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怎樣解題
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內容簡介

  任何領域的每一個人,都必須學會怎樣解題。

  本書作者波利亞,是數學教育史上極重要的數學教育家,《怎樣解題》可說是流傳最廣、影響最深遠的代表作,自出版以來,已經影響了一代又一代的讀者。在書中,波利亞提出了解題的四大步驟,並且穿插了範例,你可以跟著波利亞的腳步,學會如何從推理與提問,直搗證明題或求解題的核心,而這樣的數學方法,對解決任何問題都有幫助。

  熟讀《怎樣解題》,你就能成為思考、分析、解題的頂尖高手。
 
 

作者介紹

作者簡介

波利亞G. Polya


  1887年生於匈牙利布達佩斯,父母為猶太人。求學時期攻讀哲學、物理、數學,在布達佩斯大學取得數學博士學位。

  第一次世界大戰期間,波利亞在蘇黎士的瑞士聯邦理工學院(ETH)擔任教職,於1928年升為正教授。1933年曾前往美國普林斯頓大學訪問。

  1940年,由於歐陸政治情勢,被迫移民美國,1943年起獲聘為史丹福大學的教授,直到1953年榮譽退休。退休後,波利亞仍十分忙碌,除了繼續在史丹福授課,更熱心數學教育,致力研究數學問題的解題策略。

  波利亞是二十世紀極重要的數學家、數學教育家。在純數學領域,他與Gabor Szego合寫了《分析中的問題與定理》(Problems and Theorems in Analysis)這部傑作;在數學學習及教學方面,除了《怎樣解題》,還陸續出版了《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning,共兩卷)與《數學的發現》(Mathematical Discovery,共兩卷)。

譯者簡介

蔡坤憲


  東海大學物理系畢業,國立交通大學電子物理所碩士,曾在中學服務三年,任教國中理化與高中物理等科目。目前在紐西蘭懷卡托大學(University of Waikato)科學與科技教育研究中心,攻讀科學教育博士學位,研究領域為科學教育、物理教學、師資培育與教育多媒體設計;也在懷大物理系兼任助教的工作。劍道是主要的課餘興趣。

  譯有《觀念物理II:轉動力學、萬有引力》、《怎樣解題》,著有《觀念物理VI:習題解答》(皆為天下文化出版)。
 
 

目錄

英文版初版序
初版第七刷序
第二版序
「怎樣解題」提示表
序 康威(John H. Conway)
前言

第一部:在教室裡
目的
第1節: 幫助學生
第2節: 提問、建議、心智活動
第3節: 普遍性第4節 常識
第5節:老師與學生、模仿與練習
主要步驟及主要提問
第6節: 四個階段
第7節: 了解問題
第8節: 例子
第9節: 擬定計畫
第10節: 例子
第11節: 執行計畫
第12節: 例子第
第13節 驗算與回顧
第14節: 例子
第15節: 不同的做法
第16節: 老師提問的方法
第17節: 好的提問與壞的提問
更多的例子
第18節: 作圖題
第19節: 證明題
第20節: 速率問題

第二部:怎樣解題 一段對話
認識問題
進一步了解問題
尋找有用的好想法
執行計畫回顧

第三部 啟發法小辭典
類比/輔助元素/輔助問題/波爾察諾/靈感/
你能驗算結果嗎?/你能用不同的方法導出這個結果嗎?/
你能運用這個結果嗎?/執行計畫/條件/矛盾/系理/
你能從已知數中找到什麼線索?/你可以把問題重述一遍嗎?/
分解與重組/定義/笛卡兒/決心、希望與成功/診斷/
你是否使用了所有的已知數?/你知道什麼相關的問題嗎?/
畫個圖/檢查你的猜測/圖形/一般化/你以前見過它嗎?/
這裡有個已經解決過的相關問題/啟發法/啟發式推理/
如果不能解決眼前的問題/歸納與數學歸納法/發明者的悖論/
這個解能否滿足所給的條件?/萊布尼茲/引理/仔細看未知數/
現代啟發法/符號與記法/帕普斯/拘泥與精通/實際的問題/
求解題與證明題/進展與成就/字謎/歸謬法與間接證法/多餘的/
例行性的問題/發現的法則/表達風格的守則/教學的守則/
把條件的各個部分分開/列方程式/進度的象徵/特殊化/潛意識的工作/
對稱/解題的術語/量綱檢驗法/未來的數學家/聰明的解題高手/
聰明的讀者/傳統的數學教授/改變問題/未知數是什麼?/
為什麼要證明?/諺語的智慧/倒推法

