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3小時讀通微積分(漫畫版)

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內容簡介

本書特色

  學會微積分到底有什麼用?為什麼教科書那麼艱深難懂?

  這本最簡單、最有趣的微積分入門書
  以淺顯文字與趣味漫畫,為你介紹微積分的概念、公式與用途,
  患有數學過敏症的人也能愉快、輕鬆地學會微積分!

  微積分是一種「便利的實用工具」!

  人們之所以討厭數學,主要是由於:必須背一大堆公式,
  但是,公式並不是用來背的,而是創造出來的:
  微分的結果是斜率,可用來分析變化,
  廣泛運用於物理、股票、匯率與攝影等;
  積分則是微分的逆運算,目的在於求出變化的總和與面積。

  本書專為數學過敏症者設計了效果卓著的學習策略:
  大致理解 接觸公式 嘗試解題 再一次大致地思考

  跟著本書循序漸進,你將發現---
  擁有一顆理解微積分的數學腦,也等於擁有預測的能力!

作者簡介

石山 平

  代書。目前於Medaka-College服務,主要教授法學科目,同時負責其他科目的教學工作。

大上丈彥

  曾任程式設計師、升學補習班講師,現為Medaka-College負責人。主要著作有《超難微積分》、《四維度的蘋果》(以上日本荒地出版社)。

監修者簡介

Medaka-College

  二○○二年基於「圖解書若沒辦法說明得清楚易懂,是因為說明的人本身也不了解內容」的精神創社。主要業務為教材的企劃出版及接受學校的諮詢。

譯者簡介

陳玉華

  政治大學東語系日語組學士,輔仁大學日本語文學系碩士。目前於大學任教,同時從事翻譯工作。譯有:《探索昆蟲微小腦》、《圖解交通工具修理DIY》、《圖解家電用品修理DIY》、《圖解微生物》、《圖解失智症.阿茲海默症》、《成功的人都很健忘》、《經皮毒完全排毒法》、《恐怖的食品添加物》、《品味橡皮章》、《懂得傾聽的人最有說服力》等(以上世茂)。

 

目錄

前言…………………………………………………………………3

第1章  微分………………………………………………………9
 1微積分與艾克索三圈半跳躍 / 2數學過敏症對策 / 3精準的微分定義 / 4一點的斜率?  ~ 瞬間的斜率 ~ / 5氣氛曲線的最高潮在哪裡? / 6從圖形創造圖形 / 7微分會用在什麼地方? / 8尋找微分偶像! / 9基本的確認  斜率的求法 / 10在曲線上取兩個點的方法 / 11讓兩點逐漸靠近後 / 12極限狀態=沒有可能性了 / 13何謂無限接近? / 14嘗試具體接近 / 15極限值的求法與表現方式 / 16如何接近? / 17從後面?從前面? / 18何謂「連續的」 / 19差不多該回到微分了 / 20滑過去微分 / 21一點的斜率所代表的意義 / 22導函數這種函數 / 23導函數的表記法 / 24續.導函數的表記法 / 25練習題 / 26導函數的簡單求法 / 27微分的基本公式組 / 28最棒的基本工具 / 29基本工具的確認 / 30從基本公式創造應用的工具 / 31創造工具的意義 / 32 的微分 / 33積的微分 / 34合成函數的微分 / 35利用微分畫圖形 / 36適當描繪的二次函數 / 37畫三次函數的圖形 / 38任你塞的包裹專用袋? / 39微分的出口

第2章  積分…………………………………………………………107
 40積分與微分的關係 / 41積分寫法的練習 / 42積分讀法的練習 / 43積分的計算練習 / 44積分常數 / 45為什麼是  / 46原始函數 / 47真的是逆運算嗎? / 48積分為變化的總和 / 49從不定積分到定積分 / 50限定範圍的積分 / 51不定積分.定積分與面積 / 52 的寬度 / 53分割後求面積 / 54另一種研究定積分的方法 / 55把要求的面積夾進去 / 56分部求積法 1 / 57分部求積法 2 / 58分部求積法 3 / 59分部求積法實際演算 / 60從分部求積法到定積分 / 61用定積分求面積的函數 / 62微積分學的基本定理 / 63負的面積? / 64請求出面積 / 65續.請求出面積 / 66積分的本質 / 67圓錐的體積 / 68球體的體積 / 69積分的策略 / 70用物理創造公式

