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數學是啥玩意? (Ⅱ) (改版)

數學是啥玩意? (Ⅱ) (改版)

Mathematics: The Man-Made Universe

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內容簡介

《數學是啥玩意?》 (II)

  斯坦教授說:「數學最奇妙而且很重要的特性之一,就是有時為了某個特殊目的而發展的理論或架構,常常無心插柳柳成蔭,在預料之外的地方得到應用,而且不限於數學領域之內……」

  譬如本冊談到的「正交表」,原只是十八世紀的數學家歐拉當做消遣的謎題:「如何把分屬6個團、6個軍階的36名軍官,排成一個6×6的方陣?」後來居然一躍成為實驗設計的基本程序!

  在《數學是啥玩意?》的第II冊,斯坦教授除了要教你各種進位數的換算,以及同餘式的運算,也要告訴你一種奇怪的代數,告訴你怎麼做正交表、怎麼玩方形數字盤。此外你還能向人解釋,為什麼久賭必輸,以及棒球比賽中,盜壘戰術究竟有什麼學問。
 

作者介紹

作者簡介

斯坦──《幹嘛學數學?》作者 Sherman K. Stein


  加州大學戴維斯分校數學教授,該校傑出教學獎得主之一,並曾獲得美國數學學會頒發的福特獎(Lester R. Ford Prize),以表彰他在闡揚數學知識方面的貢獻;此外也因為《Algebra and Tiling》這本書,獲頒貝肯巴赫書獎(Beckenbach Book Prize)。

  斯坦的主要興趣在代數、組合數學及教學法,另著有《幹嘛學數學?》(天下文化出版)以及為中學生所寫的數學普及書系。

譯者簡介

葉偉文


  國立清華大學核工系畢業,原子科學研究所碩士(保健物理組)。譯有《愛麗絲漫遊量子奇境》、《幹嘛學數學?》、《物理馬戲團 I~III》、《數學小魔女》、《統計,改變了世界》等
 

目錄

閱讀地圖
閱讀指南
第9章  數的表示法
第10章 同餘式
第11章 奇怪的代數
第12章 正交表
第13章 機 遇
第14章 方形數字盤
附錄C  代數入門
附錄D  數學教學
 

第三版序

  《數學是啥玩意?》的第二版發行迄今,已經七年了,在這段時間裡,由於受到專業學識發展和社會變遷的影響,數學的本身及教學方法都有相當程度的演進。本書的第三版就充分反映了這些演進,同時也表達出我個人在想法上的改變。例如我在第三版增加了一章,專門討論機率,即反映出現今的社會或個人,可能會應用與機率有關的數學知識,來解決所面臨的難題,而老師與學生在探討相關知識時,也對這些課題愈來愈感興趣。

  在我們所處的世界裡,許多事物都是天然生成的,比如水。我們知道,水分子是由兩個氫原子與一個氧原子構成的,但對於水分子湊在一起時如何能呈現水的特性,卻一無所知。用原子與分子的概念,很方便就能解析水這種物質,卻又無法掌握水真實的特性,原子與分子真是既方便卻又抽象的天然事物。

  相反的,數學就完全是人為的成果,每個定理與每項證明都是人類心智活動的產物;在數學裡,所有的牌都攤在桌上。在這層意義上,數學是具體的,世界反而是抽象的。

  我打算藉由這本書,把數學的這種具體特性介紹給一般讀者。我所謂的「一般讀者」,可以是大學生、高中生或喜歡追根究柢的上班族,不管你的主要興趣是什麼,只要有一顆好奇的心就行了。這本書最初是設計為大專課程,幫助不同科系的學生認識數學的美、生命力與包羅萬象。在寫作本書之前我花了好幾年,想找一本合適的教科書,但找到的不是太難就是太專門。

  本書所談的主題選自數論、拓樸學、集合論、幾何、代數與分析學,但我希望讓僅有少許數學背景的讀者也看得懂(有些章節只需國中學過的算術),所以針對每個主題,我都會說明主要觀念,讓這些主題的本身很容易實驗或求證。

