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數學與頭腦相遇的地方
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內容簡介

  ■明日報 2000年翻譯類十大好書
  ■2007年 中研院向社會推薦76本優良數學書

  經濟學家說,金錢的數目愈大,花在討論怎樣去使用的時間愈少。

  為什麼人的腦袋瓜,對愈大的數字愈不敏感?

  科學家能預測哪一天哪個地方可看到日食,為什麼沒法預測哪一天哪個地方會發生地震?

  統計學家說,35歲以上受過大學教育的未婚女性,想找到如意郎君的機率,比遭恐怖份子刺殺的機會還小。

  真是這樣嗎?

  社會學家說,奇蹟發生了:紐約市的犯罪率原本是全世界最高,前幾年突然急劇下降。這是警方威力掃蕩的結果,還是歹徒集體良心發現?

  政治學家說,最高票當選制是最壞的選舉制度,因為它能使一位不見得是最棒的候選人當選。

  那麼還有更好的票選方式嗎?

  外交家說,誠意合作,以德報德,以直報怨,是最成功的外交手腕。這是老掉牙的口號教條吧?

  小朋友問:生日蛋糕該怎麼切,才能讓大家都歡喜,大家都覺得公平?

  這些問題都可以藉由數學來解答。

  數學並不是不食人間煙火的學問,在「數學與頭腦相遇的地方」,會讓你的腦筋急轉彎,想清楚、瞧明白許許多多發生在生活周遭,以前只能霧裡看花的事物。

作者簡介

柯爾 K. C. Cole

  美國南加州大學安納堡傳播學院教授,《洛杉磯時報》科學專欄作家(1994年迄今),經常在《紐約客》、《紐約時報》、《新聞週刊》、《華盛頓郵報》、《哥倫比亞新聞評論》等媒體發表文章。

  1995年、2004年、2005年三度獲得「美國最佳科學寫作獎」,2002年獲得「美國最佳科學與自然寫作獎」。

  由於頻頻獲獎,而有「科學寫作界之達文西」的封號。

  著有《數學與頭腦相遇的地方》(The Universe and the Teacup)、《物理與頭腦相遇的地方》(First You Build a Cloud)等書。

  柯爾女士成長於巴西首都里約熱內盧、美國紐約州,曾在東歐待過數年,早年的寫作焦點在政治評論與女性議題。

  1980年代,與舊金山探險博物館(Exploratorium)創辦人法蘭克.歐本海默(Frank Oppenheimer)成為知交後,開始對科學產生濃厚興趣,從此鑽研科學,筆耕不輟。

  育有一女一子,目前定居在加州聖摩尼卡。

譯者簡介

丘宏義

  台灣大學物理系畢業,美國康乃爾大學物理博士。曾在普林斯頓高等研究院博士後研究二年,鑽研超新星的形成及中子星的構造,奠定現代中子星理論的基礎。之後在美國航空暨太空總署(NASA)馬里蘭州高達太空飛行中心(Goddard Space Flight Center)擔任太空科學家及天文物理學家。

  退休後,專事寫作,著有《新封神榜:紂王與妲己》、《吳大猷:中國物理學之父》,譯作有《預約新宇宙》、《億萬又億萬》、《抓時間的人》、《數學與頭腦相遇的地方》、《物理與頭腦相遇的地方》、《物理學家的靈感抽屜》、《光錐.蛀孔.宇宙弦》、《宇宙的六個神奇數字》、《量子重力》、《黃金比例》、《時終》等書。

 

目錄

導 讀 數學和人生問題及哲學 丘宏義
——數學不再是象牙塔中供奉的偶像;
數學已經走到人間的塵世中。

前 言 有人情味的果實
——數學不是專管數字的工作;
它是一種思考的方法,一種擬出問題的方法。

第一章 數學和事物到底有什麼關連?
——相對論已經給了我們答案:我們只能觀測到關係。
而量子理論給了另一個回答:我們只能觀測到機率。

第一部 心靈與數學相會的地方

第二章 指數式放大
——以年息百分之七的複利增值,
你的錢在十年後加一倍。

第三章 預估風險
——三十五歲以上、受過大學教育的未婚女性,
想找到夫君的機遇比遭恐怖份子刺殺的機會還要小?

