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世界第一簡單傅立葉分析

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內容簡介

※輕鬆認識傅立葉轉換∕傅立葉分析的入門書※
※以簡潔趣味的手法說明三角函數與微積分※

  我們的生活週遭充滿聲波、電波、光波等各種不可見的波,如果將它們轉變成電子訊號便能觀測,而凡是能以訊號形式觀測的事物,幾乎都能藉傅立葉分析了解它們的成分、運動與變化。因此傅立葉分析成為訊號分析最常用的一種方法。如:聲紋分析、圖像檔壓縮以及心電圖、核磁共振等的訊號處理,廣泛應用在物理學、數學、工程學、醫學等領域。

  「傅立葉分析」是基於「傅立葉轉換」理論來解析各種波的性質的數學方法,也就是利用數學方法來分析及計算訊號的頻譜,所以必須具備微積分與三角函數的知識。本書著重在三角函數隨著時間迴轉、運動的相關函數上,讓讀者熟悉函數的積分、微分、四則運算、正交函數,以及週期函數、傅立葉級數、傅立葉係數、波形合成等概念;然後以「聲音」領域的應用當範例,介紹傅立葉轉換∕傅立葉分析的具體計算方式、頻譜的時間變化等。

  本書特色在於將充滿數學式的解說內容轉變成精采故事與充滿魅力與趣味的漫畫,對話式的內容淺顯易懂。希望讀者能與書中人物一樣,從毫無概念一舉輕鬆學會應用傅立葉轉換∕傅立葉分析。

作者簡介

澀谷道雄

  1971年日本東海大學工學部電子工學科畢業。曾任職於民間醫療機構研究所NMR研究員、半導體製造商的MOS商品開發、企劃及技術部,現任電子技術顧問公司Accu Elements Inc.執行董事。共同著作有:《用 Excel 學訊號解析與數值模擬》、《用 Excel 學傅立葉轉換》(以上OHM社出版)。

●製作 株式會社 TREND.PRO

  1988年創業。專門承辦運用漫畫製作報紙雜誌的廣告特輯,或製作公家機關、大型企業團體等各種領域的漫畫廣告。近年亦積極參與利用數位內容的廣告製作與出版企劃事業。製作履歷公開於網頁中。
www.ad-manga.com/

譯者簡介

謝仲其

  聲音藝術家,擅長電腦作曲、劇場配樂、錄音,並從事評論、企劃、翻譯。曾任國立台北藝術大學藝術與科技中心電腦音樂研究室助理,相關論文及作品曾入選數位藝術評論獎,長期參與科技藝術領域。現為臺北聲音小組成員、動漫文化網路雜誌〈逗貓棒電子報〉專欄作家,撰文並翻譯多篇日文動漫畫業界報導及深度訪談。

 

目錄

序章 聲波

第一章 邁向傅立葉轉換的道路

1. 聲音與頻率
2. 橫波與縱波
3. 波的時間變化
4. 頻率與振幅
5. 約瑟夫.傅立葉的發現
6. 面對傅立葉轉換的數學準備

第二章 三角函數的概念

1. 迴轉、振動與三角函數
2. 單位圓
3. 正弦函數
4. 餘弦函數
5. 參數式與圓的方程式
6. 將時間變化量代入三角函數
7. ωt 與三角函數

第三章 積分與微分的概念

1. 積分的概念
2. 常數表示式的積分
3. 一次函數的積分
4. n次函數的積分
5. 任意曲線的定積分
6. 切線的概念
7. 微分
8. 三角函數的微分
9. 三角函數的定積分

第四章 函數四則運算

1. 函數和的概念
2. 函數加法
3. 函數減法
4. 函數乘法
5. 函數的積與定積分

第五章 正交函數

1. 正交函數
2. 以圖表確認兩函數的正交關係
3. 計算確認兩函數的正交關係
4. y = sin2x 的定積分

第六章 理解傅立葉轉換的準備

1. 以三角函數加法製作波形
2. a cos x與b sin x的合成
3. 合成不同週期的三角函數
4. 傅立葉級數
5. 時間函數與頻譜
6. 傅立葉轉換的入口

第七章 傅立葉分析

1. 調整頻率成分的步驟
2. 傅立葉係數
3. 音叉的頻譜
4. 吉他的頻譜
5. 人聲的頻譜
6. Sweet Voice

附錄 傅立葉級數的代數應用範例

索引

 

