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小學算術教什麼,怎麼教:家長須知,也是教師指南

小學算術教什麼,怎麼教:家長須知,也是教師指南

Arithmetic for Parents: A Book for Grownups about Children’s Mathematics

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內容簡介

這本書是你從新學好小學算術的起點,
也是你幫助孩子認識數學之美的契機。

  小學算術是人生最重要的數學課,
  你可以不懂微積分,
  但你幾乎每天都會用到小學等級的算術,
  然而,唯有了解算術的人,
  才能真正帶領小朋友,
  領略數學之美。

  大學數學教授阿哈羅尼為了扭轉小學數學教學,
  親自到小學任教,
  他這才發現,小學數學可不簡單!
  他在教小學生數學時,竟學到了很多的數學,
  他這才明白,原來要教好小學生數學,
  重點不在於教學技巧,
  而是深入熟悉數學細微的觀念,
  這樣才能一步步帶領小朋友進入數學世界。

  千萬別看不起小學算術

  在巴黎羅浮宮博物院裡,有一件十五世紀的文件相當有趣,那是一位操心的父親與數學家朋友的通信。做父親的詢問,應該把兒子送去哪所大學就讀,數學家回答說A大學還可以,但是如果真心希望兒子瞭解分數,應該把兒子送去B大學。

  不錯,僅僅500年前,分數是大學程度才會教的課程!的確,分數(以及相關的比率問題)是小學學習裡最複雜的課題,它的深度不亞於許多大學的課題。──摘自本書〈除法與分數〉

  數學到底是哪裡吸引人?

  在二年級班上,我教小朋友一種證明乘法交換律的漂亮方法(這方法我們會在乘法意義那章講到)。有位坐在第一排的小朋友抬頭凝視一會兒,然後低聲說:「真美。」

  去問數學家數學這行到底什麼地方吸引他,十之八九會回答是「美」。──摘自本書〈數學之美的祕密〉

  應用題很可怕嗎?

  算術課的意義就是教孩子如何把真實生活的情境轉化為算術式子,這是從頭就該教的。如果算術課是這麼學的,並且同時做反向的練習,也就是自己編算術故事,應用題就不會變成讓今日大多數學生害怕的妖怪了。──摘自本書〈數學的意義與應用題〉

 
 

作者介紹

作者簡介

阿哈羅尼Ron Aharoni

  阿哈羅尼是以色列理工學院(Technion–Israel Institute of Technology)數學科學中心教授,主要學術貢獻在無窮組合學。他還出版過若干有關詩、幽默、邏輯悖論、哲學等方面的書籍,在所有非學術作品中,以這本協助家長與教師如何教導小朋友算術的《小學算術教什麼,怎麼教》最受歡迎。

  阿哈羅尼對於數學教育特別關心,除了親身到小學教書,現身說法寫書,也將一些有關小學數學的材料放在網頁:    www2.math.technion.ac.il/~ra/education.html。

譯者簡介

李國偉

  1948年生於南京。台灣大學數學系畢業,美國杜克大學數學博士。曾任中央研究院數學研究所所長,中研院數學所研究員,多年來致力於科學普及工作,為天下文化「科學文化」叢書策畫者之一。曾獲李國鼎通俗科學寫作佳作獎、吳大猷科學普及著作獎翻譯類佳作獎。著有《一條畫不清的界線》,譯有《數學教你不犯錯》、《笛卡兒,拜拜!》(與饒偉立合譯)、《電腦也搞不定》、《科學迎戰文化敵手》。
 

目錄

譯者序 小學數學是一中最重要的數學課 李國偉 
引言 我在小學裡學到什麼
 
第一部:數學的基本要素
1-1 數學是什麼?
1-2 數學的三種省力法
1-3 數學之美的祕密
1-4 數學觀念層層相疊
1-5 整數
1-6 意義與計算
1-7 十進位記數法
1-8 在小學數學中我們學到了什麼?
 
