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用小學數學看世界

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內容簡介

本書特色

  還記得國小數學教些什麼嗎?做不完的加減乘除?一道道複雜的運算題?

  日本知名的經濟學家小島寬之認為:「算數的構想,是人類最接近本質的思考方法,可以解開人際關係、社會現象、宇宙之謎。」

  常見的「雞兔同籠」問題,只需要數學的「直觀」就可以解出?各樣的追趕問題,與牛頓、都卜勒還有愛因斯坦等人的偉大理論,起於同樣的算術發想?高斯對於從1加到100的解題構想,同樣可以解出工業發展與環境公害的雙贏社會法規?「工作問題」可以用在總體經濟學理論,「集合問題」與國會政黨角力,有異曲同工之妙?

  從簡單的算術概念出發,小島寬之先生的驚人之處,在於他可以用簡單的數學理論,解讀複雜的人類行為與社會現象。上從物理、天文,下至社會、建築、經濟、政治,且看小島寬之先生,帶您重新認識您所不知道的國小數學世界!

作者簡介

小島寬之(Kojima Hiroyuki)

  1958年生於東京,東京大學理學院數學系畢、東京大學研究所經濟學研究科博士班。現任帝京大學經濟學院經營學系助理教授,專攻數理經濟學。數學散文作家。

  著有《從數學看人類進步的軌跡》(台灣世茂出版)、《網路經濟學》(集英社新書)、《機率的構想》(NHK Books)、《MBA個體經濟學》(日經BP社)、《為文科學生設的數學教室》(講談社現代新書)、《妙用無窮!機率思考》(筑摩新書)、《獻給生態學家的經濟學》(東洋經濟新報社)等。

譯者簡介

陳昭蓉

  台灣師範大學數學系畢(輔修英語)。考取松下留日獎學金,取得東京工業大學經營工學博士學位。曾任職於台灣松下電器,現從事企管顧問並兼職翻譯。譯有《用看的學數學》、《刮風時,木桶商就能賺大錢?:看穿事物本質的數學腦》(以上世茂出版)、《讀書力》(商務出版)、《壅塞學》(究竟出版)、《工作是乘法》(先覺出版)、小天下數學館系列叢書等(小天下出版)。

 

目錄

前言─從原始構想到動態思考

序 章●個別思考與虛構的感覺─何謂「算數的構想」
算數的負面印象
擅長數學的人怎麼看待算數
算數和數學的差異---個別性和普遍性
算數的根本有先端科學的構想
追趕問題中的世界觀
算數的虛構感覺
虛構的效果---牛頓和海森堡
一起搭計程車該怎麼分攤車費
算數的構想能讓你以更豐富的角度看待世界

第I部 透過單純的構想看清世界的演變

第一章●從「追趕問題」到宇宙論─從相對角度看待事物的構想
追趕問題的想法
從國中生的角度重新思考追趕問題
算數特有的哲學
饒富趣味的應用問題
從追趕問題到物理學
救護車的鈴聲音高改變的原因
都卜勒效應和相對速度
都卜勒的實驗
光的都卜勒效應和宇宙膨脹
可以在前進的電車上休息的理由
動量不變
人生中的相對性
回到「哈伯定律」
規模浩大的追趕問題

第二章●從「高斯問題」到環境問題─倒過來看玻璃杯的構想
天才高斯的小故事
倒過來再相加的技巧
高斯的速算法
有點高級的應用問題
避險和高斯問題
自由競爭與最佳化
市場交易的過程
市場交易中的高斯問題
調整價格實現最佳均衡---瓦爾拉斯定律的證明
畢固提出反例
畢固所提出的外部不經濟的例子
圖解「社會利益」的方法
圖解外部不經濟
以課稅制度解決公害

第三章●從「相似圖形」到碎形(fractale)─無限的構想
從「相似」觀點看世界
相似和面積的關係
證明「相似和面積定律」
瓦特的蒸汽機
利用相似證明畢氏定理
自我相似(self-similar)碎形
考區曲線也出現在國中入學考試
史賓斯基地毯
曼德布洛特的新發現
愛因斯坦也發現了碎形
浸透和臨界現象
世上真的有碎形嗎?
碎形的周長和面積
減低「次元」,掌握觀念
小學算數能幫助我們計算次元
求碎形的次元
里亞式海岸的碎形次元
日式居家建築的碎形
碎形暴露經濟社會的秘密

第II部 以柔軟的思考看穿社會的結構

第四章●從「工作問題」談到日本的景氣停滯─看穿景氣低迷的思考
工作問題的想法
如何解決更深入的問題
牛頓問題的想法
經濟世界的牛頓問題
經濟成長的原理
投資對社會是貢獻?
秘訣在於要考慮每一個人
處於穩定狀態經濟也會成長
儲蓄率的影響
日本的高度成長和高儲蓄率之謎
少子化對於經濟有什麼影響
盛極必衰?
「失落的十年」原因何在
景氣低迷的原因
林.普列斯卡模型
對經濟成長理論的期望