前言

本書是希望使讀者對傅立葉轉換∕傅立葉分析能有概略認識的入門書。

  「傅立葉分析」不只應用在物理學領域,在工業製造等領域也廣泛地應用。支撐傅立葉分析的依據是名為「傅立葉轉換」的數學理論。我想大多數讀者會有一種「數學=公式」的想法,但是就研究數學而言,需要的不是背公式,而是理解其中的理論與概念。

  此外,為了理解這些概念,我們還必須具備基礎的知識。傅立葉轉換所需要的基本知識是微積分與三角函數,能建立對這些基礎知識的「概念」也非常重要。國、高中課程對三角函數(正弦、餘弦、正切)的介紹,重點在直角三角形兩邊的比,不斷進行相關公式運用的訓練;本書則著重在三角函數隨著時間迴轉、運動的相關函數上。希望各位能理解本書這種方向的適當性。

  換個角度看,本書也可以說是藉傅立葉分析之名的三角函數參考書。在書中有最低限度的必要公式未作證明便直接運用,但最重要的並非死背這些公式,而是運用它們獲得新的發現和理解時的感動。以前許多教科書與參考書都著重在記憶公式與演練解題上,國、高中與大學的考試也都在測驗公式的運用(計算)能力,以致最後有些人乾脆將習題全背起來。

  傅立葉轉換可以從數種基礎的數學知識推導出嶄新的概念,理解這概念所獲得的樂趣,是死背公式完全無法相比的。傅立葉的應用範圍極廣,本書僅介紹「聲音」領域的應用當作範例。讀者若能自己解析各式各樣的聲音,說不定能有新的發現呢!

  經由本書對傅立葉轉換∕傅立葉分析有了基本認識後,讀者若對傅立葉轉換的具體計算方式及頻譜的時間變化等有進一步了解的興趣,我建議可以接著閱讀我著作(共著)的《用Excel學傅立葉轉換》(OHM 社出版)。該書介紹的例題是在電腦上運用Excel軟體進行各式各樣簡便的解析。

  在此我要感謝將原本充斥數學式的傅立葉分析的解說轉變成精采故事的re_akino,以及將故事化成充滿魅力的漫畫形式的晴瀨□□□先生。最後還要對從本書企劃到最後一路大力支持的 OHM 社開發局各位成員至上最深的謝意。

 

詳細資料

  • ISBN:9789866363221
  • 叢書系列:科學視界
  • 規格:平裝 / 256頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 x 1.28 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

♪參數式與圓的方程式♪

惠:當點在這個單位圓上移動時,圓周上所有點的位置都可以根據底角θ表示為:

x = cosθ
y = sinθ

這種寫法,就稱為以θ為參數的「參數式」。這部分也是三角函數的重要應用。

香:參數式?

惠:所謂參數式,就是當有了θ,再利用 x = cosθ和 y = sinθ,就可以找到一個特定的點的方式。

現在,只要給一個θ,再來計算x = cosθ和y = sinθ,就能在 x-y平面上得到一組座標(x,y)的「點」。如果改變θ,又可以得到其他許多相對應的(x,y)組合。也就是說,如果將所有θ都算過一遍,得到的這些(x,y)點的集合,就可以表現出「圓」這個函數(呈現圓周上所有的點)。

在國中之前的數學裡,函數只有「y = ……」這種只寫一行的式子,但在這裡的函數要用兩行式子(兩式子都含有θ)才能表示,這是它的特徵。

香:原來這也和「圓」有關係啊……

惠:那麼,妳還記得「圓的方程式」嗎?

香:嗯~課本裡有……可是我只記得這樣而已耶!

惠:是x2 + y2 = r2,要記住唷!

香:好像有點印象啦!

惠:圓可以看作是與某一點距離相同的所有點的集合,其中每一個點都符合圓的方程式。

香:這有什麼作用呢?

惠:來把之前說的「參數式」代進圓的方程式。因為現在我們用的是半徑(r)為1的單位圓,所以這式子要分別代入x = cosθ、y = sinθ,還有r = 1,就變成──

圓的方程式
x2 + y2 = r2
→ cos2θ + sin2θ = 12

這也是十分重要的等式唷!

在此,sin2θ是代表(sinθ)2,cos2θ則代表(cosθ)2。

香:這要做什麼呀?

惠:這樣我們就可以透過三角函數來驗證「畢式定理」了!

香:嗯~畢氏定理是什麼啊?

惠:畢氏定理又稱為「勾股弦定理」。它的內容是將一個直角三角形三邊長設為 a、b、c ,當∠C = 90度時,會成立下列的關係:
a2 + b2 = c2

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