第四部:問題、提示、解答
 



  《怎樣解題》是很棒的書!早在多年前,當我還是個學生,第一次讀這本書的時候,我就已經知道它是本好書了,但是,我卻花了很久的時間,才真正體會這本書有多麼棒!為什麼會這樣?部分的理由,是因為這本書很特別。在我做學生與當老師的這些年裡,我從來沒有讀過另外一本書,像波利亞這本書的書名所說的,教你怎麼樣解題。荀菲爾德(A. H. Schoenfeld)1987年在美國數學協會(MAA)的期刊發表的文章〈波利亞、解題與教育〉中,正確地描述出這本書的重要性:「在數學教育以及解題的世界裡,本書為兩個時期清楚地畫下了一條界線:波利亞之前的解題活動,與波利亞之後的解題活動。」

  《怎樣解題》是有史以來最成功的數學書。從1945年首次出版以來,銷售已經超過百萬冊,並譯成十七種語言(編注:根據英文版出版社的資料,已經不只十七種了)。波利亞稍後還寫了兩本關於做數學研究這門藝術的書:《數學與猜想》(Mathematics and Plausible Reasoning)(1954)與《數學的發現》(Mathematical Discovery)(共兩卷,1962與1965)。

  這本書的書名,讓它看起來好像只是一本為學生所寫的書,但是事實上,它寫給老師的內容,並沒有比較少。誠如波利亞自己在「前言」裡所說的,本書的第一部,大部分是站在老師的觀點來寫的。

  不過,每個人都因此而獲益。如果是學生來讀這本書,將會「偷聽到」波利亞對書中那位事實上並不存在的老師所給的一些建議,彷彿身旁好像真的有這麼位好老師一樣。這就是我自己讀這本書的感覺,而且很自然地,在我幾年後開始教書時,我發現自己也不斷使用那些我認為重要的建議或意見。

  然而一直到不久前,我有機會重讀此書,而且在讀完之後,我忽然了解到,這本書的價值比我以前所想像的還高!我自己是學生時,波利亞所給的許多意見,感覺並不太有幫助,然而,這些意見現在卻讓我變成一位比較好的老師,知道怎麼去幫助和我遭遇不一樣問題的人。

  顯然,波利亞教過的學生比我多,而他也一直很努力地在思考,在數學的學習上,怎麼樣才能對學生最有幫助。也許,他最重要的觀點是:學習必須是「主動的」。誠如他在某一堂課裡提到的:「數學,不是一門讓人用來觀賞的活動。所謂的『了解』數學,意思是要有能力去『做』數學。什麼叫作(有能力)『做』數學呢?它的第一個意義就是:有能力去解決一個數學問題。」

  我們常說,若要教好某個科目,教的人懂得的「至少得跟他的學生一樣多」。對教數學來說,有一個很弔詭的事實就是:老師還得知道學生可能會產生什麼樣的誤解!如果老師講述的內容,可以用兩種以上的方式來解讀,那麼必然會導致有些學生理解到其中一種,另外的學生各有體會,極好或極糟的情形皆有。

  李特伍德(J. E. Littlewood)舉了兩個有趣的例子,說明我們可能不自覺地就對假設產生誤解。首先,他提到在藍姆(Lamb)的《力學》這本書裡,對座標軸的描述(「因為Ox與Oy是二維平面,所以Oz是垂直的」)是錯誤的,因為藍姆總是蹺著腳坐在椅子上工作!其次,藍姆要求他的讀者畫一條封閉曲線,讓它完全位於某條切線的一側,然後他說,總共只有四種主要不同的可能性(垂直切線的左方或右方,水平切線的上方或下方),而且在沒有圖形解說的情形下,他假定這條封閉曲線位於它的垂直切線的右方,而不知不覺地忽略了另外三種可能性。