第二部 對物質世界的解釋

第四章 量度男人、女人、及事物
——把一幅畢卡索的畫放在顯微鏡下,
你就沒辦法欣賞了,你只能辨識粗點的圖樣。

第五章 尺度的問題
——對蒼蠅而言,水更具有捕蠅紙的威力;
一旦蒼蠅身上沾濕了,就會被黏到死。

第六章 突現的性質︰多帶來不同
——群眾歇斯底里症不會發生在一個人身上,
就如一個人的病不能稱為傳染病一樣。

第七章 預測的數學
——這就是科學終歸要告訴我們的︰如何及為什麼,
而不是在哪裡或什麼時候。

第八章 稻草堆中的訊號
——科學家及藝術家都學會注意別人將要掃在地毯下的穢物,
他們學會變成很好的注意者。

第三部 對社會世界的解釋

第九章 選舉︰吉尼爾是對的
——她告訴人們的是他們不想聽的:
我們的選舉制度既不公平亦不民主。

第十章 公平的分配:所羅門王的智慧
——當我的小孩說某事是不公平的時候,
他們真正的意思是,他們得不到想要的東西。

第十一章 和藹體貼的數學原理︰數學證明了金律
——從這些數學研究中冒出來的策略,
聽上去很像老式的說教︰合作,原諒他人。

第四部 真理的數學原理

第十二章 事情因何發生?
——灰最後還是回歸灰,塵回歸塵,
可是在灰與灰、塵與塵之間,就有了人、狗及秋海棠。

第十三章 舉證的重擔
——許多人把「若DNA比對符合,辛普森就有罪」
與「若DNA比對不吻合,他就無罪」看成完全一樣……

第十四章 諾塞與愛因斯坦:真理的不變性
——和愛因斯坦一樣,諾塞看穿了
把看似大不相同的事物聯繫在一起的隱匿結構。

附 錄 延伸閱讀

 

前言
有人情味的果實
柯爾

  無論什麼理由,在最基礎處,大自然寧愛美。
  ——物理學者格羅斯(David Gross),加州大學聖巴巴拉分校理論物理學院院長

  數學似乎有一種令人驚異的能力,可以告訴我們東西是如何運轉的,為什麼事物是按它們現有的形態存在的,及宇宙能告訴我們些什麼(只要我們願意去學習及聆聽)。令人驚奇的是,這個本領來自一種似乎很抽象、客觀而無人情味的人類活動。

  可是,我們看待自己的方式,與我們所知的、或自認為已知的大自然客觀樣貌之間,有非常密切的關係。數學非但告訴我們重力的運用(因而可以建造出更好的橋樑),也告訴了我們一些普遍性的真理,這些真理影響了我們如何思考及感受(可以用來造出更好的社會)。物理學家法蘭克.歐本海默[1]喜歡把這些看成科學中有「人情味」的果實。

  誠然,數學可以應用在我們從學校學來的東西:造橋樑、結算支票本,及計算贏樂透獎的機率。可是它也可以闡明心中的迷惑,非但是科學家午夜冥思時的迷惑,還包括了藝術家及詩人、學校教師、心理學家、情侶、及為人父母者的迷惑︰我們怎樣能在大自然中尋出一個意義出來,包括人的本性?真理的本質是什麼?

  人類從上帝及方程式中尋求這些答案(有時在二者中同時尋找),譬如透過寫劇本及研究螞蟻來尋找。奇怪的是,這些能協助闡明「光是一種上下起伏的電磁場」的思考渠道,同樣也能搜尋多種社會問題的成因。在審判辛普森[2]時,也用到了用來證明頂夸克(top quark,最基本的粒子之一)存在的同一步驟(請見第十三章)。

  這是一種使人興奮飄然的意識︰數學這看上去似乎枯燥無味的東西,與我們做為社會基礎的深奧哲學理念之間,居然有這麼緊密的關聯。藉由學習數學,我們可以把每件事物掌握得更好——從晦澀難解的物理問題,到如何在離婚案中定出公平的財產分配。

