亂
10.6　兩座塔
10.6.1　一般三次方程式
10.6.2　一般四次方程式
10.6.3　一般三次方程式
10.6.4　五次方程式不存在公式解
10.7　夏天的結束
10.7.1　伽羅瓦理論的基本定理
10.7.2　巡遊展示
10.7.3　夜晚的「氧」
10.7.4　無可替代之物

尾聲
後記
索引

給讀者

　　本書出現各式各樣的數學問題，難度橫跨連小學生都懂，到連大學生都不會的程度。

　　除了用語言、圖形以及程式，來表現書中人物的思考脈絡，也會用算式來解說。

　　如果不明白算式的意義，請忽略算式的部分，先隨故事發展看下去。蒂蒂與由梨會陪伴你，一起向前。

　　擅長數學的讀者，除了故事，請務必搭配、跟隨算式的解說，閱讀本書。如此一來，你應該更能掌握故事的全貌。