  因應這類假定的方法,我想不出有什麼建議比波利亞的更好:在試著解題之前,學生應該要能清楚、明確地展示出自己對問題的理解;最好是有位真實的老師在眼前,否則,也要自己想像有位老師在身旁。有經驗的數學家多半知道,數學研究最難的部分,往往就是不容易很明確地了解問題究竟在說些什麼。碰到這種狀況,他們通常也都遵循波利亞的建議:「如果你不能解決眼前的問題,試著從簡單一點的問題著手:把這個問題找出來。」

  各位除了可以從這本書的內容學到東西之外,應該也會從作者波利亞的生平事蹟,得到很多啟示。

  喬治‧波利亞(George Polya)於1887年12月13日生於匈牙利的布達佩斯。他出生時所取的名字是György Pólya,稍後才略去這些抑音符號。父親是Jakab Pólya,母親是Anna Deutsch。由於Jakab、Anna和他們的三個小孩(Jenő、Ilona和Flóra)於前一年放棄猶太教而改信天主教,所以喬治一出生就受洗為天主教徒。他們家的第五個小孩(László)則在四年後出生。

  父親Jakab在喬治出生的五年前,把姓氏從Pollák改成聽起來比較像匈牙利文的Pólya,因為他認為,這樣有助於他在大學裡找到工作。他也的確謀得大學裡的教職,但他不幸於1897年突然逝世,所以只在大學裡服務了一段很短的時間。
小波利亞在中學時期,除了匈牙利文之外,還選讀了希臘文、拉丁文與德文。有點意外的是,他當時對數學並不特別感興趣,與他在文學、地理與其他科目的「傑出」表現相比,他在幾何學方面的表現只能算是「及格」而已。在文學之外,生物學則是他最喜歡的科目。

  他於1905年就讀於布達佩斯大學(University of Budapest)法律系,不過,因為覺得很無聊,所以他很快就轉系了。之後,他取得了教師證書,可以在高中教授拉丁文與匈牙利文;雖然他從來沒有使用過這張教師證書,但這卻是他一直引以為傲的一件事。他之所以最後會學習數學,是因為他的指導教授亞歷桑德(Bernát Alexander)建議他,他應該選讀一些數學與物理的課程,以幫助他在哲學上的學習。後來他曾自嘲說:「我的物理不行,哲學又太好──數學剛好在它們中間。」

  波利亞在布達佩斯大學的物理老師是厄特沃什(Eötvös),數學老師是費耶(Fejér)。1910至1911學年度,他前往維也納大學,受沃廷格(Wirtinger)和梅藤斯(Mertens)兩位老師指導,隨後回到布達佩斯,取得博士學位。隨後的兩年,他大都留在哥廷根;在那裡,他結識了許多數學家,例如:克萊因(Klein)、卡拉泰奧多里(Caratheodory)、希爾伯特(Hilbert)、龍格(Runge)、蘭道(Landau)、魏爾(Weyl)、庫朗(Courant)和托普利茨(Toeplitz)。

  接下來的1914年,他到巴黎訪問研究,並與皮卡(Picard)與阿達瑪(Hadamard)逐漸熟識,並得悉胡維茲(Adolf Hurwitz)幫他在蘇黎士安排了一個工作機會。他接受了這個工作機會,並在稍後寫到:「我之所以會到蘇黎士,是為了能與胡維茲就近一起工作。從我於1914年抵達蘇黎士,一直到他辭世〔1919年〕之前,有六年的時間,我們有緊密的合作關係。我對他印象非常深刻,並編輯他的許多作品。」

