陶哲軒教你聰明解數學

導讀1
看見解答背後的思路
傅承德

　　數學究竟該怎麼教？怎麼學？

　　回顧我們從小到大的數學課，多半都是一個既定模式：老師教你一些數學工具，然後告訴你某種數學問題要用什麼工具，另一種數學問題又該用什麼工具。例如老師教你排列組合，然後告訴你三男五女圍著一張圓桌坐要怎麼算；教你三角函數時，告訴你怎麼用正弦定理求三角形的面積。

　　考試的時候，學生就依樣畫葫蘆。「老師說這題要用排列組合來算」，便套用排列組合的公式。「這題參考書有寫，要用正弦定理」，所以就把正弦定理拿出來用。碰到沒看過的題目，學生兩手一攤：「我沒學過，我不會。」

　　於是，學生手握諸多神兵利器，卻對於沒見過的問題一點辦法也沒有，除非老師曾經教過，否則他不知道該如何出招。

　　偏偏世界上大多數的問題老師都沒教，也沒辦法教。在這個日新月異的時代，不論是學術界、實務界、數學奧林匹亞競賽乃至於現實人生，我們都不斷地面對新的問題，全世界沒有人看過，更沒有人知道該如何解答。在這樣的狀況下，我們不能再依靠學校老師給我們解答，因為解答根本還不存在於這個世界上！

　　因此，我們迫切需要培養「自行尋找解答」的能力。我們需要了解，一個解答是如何「想」出來的：為什麼三男五女的題目要這樣計算？為什麼這個面積要用正弦定理？當初想出這些解答的數學家們面對這些題目時，究竟是如何抽絲剝繭、逐步分析、找出適合的數學工具，並進而求解？

　　我們需要去看見「解答背後的思路」，才能了解在面對新的問題時如何創造新的解答。

　　而這便是本書的精髓所在。10歲便成為數學奧林匹亞國手，現今仍繼續活躍於數學界的「神童」陶哲軒教授，在這本書裡將他的解題思路完完整整地攤在諸位面前。他不只告訴各位題目怎麼解，更重要的是，他是如何「想」出這些解答的。藉由這本書，相信讀者可以很清楚地了解到，這些解答不是憑空掉下來的；它是透過逐步分析，一步步歸納出可行的方案，慢慢鋪陳出來的。

　　它是可以「想」出來的。您也做得到！

　　本書對於數學的學習與理解幫助甚大，能讓讀者學會如何將課堂上所學到的數學知識轉化為個人的數學能力，故在此推薦給學生、教師、家長以及社會大眾。相信在閱讀本書後，您會對數學這個大部分人覺得「神祕而難以理解」的學科有全新的理解與體悟，並對您在未來人生中思考問題上（不論是哪一類的問題），有非常正面的幫助。

（本文作者為中央大學統計研究所講座教授兼所長，中華民國數學奧林匹亞計畫主持人）

導讀2
頂尖數學家的年輕熱情
游森棚

　　讀者手上這本書，是當代閃亮的頂尖數學家陶哲軒在15歲時寫的一本關於如何解題的手冊。書中藉由一些試題，談談解數學題時的思維和方法。

　　書中的選題多是不難，卻是需要思考的數學競賽試題。但是說實在，關於解「數學難題」或「解數學競賽題」，市面上已經有太多書，任選一本，內容的深度和蒐羅的廣度大概都超過。如同升學參考書，這類型的書已經發展到有題型整理、有模擬試題、有貼心的重點整理。用這個標準篩選，這本書是排不進來的。

　　但是如果你真的熱愛數學、關心教育，我要大力推薦陶哲軒的這本書。所有熱愛數學的學生以及有機會教到資優學生的數學老師和家長，都可以讀一讀。為什麼？

　　首先，這是解題思路的第一手資料。到底難題是怎麼想出來的？這可能是所有在數學裡掙扎的人最想知道的一點。這本小書中，作者不藏私地分享他在面對問題時的思緒：怎麼抽絲剝繭、怎麼分析、該選用什麼工具和知識、怎麼找到關鍵點。難得有書這樣寫，所以讀者若能吸收作者的想法，必能在數學的思維上有很多新的領悟和收穫！