後記

 

前言

  近年來,經常在報紙上看到年輕人「討厭數學」及「排斥理科」的相關報導。不過,至少拿起本書的你,應該不會是「討厭數學的人」吧。在這個社會,會表明自己喜歡數學的人並不多,雖然「喜歡討厭」和「會不會」本來就不能相提並論,但似乎許多人會將這兩者混為一談,導致有很多人會說:「雖然我喜歡數學,但因為數學不好,所以不能大聲地說『喜歡』。」而本書就是為了讓這樣的人說出「我喜歡數學」、「數學很有趣」才編寫的。

  數學是一門很艱深的學問,不過,不因為困難就覺得無趣,這也是人類有意思的一點。對喜歡拼圖的人來說,難度高的拼圖就是好玩的拼圖。至於數學為什麼會很艱澀難懂,有個很重要的原因,那就是「教學方法」有問題。數學的內容既不是語言也不是旋律,而是一種「概念」。如果聽不懂這個說明,請試著想一下「準備將某個朋友介紹給另一位朋友」這件事。要介紹時,一定會為了想些「臉長得像某位藝人、說話的方式……」等描述而絞盡腦汁吧,或是畫出人像、拿照片給他看,但不管怎麼做,還是沒有一種描述可以稱為「最終版本」。「朋友」是由外表、性格及生活小插曲等,在自己腦海中形成的一種概念,要將這種概念傳達給別人,基本上就不容易。

  但是,有時也會因為某種機緣而成功地將概念傳達出去。舉例來說,若聽過關於某個人的事多次之後,之後一有機會見到本人,也會產生像老朋友般的感覺,這是因為有關他的概念已經成功地傳達給你了。那麼,究竟要如何做才能產生這種效果呢?

  很抱歉,這並沒有一套固定的方法。

  當我們到書店時,會看到書架上陳列著許多數學的入門書,這就表示目前還沒有一本入門書可以稱為最終版本。不過,如前所述,即使沒有最終版本,有時候還是會因為某種機緣而把概念成功地傳達出去。即使是同樣一件事,只要換個人說明,就會出現完全理解或無法理解的情況。甚至連自己的身體狀況也會左右理解的程度,這就是人類的特點。

  對我們這些「想讓大家瞭解數學有趣之處」而進行各種活動的團體而言,坊間有許多數學入門書反而是一件令人開心的事。事實上,如果有越來越多人因為看了Medaka-College這本書而對數學有進一步的認識,或者這本書暢銷的話,我們和出版社當然都會很開心。不過,不論我們的書寫得多麼簡單易懂,如果只剩下一本入門書,或者其他書都消失的話(雖然不會有這樣的事),這樣是不行的。因為,有各式各樣的入門書是很重要的。唯有這樣,才能以不同方法、不同方式、不同措辭來說明同一件事。不須全部瞭解,只要能利用其中一本書學會就行了,這才是入門書的本質。

  有些入門書會提出「不使用公式」的聲明,但本書會使用公式。雖然有人說,使用公式會導致讀者越來越少(笑),但就像最能表現出音樂的東西是樂譜一樣,最能完美表現出數學的也是公式。另外,雖然本書裡採用「漫畫」來說明,但文章還是占有相當的分量。漫畫或插圖雖然比較容易懂,但畢竟不是萬能之神。因此,在編寫本書時,只要覺得利用文章說明比較清楚,就會使用文章;利用插圖比較好懂,就會利用插圖。總之,目的還是在於設法將概念順利傳達出去。

  請務必利用本書,大致掌握微積分的目的與用途,以及微積分是靠何種理論運作的。這裡所說的「大致掌握」是非常重要的事。而且,「概念」就算要懂,也只要達到「差不多的程度」就夠了。這是一個目標,而且,只要有這個目標就夠了。

  微積分在人生中有一絲一毫的用處嗎?有這種想法的人應該是尚未遇到必須具體使用算式的情況吧。但即使是這樣的人,數學的「概念」對他們也很有幫助,因為數學會教導我們該如何面對難題。只要能夠「大致」瞭解數學,過去一直存在的「困難=無趣」的想法或許也會轉變為「困難=有趣」。