  當然,就在此時發生了第一次世界大戰。起初,這對波利亞沒有很大的影響,因為早期的足球運動傷害,他已經申請免除從軍,但是後來戰情吃緊,需要更多的新兵加入戰場,匈牙利政府曾要求他回國從軍,為國而戰。由於他強烈的和平主義觀點,因此拒絕了政府的要求,結果導致他有一段很長的時間被禁止回國;事實上,他一直到1976年才再次回到匈牙利,距離他離開祖國,已經54年了。

  在這段期間,他入了瑞士國籍,並在1918年和瑞士女孩韋伯(Stella Vera Weber)小姐結婚。在1918和1919這兩年裡,他發表了許多篇的數學論文,涵蓋了許多不同的領域,例如:級數、數論、組合數學、投票表決系統、天文學,以及機率學等。他於1920年,升等為蘇黎士的瑞士聯邦理工學院(ETH)副教授。稍後幾年,他與澤果(Gábor Szegó)共同出版了《分析中的問題與定理》(Problems and Theorems in Analysis),在亞歷山德森(G. L. Alexanderson)和藍格(L. H. Lange)悼念波利亞而寫的傳記中,把此書描述為「確立他們大師級地位的數學傑作」。

  這本書於1925年問世。之後,波利亞得到洛克斐勒獎學金(Rockefeller Fellowship)並轉往英國工作,在那裡,他與哈地(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)共同合作,成果就是稍後出版的《不等式》(Inequalities,劍橋大學出版社1936年出版)。他利用第二次的洛克斐勒獎學金,於1933年前往普林斯頓大學訪問,當他還在美國的時候,應布利區費爾德(H. F. Blichfeldt)之邀,也到史丹福大學訪問;他非常喜愛史丹福,而史丹福最後也成了他的家。從1943年起,他獲聘為史丹福大學的教授,一直到1953年退休為止,但他繼續授課到1978年,開的最後一門課是組合數學。他於1985年9月7日逝世,享年97歲。

  有些讀者可能會希望知道波利亞在數學上的貢獻。他大部分的貢獻都與分析學有關,但都是非常專門的數學研究,不在數學領域裡的社會大眾,可能難以理解,不過,有些貢獻還是值得在此一提。

  在機率理論裡,現在已經是公定用語的「中央極限定理」(Central Limit Theorem),就是波利亞的貢獻。此外,他也證明出機率測度的傅立葉變換是一個特徵函數,以及證明了在整數晶格中隨機漫步(random walk)的機率接近1,若且唯若其維度的最大值為2。

  在幾何學上,波利亞獨立地再次列舉出17個平面結晶體群(crystallographic groups);首次完成這項工作的人是費多羅夫(E. S. Fedorov),但他的研究工作已經失傳。波利亞還與尼格利(P. Niggli)合作,發展出這些結晶體群的記法。

  在組合數學裡,波利亞的計數定理(Enumeration Theorem)現在已經成為根據對稱性來計數構形的標準方法。里德(R. C. Read)曾把這個方法描述成「一篇非凡論文中的一個非凡定理,也是組合分析(combinatorial analysis)歷史上的重要里程碑」。

  《怎樣解題》是波利亞還在蘇黎士的最後一年(1940年),以德文寫成的。稍後,由於歐洲的情況,他被迫遷往美國。雖然事後證明這本書非常成功,但是在普林斯頓大學出版社於1945年出版它的英文版之前,曾遭到四家出版社的拒絕。透過普林斯頓大學出版社,《怎樣解題》迅速且持續地成為有史以來最成功的數學書籍。
 
(本文作者為康威(John H. Conway),
英國數學家,美國普林斯頓大學馮諾伊曼數學講座教授,生命遊戲(game of life)發明人)

英文版初版序

  大發現解決大問題,然而,並不是只有大發現才有存在的價值;每一個問題的解答,都需要有某個「發現」才行。你所面臨的也許只是個小問題,但是如果它能引起你的好奇心,引發你的創造力,而且,如果你是用自己的方法來解決這個問題的,那麼,你一樣會經歷到發現過程中的緊張情緒,以及享受到最後那份「勝利」的喜悅與興奮。這一類的經驗,也許會讓年輕人培養出智性上的品味,甚至烙印在心裡,成為陪伴終生的一種性格。

