解開隱藏在數學符號裡的祕密

第1章　代數math_symbol　01~25
從小就已經認識的自然之數……2
環的基本……4
第一個體……6
緊密連接的數……8
2個蘋果加上3個蘋果就是（2+3）個……10
有5個蘋果，吃了3個還剩2個……12
乘法可以快速計算……14
把15個蘋果分給5個人就是15÷5……16
這樣就可以知道計算的順序！……18
左右的算式是否相同，這才是問題……20
概略的想想吧……22
「≦」和「□」不一樣嗎？「□」又是什麼？……24
想像的數？不，這是有用的數……26
終極的複利計算與「e」之間的深遂關係……28
神秘的直徑與圓周比……30
一直乘下去，到最後是「∞」還是「0」呢？……34
若自乘2次，或自乘n次……36
從複數回到實數的稀有案例……38
餘數並不多餘！……40
公因數愈多愈好？！……42
在回轉時間不同的情況下，回轉壽司什麼時候會再轉回相同地方？……44
以其他事物做為基準來判斷某事物。可以整除……46
只不過是端點，也有人為那一點而哭……48
製做階梯狀的函數。會出現在郵資等處……50
除不盡的並非只有數……52

第2章　幾何math_symbol　26~37
是最單純的，也是深奧的圖形……56
快樂的圖形遊戲……58
有沒有那一槓都代表長度……60
就算盤子破了，只要有一小部分就能知其大小……62
1維，2維，3維！……64
2條線以90度相交……66
為何不使用度數法，而使用弧度法？……68
永遠都不會相交。就像爭辯時相左的意見一樣……70
不管是角度、長度還是大小都完全一樣……72
孩子是父母的相似圖形嗎？……74
把箭頭抽象化……76
就想成是一樣的東西吧！……78

第3章　分析math_symbol　38~53
比例很好？……82
映射是鏡子，有的東西映照出來之後就可了解……84
在連續複合之後，單純的函數也會變成怪物！……86
將映射值映射回原處……88
正弦的哪裡是正確的弦？……90
剩餘的是什麼？……92
什麼是正確的切？切哪裡？？……94
時至今日仍是重要的工具……96
極限！……98
簡單的表示方向……100
終於！……102
將曲線看作折線圖的極限……104
其實是捲曲的「d」……106
若將多變數函數限制在非常狹隘的範圍內，就可以看作線性映射……108
不使用「…」的表記法……110
曲線圍起來的部分也可以計算面積……112

第4章　機率math_symbol　54~58
大到讓人吃驚！……116
乘法也不使用「…」來表示……118
挑選且排列的方式有幾種？……120
以賭為國效力……122
得知離散情形……124

第5章　集合math_symbol　59~70
空無一物的集合……128
定義集合……130
來認識夥伴吧……132
所謂的集合吞下集合……134
大家都拿一樣的杯子，戴共同的帽子……136
前面明明是「∕」，卻變成「│」了！……138
成績好的是補集……140
「我思，∴我在」這樣太隨便了！
不是名勝，也不是表情符號，是方便的符號……142
choron規定了集合T的看法……144
所有的，不管是什麼元素……146
是否存在，才是問題所在 (by 莎士比亞) ……148
看到這個，就鬆一口氣……150

第6章　物理系math_symbol　71~80
維度一改變，世界也會改變……152
不是漸層，但也是漸漸的！……154
用數學算流體！……156
是向量運算子的首領！……158
可以用運算子做2次偏微分嗎？……160
是Heavy Rotation呢！……162
牛頓運動方程式的加速度什麼的
滾開吧！已經不需要了！……164
哈密頓量！不管在分析力學還是量子力學都很活躍！！……166
以淺顯易懂的慢速車輛上坡車道導引通往困難計算的導遊……168
從慢速車輛上坡車道回到主要車道的方法……170

參考文獻 172/
索引 173

序言

　　提到出現在數學中的符號，應該不少人會以為是要說什麼瑣碎的問題吧。不過，符號的重要性遠超乎想像。

　　數字也是一種符號，不過因為這已經廣為人知，所以本書並未特別為數字另闢章節。數字中又以「0」最有意思，現在每個人都知道0是在1前面的數字，本書其中一位共筆作者的4歲孩子，說「水豚是我心中的第1名！」之後，問他「那媽媽是第幾名？」，他回答「是第0名喔□」。

　　另一方面，歐洲有很長的一段時間，沒有將0（還有負數）列入數字之中，因為「什麼都沒有，不算是數字」。可是，如果沒有0這個符號，就不會出現十進位的記數法了。

　　「0的標記」發源自印度，經由阿拉伯人傳入歐洲，被稱為「阿拉伯數字」，斐波那契在計算的時候，因感覺使用十進位記數法的阿拉伯數字相當方便，還因此寫了一本相關著作，這也改變了歐洲的商業計算方式。

　　再來看另一個例子吧。英國是最早開始正式應用牛頓微積分學的國家，可是自從牛頓與萊布尼茲的微積分基本定理爭論以來，英國學者固執的使用以□表示的牛頓流數術，不採用以dx/dt表示的萊布尼茲式微積分。雖然dx/dt比較好，不過若用流數術來表示dx/dy，變成□/□，就進入了英國合成函數微分的世界。很顯然的，若從教育的觀點來看這些符號，萊布尼茲的方法比較好。

　　關於此事，被視為電腦之父的數學家查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage），提出牛頓式的流量（Dot）表示法有問題，甚至還說「Dot-age☆的表示方式，使英國的數學慢了100年。」☆與dotage（老掉牙）一語雙關，頗具攻擊性。

　　的確，18世紀英國數學家的研究成果與其他歐洲大陸的數學家相形見絀，這是不爭的事實。

　　光看這個例子，各位應該就能明白，在數學的發展過程中，符號擁有多大的影響力了吧。

　　如此這般，從「數學符號」這條岔路逐漸發掘數學的深奧之處，以及意外的樂趣與開心感，即為本書的著作源起。

　　最後，在許多人的支持之下，本書才得以出版，特別是面對拖稿的著作群（尤其是我）也毫不畏懼，還狠狠的激勵並領導我們的Ohm社諸位，以及完全配合著作群喜好畫出插圖的Miyajima Mai小姐，特此致上深深的感謝。

岡部 恆治
2012年7月