第二部:通往抽象的道路── 算術的教學原則
2-1 傳達抽象概念
2-2 多樣化與固著
2-3 教學為什麼這麼難
2-4 誘導
2-5 命名魔力
2-6 計算機與其他輔助教具
2-7 有勇氣求簡
 
第三部:一年級到六年級的算術
A數學的各種意義
3A-1 加法的意義
3A-2 減法的意義
3A-3 乘法的本質
3A-4 除法的兩種意義
3A-5 數學的意義與應用題
 
B計算
3B-1 加法的計算
3B-2 減法:借位或重組
3B-3 乘法的計算
3B-4 直式乘法    
3B-5 背起來或重新算
3B-6 除法從左邊算起
 
C分數
3C-1 除法與分數
3C-2 分數把除法轉為乘法
3C-3 關於分數除法的對話
3C-4 有關分數的習題(附解答)
3C-5 公分母
3C-6 最小公分母
3C-7 帶分數
 
D小數
3D-1 小數   
3D-2 小數的計算       
3D-3 百分數── 分數的通用語言     
 
E比率
3E-1 比率    
3E-2 更多比率問題    
 
後記     
附錄:當代數學教育史中的轉折點
 

前言
我在小學裡學到什麼


  大部分成人因為亟欲忘卻從前遭受的創傷,早就把自己學習數學時的記憶埋藏起來。當年學不懂的經驗雖然痛苦,卻已經是熬過去的陳年舊事,他們會自我安慰說:「其實根本不需要懂數學。」直到有一天當需要真的來臨時,從前的焦慮又再度浮現。那會是什麼時候呢?就是他們的子女也開始遭遇相同經驗時。

  許多人雖然有心幫助子女學習算術,但害怕重新接觸當年感覺痛苦的科目,可是他們忘記自己在學童階段之後,其實掌握了很多新工具。成年人具有較強的自制力與抽象力,也有處理複雜語句的能力,以及等待全盤情況皆顯現的忍耐力,所有這些能力都可以用來更加簡單迅速的對付小學數學。

  本書正是要提供運用這些能力的導引,來協助有意積極參與子女學習算術的家長,事實上本書也是因為這種需求而產生的。我兒子學校的家長想要有書面的學習指引,好來輔導子女學數學。而一開始只有篇幅不多的注意事項,慢慢才演變出能夠成書的結構與分量。

  書跟理念一樣,會有自己的生命。有時候書帶領作者走,不亞於作者帶領書前進。因此,本書逐漸改變了面貌。我在教小學生時領悟出一個道理,就是小學數學一點也不單純,除了美之外還有深度。這項見解慢慢融入書中,導引出了另一個新方向:嘗試描繪小學數學的美,從而描繪一般數學的美。我擴大了原先設定的讀者群,囊括了想從新角度回顧兒時數學的人。對於這群讀者而言,本書提供了再來一次的機會;曾經學過如何做分數相乘與長除法,卻沒搞懂到底為何要那樣做的人,請你們用新的且成熟的觀點再來看一看。

  本書的第三類對象是老師與從事教育工作的人,我認為他們也是很重要的讀者。本書想給他們一項明確的訊息:想把數學教好,加強對於數學原理的瞭解,應該更勝於賣弄教學技巧。必須先熟悉細微的數學觀念,是怎樣一層一層堆疊起來,而且最好具體且直接的去體驗概念,不要再通過其他中間媒介。

  本書的第一部「要素」,是從教師的觀點描述小學數學的基本素材。會討論到的問題包括:數學是什麼、小學裡應該教哪些題材,以及是什麼使數學像藝術那樣美。

除了數學,有心幫助子女學習的父母也須熟悉基本的教學原則,我在本書第二部將對此加以討論。最主要的規則是從具體逐步走向抽象。除此之外,家長也需熟悉當代教育潮流,它們主導了學校的教學風格,因此我在本書附錄裡,簡要描述了過去五十年間數學教育的主要發展。
本書的第三部專注在小學數學的內容,一步步分析學校教材的細節。雖然一般學校課程裡包含10%到20%的幾何,我決定放棄幾何只討論算術,也就是只關注數字性質的學習。我做此選擇的理由,除了因為算術位居課程中心,更因為算術是一套統一精鍊的知識,好似美麗的鑽石,值得用一本書來探討。