  我建議各位在閱讀每一條定理及證明時,要充分利用數學的具體特性,不要有先入為主的信念,而是要心懷警覺與懷疑,仔細檢查每一個推理的步驟。在碰到像「你可以自己舉個例子」,或「在證明之前,不妨用一些特例檢驗一下這個定理」之類的建議時,最好是能照做。讀這本書時,最好也能把紙、筆放在手邊,隨時可派上用場。

  《數學是啥玩意?》的第三版與前兩版有很多不同。在第三版,第1章到第4章是全書的核心,而接下來的六章與新增的第13章,則是用得最多的。第13章〈機遇〉是在介紹機率論的幾個基本知識,在強調機率理論的一般應用及做決策時的重要性;你們由第13章的內容與附帶的練習題可以看出,機率的概念在日常生活裡雖然隱而不顯,卻無所不在。此外在新版的第9章〈數的表示法〉當中,還增添了公制的介紹,這是因為公制與十進位制是不可分的。

  全書還有許多較小規模的改變,包括新的結果、更為簡單的證明,以及新的練習題。就像第二版一樣,很多改變只是為了讓觀念闡述得更清楚。大部分習題的解答都附在書後。

  「數學健身房」裡的習題依難度分為三類。第一類是一般練習,讓各位自我測驗是否理解相關的定義與基本觀念。第二類習題我用了一隻筆(✎)與前一類區隔,通常你必須應用那一章所談的觀念才能解答。第三類練習題的前面有兩隻筆(✎✎),難度最高,解題時你不僅要充分理解那一章的中心主題,還必須能舉一反三,想出其他的方法。

  值得注意的是,本書依不同類型的學生及不同的難易程度,做了不一樣的閱讀安排。利用最前面的閱讀地圖與閱讀指南,老師或讀者可以自行決定要如何進行。

斯坦
 

詳細資料

  • ISBN:9789863205890
  • 叢書系列:科學天地
  • 規格:平裝 / 238頁 / 14.8 x 20.5 x 1.19 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

第13章  機 遇
 
本章將指出,加法與乘法也是機率理論很重要的工具。機率理論是數學的一支,用來檢驗機遇的法則。
 
機率理論的起源可以回溯到十五世紀,當時國際貿易剛開始發展,在漫長的航程當中,有些價值不菲的貨物需要保險。因為自古以來,一些有錢人對於這種需求往往會訂立契約,先收取一筆保險費,所以當發生契約規定的貨物損失時,貨主可以得到補償。不過在文藝復興時期及海上探險時代開始之前,有關的風險評估及保險費的計算都是非正式的。
 
第一位研究機遇理論的是卡丹諾(G. Cardano, 1501–1576),他是十六世紀義大利的醫師、數學家與賭徒。
如今,機率理論除了應用在賭博之外,也用在很多地方,例如它構成了保險業的基石,也是製造業的可靠度控制以及預防醫學的基礎。同樣的,機率理論也暗藏在下列問題當中,例如私人問題:「我應該為三、四千元的腳踏車付三百五十塊錢的保險費嗎?」或公共安全問題:「一個核反應器發生意外事故的機遇是多少?」
 
本章首先要介紹機率理論的基本觀念,分析一些簡單的賭博遊戲,如骰子和輪盤賭,接著就會把基本的觀念,應用到某些有風險的決策過程上。
 
在很多重要的應用裡,基本的機率數值只能靠實驗來獲得,比方說棒球選手的平均打擊率。例如二十世紀初的美國棒球名將貝比.魯斯(Babe Ruth),他在8,389次的上場打擊中,共擊出2,875支安打,平均打擊率就是2875/8389≒0.343。換句話說,他安打的機率是0.343,大約是34%。
 
當氣象預報員說「明天的降雨機率是40%」,也是同樣的意思。這表示依照以往分析數據的經驗,明天有40%的可能性會下雨。事實上,對熟練的天氣預報員所做的研究指出,在做出這種預報之後,第二天降雨的機率真的差不多是40%。
 
在棒球比賽中,第一局結束時領先二分的球隊,最後獲勝的機率是多少?林賽(George R. Lindsey)曾研究過這個問題。依據很多美國大聯盟的比賽資料,他算出機率大約是0.71。同樣的,在第六局結束時領先三分的隊伍,最後獲勝的機率會增加到大約0.84。若在第一局結束時的勝分是三分,最後贏球的機率也稍微增加,大概在0.79。

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