第五章●從「數數有幾種」談到熵(entropy)─解讀社會貧富差距
數數有幾種的技巧
關鍵是「不遺漏,不重複」
樹狀圖的技巧
排列.組合的技巧
「同質性」和「異質性」的觀點
無法倒帶的自然現象
以樹枝圖表現氣體分子
不受「鎌鼬」鬼怪侵襲的原因
變得混亂的力量
熱現象與熵---以錢為比喻
社會貧富差距與熵
和國中入學考有關的「資訊與人際網絡」
六年一貫綜合中學和公立國中「各據山頭」的模型

第六章●從「集合問題」談利益分配─解讀社會貧富差距
集合問題與范恩圖
三個集合的排容原理
應用排容原理
有趣的因數倍數法則
數學家梅比烏斯(Mobius)的發現
尤拉函數的發現
了解排容原理和梅比烏斯反轉公式
如果有主從關係,就能作梅比烏斯反轉
共乘計程車的車費分攤方式
三人共乘的問題
出現梅比烏斯反轉公式
薛普利值的合理性
從數數看有幾種情況的觀點來看薛普利值
議會的政黨角力

 

推薦序

導讀小島寬之新書

  這是一本掌握數學思維的經濟學家所寫的數學普及讀物!作者小島寬之能夠為我們解釋「『算數樸素而原始的構想』其實和先端科學的看法、想法相通」,顯然擁有非常成熟的數學心智,否則大概無法強調「算數的構想是人類最接近本質的思考方法,可以解開人際關係、社會現象、宇宙之謎。」舉例來說,本書最令人心折的數學普及書寫,莫過於有關碎形的次元(或維度)之說明。作者從相似圖形與面積公式這些小學算數的概念切入,即可定義並計算碎形的次元(或維度),他的論述平易可解,筆調親切宜人,真是不負科普書寫之使命。作者所以介紹碎形,當然與股價的走勢圖形有關。不過,作者為了徹底理解碎形,想必投注了可觀的心力才是。

  日本人所謂的「算數」,是指我們所說的小學「算術」,只要活用小學算術,就可以幫助我們解決那麼多的人文、社會與自然等問題,的確令人匪夷所思!不過,一旦細心地進入本書鋪陳的數學世界,一定可以相信作者所言不虛!

  對很多人而言,小學算術當然重要 - 日常生活必定少不了它,不過,加減乘除運算及其相關的應用題,似乎是讀者共同的回憶(也許不怎麼愉快)。然而,小學算術中的「追趕問題」和「工程問題」到了作者筆下,都成了大哉問,真是令人驚奇!追趕問題解法的適當應用,可以幫助我們解釋救護車鈴聲音高改變的都卜勒效應,至於工程問題,則觸及日本少子化對於經濟影響的因素。以這些為例,小島寬之邀請我們依序「透過單純的構想看清世界的演變」(本書第I部份主題)、「以柔軟的思考看穿社會的結構」(本書第II部份主題)。

  誠如作者所說,算數的構想能讓我們以更豐富的角度看待世界,這是因為「算數的構想累積了日常生活、人際關係、人生經驗的諸多觀點」,因此,一旦掌握了「算數的單純看法、原始點子,也能讓你的生活更豐富,滋潤你的人生。」作者當然也注意到數學 - 其中代數的思維應該是核心部份 - 的重要性:「數學的『普遍操作性』能節省思考步驟和時間,提高『效率性』,或者避免想法有缺失,避免跳躍,確保『嚴密性』」,不過,希望從比較綜合、直觀的角度看待或欣賞世界,還是有賴算數的「個別思維」模式。

  本書作者小島寬之出身東京大學數學系與經濟研究所,專業領域為數理經濟,又廣泛接觸科普作品(含小說與電影),因此,他每能就近取譬(本書例子大都十分有趣、切合實用),讓本書內容更加平易近人。因此,本書跟他的《從數學看人類進步的軌跡》一樣,都非常值得推薦,希望大家一起來「戴上『算數構想』的有色眼鏡,享受世界繽紛的一面。」

洪萬生
台灣師範大學數學系

前言

從原始構想到動態思考

  二零零六年四月,我到J-WAVE電台「Growing Reed」節目中擔任特別來賓,討論的主題是「數學有用嗎」。主持人是V6(編註:日本的超人氣偶像團體)的岡田准一,他完全沒有偶像的架子,是個穩重的年輕人,令人喜愛。我和他討論了一個小時,非常開心(參考資料(1)的網站有詳細內容)。

  和岡田准一的談話中,讓我吃驚的是,他認為算數和數學是「由老師設計問題,早就有答案的規定」。不只岡田准一如此,許多人心裡應該也是這麼想的。所以我對他說:「數學發展的方式,隨著國家、時代、文化改變,現在數學還在進化中。」他非常驚訝,雙眼流露出小男孩似的好奇光芒,我看準機會,說:「算數和數學的構想並不只是為了通過學校的考試,而是散佈於日常生活、人際關係到宇宙之謎,柔軟多變化,是人類的文化也是資產。生而為人,尚未了解數學就離開人世,實在可惜。」聽到這段話之後,岡田准一那恍然大悟的表情,至今仍然烙印在我心中(他長得很帥當然也是原因之一)。他身為偶像卻非常敏銳,光是聽到這段話就全都明白了。

  這本書正是為了告訴像岡田准一一樣的讀者,算數的魅力何在。書中所列舉的許多算數問題,將帶領大家享受解法背後特有的構想。我挑選的問題幾乎都是國中入學考的問題。算數是(日本)小學必修的科目,上了國中之後稱為數學。這本書要證明算數和數學不只是名稱不同,而是本質上帶有不同構想的領域。只要大家隨手翻閱就知道,這本書的目標並不是希望大家「能解答」算數問題。

  這本書究竟是什麼樣的書?