(摘自本書前言)

譯者序
小學數學是一生中最重要的數學課


  小學數學為什麼重要?因為它最有用。「用」的意義有多種層次,暫且不討論數學可用來訓練邏輯推理及解決問題的能力,只檢視一下職場上是如何有用。

  2016年美國東北大學社會學教授韓德爾發表論文〈人們上班時做什麼?〉。調查顯示幾乎所有人在工作中都需要用一些基本數學;但是除了計數與四則運算以外,其他數學題材的使用率便會降低。約有三分之二的人需用分數、小數、百分比,有22%的人會用層次稍高一些的數學,例如代數。按照韓德爾的分類,歸入低階白領職業的人,使用超過小學程度數學的比率甚至低於10%。雖然在台灣好像沒有執行過類似的職場調查,推測狀況應該近似。因此從工作上是否需要的角度來衡量,對多數人而言小學數學最為重要。

成績雖好,興趣低

  小學數學既然重要,台灣學生學習的狀況又如何呢?

  「國際數學與科學教育成就趨勢調查」(Trends in International Mathematics and Science Study,簡稱TIMSS)每四年舉辦一次,對象為四年級與八年級(國中二年級)學生,目的在瞭解數學與科學領域學習成就的發展趨勢,以及文化背景及教育制度的相關性。目前有59國(中國未在內)參與這項國際研究,台灣歷屆數學成績排名如下表:

  成績穩定名列前茅,看來應該得到喝采。然而TIMSS還調查學生喜不喜歡數學、學生對於學習數學的自信、以及學生認為數學有沒有用,這些涉及學習態度的項目。下表列出2015年台灣學生回應負面選項的百分比:

  台灣小四學生在不喜歡數學與學習沒有自信方面,都是國際平均的兩倍。雖然學習成就不錯,但是學習心態不健康,難怪到八年級認為數學無用的人數,超過國際平均的三倍。歷屆評量中顯現成績與態度的反差,似乎成為台灣數學教育的常態,如此常態其實是非常令人憂心的病態!

  因為小學數學教育不像國高中那樣受到升學的嚴重影響,所以四年級學童負面態度的原因,必須從學習環境去瞭解。修訂十二年國教數學課綱時,負責國小階段的翁秉仁指出:「在台灣,一般家長雖然怕數學,卻很喜歡『干預』小學老師的教學。家長多半覺得自己會小學數學,因此可以『盡一份心』。但是他們干預的方式很簡單,看到孩子不會做習題,就指導學生怎麼算;厲害一點的,更直接把國中方法搬下來,卻不做任何解釋。問題是,除了數學老師之外的成人,多半覺得數學就是公式和計算,不需要解釋(『反正你這樣算就對了!』)。還會因此據理力爭,為小孩向老師爭取分數,造成許多教學困擾。」

  除了家長的干預外,不少學生還在補習班接受不斷套公式計算的折磨,後果是抵消了老師正常教學的成效。這種幫倒忙的做法,除了歸咎於把公式背誦等同數學學習,更基本的原因是對於兒童智力發展的欠缺理解。特別是「家長多半覺得自己會小學數學」,而輕忽了其中精微細緻的概念層次。

  本書作者是聲望卓著的以色列理工學院教授,在離散數學方面的成就國際知名。因為他有高深數學修養,以及研究創新經驗,才能針對小學數學發人所不能發的真知灼見。他說:「我在教小學生時領悟出一個道理,就是小學數學一點也不單純,除了美之外還有深度。」換句話說:「小學數學雖然不深奧,但包含智慧;雖然不複雜,卻有深意。」本書第一重要的任務,就是協助讀者建立對小學數學的虔敬之意。家長以及教師具有這種鄭重其事的心態,才能貼近孩童感受他們學習中遭遇的困惑,才能發揮啟蒙嚮導作用,並且從旁鼓舞好奇、探索、精進的士氣。

