世界第一簡單 微積分

序章函數是什麼？1
■練習問題14

第一章　微分即為簡化函數15
1、類似函數的優點16
2、來分析其誤差率27
3、生活中也能活用的函數32
4、近似一次函數的求法39
■練習問題41

第二章　學習微分的技巧43
1、和的微分48
2、積的微分53
3、多項式的微分62
4、微分=0即可得知極值64
5、平均值定理72
■練習問題76

第三章　積分即為總計平緩的變化量77
1、微積分基本定理的形式82
2、微積分的基本定理91
3、積分的公式95
4、基本定理的應用實例101
5、微積分基本定理的確認110
■練習問題112

第四章　用積分來克服難纏的函數吧！113
1、三角函數何時能派上用場呢？114
2、cos為餘弦函數120
3、三角函數可提早得知積分123
4、指數和對數129
5、想將指數和對數一般化133
6、指數函數和對數函數的總整理138
■練習問題142

第五章　泰勒展開式即為優異的近似函數143
1、近似多項式144
2、泰勒展開式的求法153
3、各種函數的泰勒展開式158
4、由泰勒展開式可得知什麼呢？159
■練習問題176

第六章　從複數因子中僅取其一即為偏微分177
1、多元函數是什麼？178
2、二元一次函數果然是最基本的182
3、二元函數的微分稱為偏微分189
4、全微分式的解法195
5、於極值條件的應用197
6、將偏微分應用於經濟200
7、對多變數合成函數偏微分的公式稱為連鎖律204
■練習問題216

末章數學為何存在？217
附錄A：練習問題的解答和解說224
附錄B：本書使用的主要公式．定理．函數227
索引230

前　言

──正因為是漫畫所以可以輕鬆理解──

　　現在，打開這本書的你。我想你一定屬於以下兩種類型之一。

　　第一種是非常喜歡漫畫，猜想「以漫畫學微積分是什麼感覺，而興奮不已。」的類型。若你是這種類型，請馬上把這本書拿去收銀台結帳吧！因為它絕對不會讓你失望。這本書「單純以漫畫而言」就已經極為有趣。因為它不僅是由暢銷漫畫家十神真所繪製，連劇情也是由專門的漫畫製作公司Becom所構思，品質足以刊載在漫畫雜誌上。如果你曾經因為看「美味大挑戰」而學做菜；因為「棋靈王」而愛上圍棋；還有因為「危險調查員」而萌生對考古學的興趣，那麼，我保證你會因為這本書而愛上微積分。

　　你也許會懷疑地說：「雖然有這麼專業的陣容製作此書，但以往並沒有有趣的漫畫數學書吧！」沒錯。事實上，當日本歐姆社的編輯者來找我洽談本書的構想時，起初我也拒絕了。因為世面上「看漫畫學......」的書籍，只因名為漫畫，所以內容大多充滿插圖、圖畫又大，多為虛有其表的書籍。然而，看了日本歐姆社帶來的樣本《世界第一簡單　統計學》後，我的觀念大為轉變。這本書和一般的書籍不同，即使把它當做漫畫來讀也很有趣。它不光以插圖說明，甚至還具備了故事性，令讀者能夠輕鬆閱讀。編輯者告訴我本書亦將以故事性來呈現，因此我接受了這個提案。其實，從很久以前，我便有著「如果是漫畫就用這樣的風格來教學」的想法，所以當時我認為是實行這個想法的好機會。我可以保證，如果你對漫畫的要求越高，越能享受本書。所以快去結帳吧！

　　第二種類型是屬於「雖然對微積分感到厭惡或困難，但若是漫畫的話，應該多少可以學會吧！」有此想法而拿起本書的讀者。若你屬於這種類型，隨後就交給我吧！沒錯。你的直覺是正確的。你真是太幸運了。本書讓對微積分感到頭痛的人準備了許多訓練。換句話說，不光是「以漫畫來作說明」，也會以微積分的「教學方法」來教授微積分的技巧，這點也和以往的書籍截然不同。

　　首先，本書也涵蓋了關於「微積分到底用在何處？」的問題。這個問題若執著於用「極限」（或ε─δ論法）來教學，對方絕對無法理解。只要無法想像微積分能用在何處，勢必無法好好理解及應用。最後就會變成「只好死背」的無奈結果。本書在談「極限」時，便僅限於極限，而所有的公式都以「一次近似」的想法為依據。你應該能逐漸了解原來「公式的意義」。此外，拜教學方針的變更所賜，你可以順利且迅速地從微分進階到積分。不僅如此，像三角函數和指數函數等，聽了幾次還是一頭霧水的部分，作者以普通教科書沒有教授的獨門手法作為攻略。另外，本書也收錄泰勒展開式及偏微分的部分。因此，本書較以往的漫畫書更具內涵。最後，微積分經常運用於物理學、統計學及經濟學三大領域，這足以作為「微積分真的太實用了」的證明。所以對你而言，微積分不會是門頭痛的學問，反而會變成便利的工具吧！

　　真抱歉我這麼嘮叨，但這就是「正因為是漫畫，所以可以輕鬆理解」的原因。試想為何讀完一冊漫畫後，可取得比讀完一本小說更多的情報。其理由為漫畫是視覺化的資料，再加上其為「動畫」。所謂的微積分便是「記述動態現象」的數學。因此，以漫畫來教學真是再適合不過了。

　　那麼，請隨著這些頁面來閱讀漫畫和數學絕妙的結合吧！

2005年11月
小島寬之