  因此,數學老師也就掌握了大好良機。如果他(她)在教學過程中總是讓學生不斷做些機械性的計算,那無異於扼殺了學生的興趣,阻礙了學生的智能發展,同時浪費了大好良機。但是,如果他(她)能夠掌握良機,刺激學生的好奇心,能夠因材「出題」,刺激學生思考,協助他們解決問題,如此一來,也許就能夠讓學生培養出獨立思考的愛好,也學會獨立思考的方法。

  如果大專院校的學生選修的學科還包括數學的話,可以說他們掌握了一個獨特的機會。然而,學生如果將數學單純視為修滿畢業學分所需的一門學科,只要通過期末測驗就可以立刻把所學拋到腦後、忘得乾乾淨淨的話,那當然可說是坐失良機了。就算學生在數理上頗具天分,機會還是可能從指尖溜走,因為這些天賦異稟的學生也跟其他人一樣,必須花點功夫探索自己的天分,培養自己的興趣。想想看,如果沒嚐過覆盆子派,哪裡會知道自己喜不喜歡呢?

  然而,學生最後可能還是會發現,數學問題也許就像填字遊戲一樣好玩,他們還可能發現解數學題時的心智活動,也可以像一場勢均力敵的網球賽一樣讓人嚮往。學生一旦嚐過了數學的愉悅之處,就很難再忘記,而這樣一來,數學就有機會在他們的生命中占有一席之地,成為他們的嗜好、未來從事專業工作時必需的工具、成為他們的專業,或幻化成他們的抱負。

  筆者還記得自己的學生時代稱得上是一個有理想、有抱負的有為青年,對於數學與物理相關知識,有強烈的求知慾。他上課聽講、也多方閱讀,試圖廣納老師所教以及書本上的知識,但是有個問題卻一再困擾著他。「嗯,沒錯,這樣解題似乎行得通,看起來是正確的答案,看起來也像是事實;但是這樣的解或事實是怎麼發現的?我要怎麼樣才能夠創造這些?就算不能創造,至少能夠自己發現這些解法?」

  多年後的今天,筆者於大學任教,專門教授數學;他也希望自己的眾多學生中,能有一些積極進取的學生提出雷同的問題,而他則盡量滿足他們的好奇心。他不僅試圖了解各種各樣問題的解答,還希望能了解這些解答背後的動機和過程;他還試著解釋這些動機和過程讓他人了解,而這也是促成他完成這本書的原因。他希望本書能夠為每一位想要培養學生自行解決問題能力的老師,提供一些實用的知識,也為那些想要發展自我解題能力的學生,提供實際的幫助。

  儘管筆者主要是以數學系師生的需求為本書的關注點,但實際上對於每一個關心發明及發現方法的人,這本書應該都能挑起大家閱讀的興趣。而這樣的人數量之多,可能完全出乎我們的意料,我們實在不應該未經思索就草率假設。填字遊戲和各種猜謎遊戲常見於報紙或雜誌上,這情形似乎顯示了人們也挺喜愛解答一些與日常生活不直接相關、不能帶來任何物質利益的問題。如果深究這種解題的欲望,我們也許能夠推測:人們內心深處應該是有更深切的好奇心,也急於了解問題解答的方法、動機及解題過程。

  後面各章節可說刻意寫得十分精確,但是盡量用淺顯易懂的方式來寫,儘管寫得簡單,仍然根據了長期而嚴謹的解題方法研究為基礎。有些作者把這樣的研究稱為「啟發法」(heuristic),這種研究現今已經不再流行,但是由來已久,也許未來還會再領風騷呢。

  在研究解題方法的過程中,我們察覺到數學的另一面。是的,數學有兩面,它不僅是嚴謹的歐幾里得學,還具有其他面向。以歐幾里得的方式所呈現的數學,看起來像是一門有系統的演繹科學;然而,發展中的數學,又像是一門實驗的歸納科學。這兩個觀點,其實都跟數學本身的歷史一樣久遠,不過,從某個角度來說,第二個觀點顯得比較新鮮一些,因為這種「創造數學的過程」,從來沒有這樣子呈現給學生、老師或社會大眾。