  這就是在本書中,我嘗試把數學理念與解決看似不相關的問題連接起來的原因——從火星上的外星生命到「學院炸彈案」之謎[3]。這是一種嘗試,去示範數學如何能告訴人們哪些是真正該去思索及擔心的問題。如果我在本書中能完成一件事的話,那就是指出了,對生活品質的興趣不會因為量化的論證而有所減。質與量是不可分的。科學家及數學家,聖徙及哲學家,都在搜索「存在」的最基本問題,即怎麼樣和為什麼。雖然他們對於證明和證據都有不同的標準,可是量的洞察真的能幫我們去瞭解質方面的問題。

  當然,數學工具不能替代藝術家、演員、經濟學家、心理學家、歷史學家、作家、宗教領袖的洞察,可是這些工具可以供應急需的新透視。

數學不是專管數字的工作

  這本書的結構分成五個不等長短的部分。在第一章〈數學和事物到底有什麼關連?〉中,我表達出這個理念,即在許多方面數學不是專管數字的工作;它是一種思考的方法,一種擬出問題的方法,可以讓我們把事件的內臟翻出,把藏在底下的翻上,因而可以得到對事物的真實本質的意識。當然數學家都知道這一點,可是大多數對這門科學不熟悉的門外漢都不知道。這一章要瀏覽一些不在冀望之中的數學領域,從每日的頭條新聞到「金律」[4]。

  第一部〈心靈與數學相會的地方〉示範了一些理由,說明為什麼我們需要數學來幫助從紛亂中篩出真相。第一點是,數字自己不會說話,因為我們的頭腦擋了路。對每一個人來說,某些關係應當是很明顯的,可是就是不能穿透生理和經驗所擱下的、把智識和真理隔開的面紗。真的,這些心思過濾器使人的頭腦難以(或使其不可能)看到事物的真相,無論這真相是什麼。這些過濾器都是人類生理及心理上所需有的,因此不必去想如何「醫治」它們。可是,能知道它們在哪裡就可以幫上不少忙了,就如協助你開車一樣,如果知道你的車要向左偏去,就可以把方向盤向右扭,以資補償。

  第二部〈對物質世界的解釋〉,我要探索及澄清一些因物質實境投入視野而產生的障礙(我並不是說,能把我們頭腦中的那些混亂狀態,與凌亂的現實完全分開)。被不停的干涉及不斷改變場合混淆的訊號,在我們目視之下熔入「量」中的「質」或熔入「質」中的「量」,複雜到不可能解開的亂麻網絡,觀測的不可捉摸性,以及作預測的風險性——這些都使得欲從資訊中得到一些見識的技藝,變成一種挑戰,即使對最熟練的數學家亦然。

  第三部〈對社會世界的解釋〉要給讀者一些「數學如何能闡明世人的某些問題」的滋味,如公平。例如,一門叫做「賽局理論」的數學建議道:遵守「金律」非但是道德性的行為準繩,也是能得到好結果的有效策略。

  第四部、也是最長的一部〈真理的數學原理〉是本書宗旨的核心,描寫的是數學家能經常顯露出的一些驚人的基礎關係——因和果之間的關係,例如,證據及證明,真理和美。最有趣及最刺激的部分(即高潮,至少對作者來說是如此),是一位姓諾塞(Emmy Noether)的年輕數學家如何想出一個能使愛因斯坦的廣義相對論成立的方法;她展示出對稱性與基本的、不變的自然律之間的連鎖關係。換句話說,這個能使雪花美觀的性質,也彰顯了控制整個宇宙的定律。美與真理是同一枚硬幣的兩面。

【注釋】

  [1]原注:法蘭克.歐本海默(Frank Oppenheimer)是舊金山探險博物館(Exploratorium)的創辦人。他是「原子彈之父」羅伯.歐本海默(J. Robert Oppenheimer, 1904-1967)之弟。麥卡錫(Joe McCarthy)時代,法蘭克由於和平主義的論調,也被列入黑名單,遭排斥於物理學界之外。(譯注︰麥卡錫是一九五○年代的美國參議員,信口開河,不論青紅皂白把許多人戴上紅帽子。有一度被人認為是反共先鋒,後來其把戲被拆穿,名譽掃地。可是已經有許多被害者,包括歐本海默兄弟。最後參議院投票表決,公開斥責麥卡錫的行為,認為有辱參議員的身分。)