　　再者，普羅大眾都喜歡奇人軼事。陶哲軒的早慧故事讓人津津樂道且目瞪口呆：他出生於1975年，從小就是有名的「天才兒童」，8歲時去考SAT（大學入學考試測驗），滿分800分，他考了760分；他在11、12、13歲（1986、87、88年）參加國際數學奧林匹亞競賽，分別拿到銅牌、銀牌和金牌，而13歲拿金牌，仍然是目前的紀錄保持人；他20歲拿到普林斯頓大學的博士學位，24歲成為加州大學洛杉磯分校（UCLA）的正教授。

　　以上這些經歷，可能是現今台灣父母夢寐以求的想望，一個如此聰明的「天才兒童」。

　　但是外行看熱鬧，內行看門道。以上可以當做茶餘飯後的故事，真正值得敬佩的是他接下來的學術成就。截至2011年，陶哲軒已經發表了將近200篇高品質的學術論文。多半學者窮其一生只能專精一、兩個領域，他卻已經可以同時在數個領域，諸如調和分析、偏微分方程、解析數論、組合學等等都走在同行的頂尖，甚至開創了幾個新的研究方向。

　　不到40歲，陶哲軒已經得到十多個國際性的學術獎項，包括2000年薩蘭獎（SalemPrize）、2002年博謝獎Salem Prize）（Bocher Prize）、2003年克萊數學研究獎（Clay Research Award）、2008年沃特曼獎（AlanT.WatermanPrize）、2009Alan T. Waterman Prize）年費薩爾國王國際獎（King Faisal International Prize）、2010 年內默斯獎（Nemmers Prize）和波利亞獎（Polya Prize），以及2006年在國際數學家大會上榮獲有「數學界的諾貝爾獎」之稱的費爾茲獎（Fields Medal）。說實話，這些成就已經如同遠在天邊的星星，是多少科學家一輩子無法達到的境界。

　　因此，不管是學生、老師、家長或學者，面對手上這本書，我們都應該有一點點興奮。這不是一本解題報告，也不是教導如何準備數學競賽的參考書，而是一個當今頂尖數學家的年輕熱情。這顆年輕的心是如此熱愛數學，熱愛到會想把自己的心得寫成一本小小的冊子，向（那時候還不知道在哪裡的）讀者分享他的喜悅。這是有血有肉的年輕歲月紀錄，這是面對自己熱情的誠實筆記。

　　我希望讀者能體會我要傳達的意思。藉由這本小書的內容，除了吸收陶哲軒對於解題的思路以外，更值得思考的是，這樣的熱情如何能經過陶冶、淬煉成長而成熟。

　　這幾年我有一些機會參與國際奧林匹亞競賽選手的選拔及培訓工作，也有幸擔任了2006和2007年的國家代表隊領隊。在頒獎時我總是非常戰慄，打從心底戰慄，因為你知道台上這些年輕的學生不僅聰明又努力，而且他們很有可能會改變這個世界。

　　種子要開花結果，需要適當的土壤、肥料、水分和陽光；同樣的道理，在台灣聰明的學生到處都是，但更需要的是健康的環境與個人的努力。黑葉荔枝怎麼種也不會變成玉荷包，反而應當好好栽培成最甜的黑葉。同樣的道理，發掘自己的熱情和資質擅長所在，專精一致才是正確的方向。

　　希望這本書的出版不僅讓我們一窺數學的美妙，也讓我們思考一些關於人才養成的深刻問題。

（本文作者為高雄大學應用數學系教授，2006、2007年國際數學奧林匹亞競賽國家代表隊領隊）

推薦文
體驗以簡馭繁的數學美感
曾俊雄

　　閱讀本書讓我領略到陶哲軒的思維特性，敏銳的直覺、嚴謹的邏輯和藝術般的解題策略與歷程，令人驚讚連連！

　　你也可以一起動筆想想看、做做看！或找兩、三好友一起PK討論，再對照書中的解法，看看各有何巧妙之處；也可以將陶哲軒當成家庭教師，看他述說如何破題，隨他遨遊解題歷程，一起感受數學以簡馭繁的精神與美感，一起享受碰壁、轉彎、柳暗花明、豁然開朗的解題樂趣！

　　常有人問：那些「數學天才」解題時的想法果真深奧難懂？他們超凡的洞察力難道來自於神諭？或是解題工具、技巧超乎尋常？我想這位智商220以上、被推崇為最聰明科學家的陶哲軒，已提供了他的答案！

（本文作者為台北市立建國高中數理資優班導師暨數學老師）