  「啟發法」所涵蓋的範圍,可說是五花八門;數學家、邏輯學家、心理學家、教育學家,甚至哲學家,都能在其中找到屬於他們的專精領域。筆者相當了解可能來自相反立場的批評,也很願意承認自己所知有限,在此只想說明一件事:他自己有一些解題的經驗,也有許多不同程度的數學授課經驗。

  筆者也正致力於另外一本書,希望能對啟發法這門學問,作更進一步的探討。

寫於史丹福大學,1944年8月1日

第二版序

  除了一些小修正之外,這一版主要新增了第四部「問題、提示與解答」。

  就在本版即將付梓之際,一份由美國教育測驗服務社(ETS)所做的研究適切地指出一些現象(參考1956年6月18日的《時代》雜誌):「……數學很『光榮地』成為學校課程中,最不受歡迎的一個科目……未來的老師在小學裡,學會怎麼討厭數學……長大之後,他們回到學校去,教導下一代該怎麼討厭數學。」對圈內人來說,這也許不是什麼新鮮事,但的確是該讓社會大眾知道的時候了。

  我希望本書的這一版,能夠更為普及,也可以讓某些讀者了解到,學習數學,除了是為將來從事工程工作或學習科學知識預作準備之外,也可以是有趣的,還可以開啟高階心智活動的大門。
 
寫於蘇黎士,1956年6月30日
 

詳細資料

  • ISBN:9864177249
  • 叢書系列:科學天地
  • 規格:平裝 / 324頁 / 14.8 x 21 x 1.62 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

第一部 在教室裡

主要步驟及主要提問

6. 四個階段

在尋求解答的過程中,我們的想法往往會一再改變,看待問題的方式與觀點,也都會一再產生變化。在剛開始解題時,我們對問題的了解可能很有限,也不完整;在有些進展以後,會對問題產生不同的了解;到了快要知道答案的時候,對問題自然又有一番新的認識。

為了方便把「提示表」上的提問和建議分門別類,做個整理,我們把解題活動分成四個主要階段:首先,我們必須要了解問題:我們必須很清楚地知道,什麼是我們要尋找的解答。第二,我們必須要了解問題裡存在的各個關係,例如已知數和未知數之間有什麼關係,並據此擬定一個計畫,來求得解答。第三,我們確實動手來執行計畫(數學計算)。最後,我們要回顧整個解答過程,驗算答案並討論它的意義。

每個階段都有它的重要性。有時候,學生也許會靈光一閃,可以跳過所有的準備步驟,直接得出解答。當然很多人都希望能有這種幸運的時光;但是相對來說,沒有人會希望,在辛辛苦苦經歷這四個階段之後,卻還是無法得出什麼好點子。最糟的情形則是,學生在了解問題之前,就匆匆動手開始計算。一般來說,在不了解問題的整體關聯,或是心裡還沒有份計畫之前,就開始從事細節的計算工作,往往是無濟於事的。此外,在執行計畫(計算)的過程中,如果學生可以一步一步地檢查,往往可以避免很多錯誤與疏失。若少了驗算,或是沒有回顧一下解答的過程,則往往無法從解題的活動中,獲得最佳的結果。

7. 了解問題

去回答一個你不了解的問題,實在是件愚蠢的事情。為了你不想得到的結果,卻又必須辛勤工作,實在很令人沮喪。不論在學校裡或學校外,這類愚蠢而又令人沮喪的事,卻經常發生。老師實在應該避免讓這類的事情,在他的課堂上發生。學生應該要了解問題,但是,光只有了解問題是不夠的,他們還應該要有份渴望或動機,希望去把解答找出來。如果學生缺乏對問題的了解或興趣,這並不全然是他們的錯;選題或出題要恰當,不要太難,也不要太簡單,並要自然而有趣,而且要有足夠的時間,來對題目做自然而有趣的說明。

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