  [2]譯注:辛普森(O. J. Simpson),著名美式足球健將,在洛杉磯以殺妻罪被提起公訴,可是因為警方無能,把證據搞糟而被陪審員判無罪。

  [3]譯注:美國自一九七九年以來,有一位不知名的人把炸彈郵寄到不同學院中的不相關的人去,炸死及炸傷二十餘人。警方把這案稱為「大學炸彈者」(university bomber,簡稱為 unabomber)。後來大學炸彈者在報上發表反對科技的「宣言」,被他的兄弟認出,因而在蒙大拿州一處偏僻地方被找到,當時他正隱居於一間自己搭的小屋中。大學炸彈者名為 Kazynski,為一天才,哈佛大學數學博士,曾在加州大學柏克萊分校擔任助理教授。性格乖僻,教學不久後辭職,就此到被捕前皆不知去向。他認為科技是罪惡之本,因而專向學院及科技相關人士寄匿名包裹炸彈。現被判終身隔離監禁,不得保釋。

  [4]譯注:「金律」(golden rule)源出基督教聖經《新約》馬太福音7:12及路加福音6:31「你們願意人怎樣待你們,你們也要怎樣待人」,和孔子的哲學類似,可是倒過來說。孔子說「己所不欲,勿施於人」,而這金律說的是「己所欲,施於人」或「推己及人」。

 

詳細資料

  • ISBN:9789862164631
  • 規格:平裝 / 300頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 x 1.5 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

第五章 尺度的問題

你怎樣才能把五○○,○○○磅的水浮懸在空中,而不用到看得見的支架?
(答案︰把它變成雲。)
——藝術家米勒(Bob Miller)

受邀去遊歷每一件事物都比我們世界中的要大許多或小很多的世界,似乎帶有一種迷人的魔力。去冥想海洋或天空的廣闊,或者在顯微鏡下觀看池溏中拿來的污水,或是去想像原子的內在生活,這些行為都把我們遠遠帶離到日常生活之外的領域,進入一個只能依靠想像力才得跨入、極有異域情調的景色中去。

能長成巨人的滋味是什麼?變成一隻小蟲的大小呢?愛麗絲吃了一枚蘑菇,就脹大到如美西感恩節遊行隊的大氣球,從她的屋中爆出去;她再多吃一點,就縮小成「不可思議的不斷縮小的女人」,她永遠的恐懼就是掉到洗手盆排水口裡[1]。從「小史都華」到「金剛」,從「親愛的,我把孩子變小了」到「姆指人」[2],這種能把大小變化的觀念,對我們的心靈顯然有一股極強的吸引力。

有很好的理由去想像,不同尺度的世界也是截然不同的世界。一加一可能大於二;在量上面的改變,可以引起在質方面極大的不同。

當物體的大小有了基本的改變時,就有不同的自然律去管理它,時間的滴答聲也因不同的鐘而異,新的世界自無中生出來,而舊的世界則完全溶化不見。舉個例子,有一個奇怪的巨人——當然,毫無疑問的,他高大而強壯。可是高大的身材帶來了顯然的不便。按照霍登(J. B. S. Haldane, 1892-1964)在他的經典散文〈大小要正好〉中說的,一位六十英尺高的巨人,每走一步就會把他的大腿骨碎裂。

原因是很簡單的幾何原理。高度只按一維增大,而表面積則按二維增大,可是體積則按三維增大。如果你把一個人的身高加倍,支持他抗拒重力的肌肉的截面積會變大四倍(二乘二),而他的體積,因此也等於重量,會增大為八倍。如果你把他的身高加為十倍,他的體重要增加為一千倍,可是支撐他的肌肉及骨骼的截面積只增為一百倍。結果是︰骨骼碎裂了。