  如果有更多人因為本書而產生「數學困難=有趣」的想法,這將會是我們無上的喜悅。

 

詳細資料

  • ISBN:9789866363351
  • 叢書系列:科學視界
  • 規格:平裝 / 208頁 / 16k菊 / 14.8 x 21 x 1.04 cm / 普通級 / 全彩印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

01 微分的明確定義

為什麼微分有存在的必要?這當然是因為微分是一種便利的工具。至於微分對哪方面能帶來哪些便利,這一點就留待後面再一一討論。這裡先為大家介紹微分真正的功能,也就是:

分析變化

如果以直線來看,微分後的結果就是「斜率」。請在腦中畫一張直線的圖形。如果要看直線上某一個點如何往另一個點變化,都會以斜率「陡峭」或「和緩」等來表現。換句話說,只要對直線進行微分,就會出現「斜率」。而且,即使是蜿蜒的曲線,只要進行微分,就會出現各處的「斜率」。像這樣用來分析「變化」的工具就是微分。

如果要問在這個世界上,有多麼需要分析變化的話,那我只能說:

真的是多到無法計算

至於有哪些例子呢?我將於本書介紹其中一部分。不過,在書中能夠介紹的僅是整體的一小部分而已,因為微分的應用範圍可是無限大的喔。

但是,在學校上數學課時,就很難實際感受到「微分的應用範圍很大」這一點。反正,學校的課程本來就是這樣嘛。

02 一點的斜率?~瞬間的斜率~

前面提到,「微分的功能在於求出變化」。這樣突然提出變化的概念,或許會令大家一頭霧水,因此,我在這裡就以雲霄飛車為例來為大家說明。

雲霄飛車的軌道大部分都是曲線。因此,坐在雲霄飛車上的乘客可以視為是在軌道這種曲線上移動的一個點。當坐在雲霄飛車上時,不論是下坡,或在平坦的軌道間行進,抑或爬坡時,身體都會因位置的改變而受到牽引或放鬆,出現不同的身體感覺。身體之所以會像這樣隨著位置不同而產生不同的感覺,其中一項要素就是身體方向及速度的差異。由於雲霄飛車的軌道是曲線,且不斷地彎曲,因而不論在軌道上的哪一個點,身體都會變化成最適合那一個瞬間的方向與趨勢。

將這個例子放到數學上來看,曲線圖就有如雲霄飛車的軌道,圖形上的點就是在軌道上行駛的雲霄飛車。如果將曲線上的每一個點想像成行進的樣子,那麼,曲線上的各個點應該都正在準備往不同方向前進。不過,如果是圖形上的點,就不知道它們是以什麼樣的速度在移動了。

因此,在數學中,當假設點是在曲線上移動時,便會將該點在下一瞬間的變化稱為「瞬間的斜率」。換句話說,「瞬間的斜率」就是指「曲線上的每個點在該點時的斜率」。

這個概念後面會再作詳細解說,總之,在數學中思考斜率的問題時,基本上都會取兩個點來看。因此,「一點的斜率」這種說法有點奇怪,所以我們才會採用「瞬間的斜率」這種說法。不過,這樣的說法還是有些不妥。由於微分這種觀念本來就是為了解決物理學及天文學等有關運動的學問才發展出來的,因此在這類領域中,使用「瞬間」這種感覺是很普通的。但是,在去掉運動這種概念的數學曲線上,就會有人無法理解「瞬間」的意思。

因此,本書為了以數學式的、圖形的方式來說明,便決定不採用「瞬間的斜率」這種說法,而使用「一點的斜率」這種說法。因此,已習慣「瞬間的斜率」這種說法的人在書中看到「一點的斜率」時,請自行轉換為「瞬間的斜率」。至於第一次接觸微分的人,則請記住「瞬間的斜率」才是通用的用語。

此外,也請記住,當要計算一般很難算出的「一點的斜率」時,微分是一種非常方便的工具。

接下來是題外話,不知道各位有沒有想過,當軌道在某一個瞬間消失時,行走中的雲霄飛車會出現什麼樣的變化呢?這個問題的答案當然是會筆直地往前飛出去。而雲霄飛車在這時候往前飛去的方向其實正好是曲線的切線(tangent line)。因此,「瞬間的斜率」=「一點的斜率」這個概念也可以用來求出切線。

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