  這本書列舉了許多領域的例子,為大家解釋「算數樸素而原始的構想」其實和先端科學的看法、想法相通。每一章都從算數的「○○問題」開始,在不知不覺中就已經跳到先端科學的成果。介紹的科學包括物理學、經濟學、數學、統計學、賽局理論,豐富多樣。

  算數的構想是人類最接近本質的思考方法,可以解開人際關係、社會現象、宇宙之謎。即使不懂數學,也可以省略了解數學的步驟,只靠算數就能了解先端理論。實際上,不透過數學反而比較容易了解某些領域。本書網羅了所有這一類的領域。

  序章以分析的角度敘述「何謂算數的構想」。第I部包含一到三章,匯集讓人對大自然到宇宙完全改觀的話題。第一章從「追趕問題」談到宇宙膨脹的話題,第二章從「高斯問題」談到環境問題,第三章從「相似」談到複雜系的話題。第II部包含四到六章,介紹的構想可以解讀人類社會複雜而麻煩的結構。第四章從「工作問題」談到日本景氣停滯=「迷失的十年」的話題,第五章從「數數有幾種」談到熵(entropy)再解讀社會貧富差距,第六章從「集合問題」談到利益分配的問題。

  希望大家看了筆者的文章,改變對算數的印象,戴上「算數構想」的有色眼鏡,享受世界繽紛多彩的一面。

 

詳細資料

  • ISBN:9789866363306
  • 叢書系列:數學館
  • 規格:平裝 / 208頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

從「數數有幾種」談到熵(entropy)──解讀社會貧富差距

數數有幾種的技巧

「數數有幾種」的問題從國中入學考到大學入學考都有,是出題壽命很長的領域。有趣的是,不管是小學生還是高中生,用以解決這種問題的概念和計算技巧都一樣。換句話說,數數有幾種的技巧,和年齡、發展階段、知識多寡無關,是一個很原始的想法。先來看一些例題。

問題
(1)有4個人坐在公園的長椅。如果要調整座位順序,總共有幾種不同的坐法?(05年 加藤學園曉秀)

(2)把5個學生分成3人和2人的小組,總共有幾種分法?(05年 香蘭女校)

(3)10角形有幾道對角線?(05年 沖繩尚學附屬高中)

(4)從6個學生A、B、C、D、E、F中挑選3個選手參賽,總共有幾種選法?(05年 履正社學園豐中)

這些問題看起來比代數和幾何問題簡單,只要列舉實際情況,數一數有幾種,就能得到答案了。每個人小時候都該嚐試這種先列舉實際情況、再數一數有幾種的經驗,除了能體會「不重複,不遺漏」的難處,有時候還能發現「怎麼數最不費力」的技巧。有些人上了高中後還是搞不懂這種「數數有幾種」的問題,這些人多半在小學和國中時不肯花時間列舉實際情況,光靠「背公式」撐過考試。假如有讀者覺得自己不擅長「數數有幾種」的問題,建議大家重回起點,練習列舉實際情況,應該還來得及挽救。

關鍵是「不遺漏,不重複」

解「數數有幾種」的問題,有兩項關鍵。首先,不能有遺漏;第二,不能重複。說來簡單,做來難。要確實做到這兩點,「必須巧妙的利用記號標示想要數的東西」。說得艱深一點,就是「適度把清點對象化為暗號」。

以剛才的問題(3)為例。

該如何把十角形的對角線化為暗號?最自然的方法是在頂點標示號碼0、1、2、3、4、5、6、7、8、9,把對角線兩邊的號碼並排,當成對角線(圖5-1)。例如連接頂點1和頂點5的對角線寫成15,37和84的意思也一樣。不過,像44這種連接同樣頂點的情況不算對角線,23和56和90這種連接相鄰頂點的情況只是十角形的「邊」,不是對角線。按照這種方法,所有對角線都可以化為暗號。

化為暗號之後,下一步是消除重複的情況。換句話說,必須掌握「哪些暗號看起來不同其實一樣」。以十角形的對角線為例,15和51看來不同,實際上代表同一條對角線(圖5-1)。從頂點1朝頂點5畫線,或者從頂點5朝頂點1畫線,結果都是同樣的對角線。數有多少種情況的時候,必須扣除這種重複的情況。

解「數數有幾種」的問題時,重點在於「如何把想數的東西化為暗號」以及「扣除看來不同其實一樣的暗號」。

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