要支持這麼大的體重,需要結實而粗的腿。你可想一下大象或河馬吧。對牠們來說,跳躍完全是不可能的。超人一定只能是跳蚤的大小[3]。

長得愈大,跌得愈重
跳蚤當然經常表演超人的絕技,這就是現在幾乎已絕跡的跳蚤馬戲團的科學原理[4]。這些微不足道的小生物可以拉動比它們體重重了一六○,○○○倍的物件,可以跳到它們身高一百倍的高度。小生物的體重和它們的肌肉截面積相比起來,使得它們似乎無比強壯。雖然它們的肌肉比起我們的不知要微弱多少倍,可是它們要去拉動的質量更加小很多很多,因而使每一隻螞蟻都成為超生物,跳過高建築似乎也不成問題[5]。

巨人跌倒也不行。這古老的諺語也是真的︰「長得愈大,跌得愈重」。而愈小,跌在地上也愈輕。這原因還是幾何。如果一隻大象從高樓跌下,重力把它的極大質量重重拉下來,而牠那相對說來較小的表面積,對空氣的阻力則幾乎沒有。反過來說,一隻小老鼠的體積(及質量)小到重力沒有什麼可以去拉的,而相對表面積大到就像它有一頂長在身上的降落傘一樣。

霍登這麼寫道,一隻小老鼠可以從一千碼(約九百公尺)的懸崖跌下,毫髮無傷。大老鼠卻可能傷重致死。而人呢,必死無疑。而馬呢?霍登告訴我們:「血肉橫飛!」

同樣的相對關係,也可以應用在無生命的下墜物體,例如水滴。大氣中溼答答的充滿了水氣,即使水氣沒有我們能看見的雲的形象。可是,一旦一粒微小的水滴開始吸引其他水分子到它的邊上,事情就疾速發展了。當這成長中的水滴直徑增加一百倍之際,它的表面積增加的倍數為一萬,而它的體積增加的倍數則為一百萬倍。大的表面積能反射更多的光,因而使雲層變成可以看得見。這個增加了不知多少倍的體積,最後大到能被重力拉下,墜到地面成為雨點。

按照研究雲的專家的說法,空氣中的水滴同時被靜電的吸引力拉住(這電力把水滴拉聚成群成為雲)以及被重力往下拉。當這些水滴很小的時候,它們的表面積和體積相對來說極大,這時是電力在管事,因此水滴浮懸在空中。一旦水滴的大小大到某程度後,重力就一定贏。

針頭大小的物體幾乎察覺不到重力。重力是只有大尺度的物體才能感覺到的力。把分子聚集在一起的電力,比重力強了近乎一兆倍。這就是為什麼只要在空氣中有一絲一毫的靜電力,就能使你的頭髮豎立起來。

對跳蚤大小的超人來說,這些電力會造成很大的問題。首先,如果他想要飛得比子彈還快的話,會遭遇到極大的困難,因為對他而言,空氣就像濃極了的分子湯,從任一方向都可把他攔住。那就像在濃稠的糖漿中游泳一樣困難。

蒼蠅可以毫無困難的在天花板上倒著走,是因為把它們的腳黏在天花板上的分子膠的膠力,要比把它們微小的重量向下拉的重力強得多。可是,水的電力可像磁石一樣吸引住昆蟲。如霍登指出的,水分子的電力使得昆蟲想去喝水的動作,成為一種危險的絕技。一隻彎下身去小水坑喝水的昆蟲遭遇到的危險性,就如一個人在懸崖邊上彎下腰去採灌木上的漿果一樣。

水是最具黏性的物質之一。剛淋浴過的人身上帶了約有一磅重(○.五公斤)的水,可是這幾乎不能算是負荷。不過按照霍登的說法,一隻剛淋浴過的小老鼠身上帶的水,就幾乎相當於它的體重。對蒼蠅而言,水更具有捕蠅紙的威力;一旦蒼蠅身上沾濕了,就會被黏到死。按霍登的說法,這就是為什麼昆蟲有長的針狀吻(嘴)的原因。

事實上,如果你變成昆蟲的大小,生活中的每件事幾乎都不同了。一個螞蟻般大小的人永遠寫不出書來,因為一台螞蟻大小的打字機的鍵盤都會黏在一起,一本書的書頁亦然。螞蟻永遠不能生一團火,因為最小的火焰也要比它的身體大。

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