  本書的核心觀點是要家長瞭解小學數學教學的最主要原則是「從具體逐步走向抽象。」一般人看到「抽象」二字,很容易連結到「難以捉摸」、「不可理解」這些意味,因此不由自主採取迴避態度。其實「抽象」反映的是一種思維狀況。例如,經驗老到的家庭主婦炒菜時,不需要邊看食譜邊動手,腦海裡早有一番程序,甚至該如何加油添醋,會產生什麼味道,一盤「抽象」的美食已然胸有成竹。

  當作者教一年級生3枝鉛筆加2枝鉛筆是5枝鉛筆之後,問他們3枚鈕釦加2枚鈕釦會得到多少鈕釦時,學生能夠正確回答5枚鈕釦。作者故意詰問:「但是前一個問題是關於鉛筆,也許會跟鈕釦不一樣啊?」學生就都笑了。小學生的抽象能力是不可輕忽的,他們已經知道某種規律能夠適用於不同的實體上。從實際物體到數目概念,再把數目概念廣泛應用,顯示出「抽象」的層次逐步增高。「成人看做是整體的概念,其實是由許多小要件層層堆疊起來,而你不能省略其中任何層次。……在小學裡光用解釋是無效的,概念必須通過學童親身經驗才能產生。」作者表示從教小學數學裡,自己新學到的就是體認出這種「精緻的層次」。

數學真美麗

  作者還想傳達給讀者一項基本價值觀,就是數學是美麗的。他說「數學與藝術有兩項相同之處:秩序與精簡。」一種陡然從混沌狀態安頓出既未預期又未看透的情境,使得深刻美感經驗相應興起。小學數學裡雖然包含了許多歷史上最美麗的數學發現,但是機械式學習往往把美感斲喪殆盡。其實感受美是天賦的能力,作者說:「二年級班上,我教小朋友一種證明乘法交換律的漂亮方法……。有位坐在第一排的小朋友抬頭凝視一會兒,然後低聲說:『真美。』」這是多麼令人感動的教育場景。

  為了達成「秩序與精簡」的目標,學習數學時不可避免要使用符號與操作算式,但是在純熟處理這些形式物件之前,必須先真正理解概念。小朋友展現理解的方式不乏令人意外驚喜的舉動。例如,作者問女兒為什麼2 × 3 = 3 × 2,女兒舉起一隻手的3根手指,再舉起另一隻手的3根手指,這是2 × 3。然後她把兩隻手併攏,舉起的手指叉開成3對,不就是3 × 2嗎?還有一例:作者請小朋友演示6 ÷ 4。他們把黑板劃分成4個區塊,每一區塊站一位同學,剩下的兩位同學「自願上半身在一區塊,下半身在相鄰的另一區塊」,多麼生動的顯示了正確答案是一再加一半!

  小朋友這些舉動都是自我建構概念與內化知識的表現,可是在「建構主義」指導課綱及教學方法的時期,家長看到的是不要背「九九乘法表」、簡單的乘法變成冗長的連加法、以及整體計算能力的下降。數學家則批評極端的「建構主義」妄想學生能自發找出數學的規則,使得教材的嚴謹性受損,造成學生觀念糊塗。在本書附錄裡,作者扼要描繪了二戰以後國際數學教育的幾次風向轉移,特別批評了「建構主義」的偏頗主張。

各國的教育戰爭

  台灣自從1994年民間教改團體發起「410教改大遊行」之後,二十餘年來教育改革一直是社會關注的議題,不過民眾對於教改效果似乎貶過於褒。在1996年至2003年間,國小數學課程標準也出現過強調知識建構的時期,然而因為引起非常大的爭議不得不叫停。據劉柏宏的觀察:「台灣近幾年對建構式數學的討論與美國『數學戰爭』的某些過程雖不盡相同,但其背後內涵確實有幾分相似之處。不論在數學界或數學教育界,美國的走向都緊緊牽動台灣的發展。美國『數學戰爭』雖已緩和但尚未結束,而台灣的課程爭議也還沒落幕。」

  美國的「數學戰爭」起源於1989年美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics,簡稱NCTM)公布的《學校數學課程與評量標準》,其中倡議的中小學數學教育改革方向深受建構主義影響。這套《標準》以及根據它所編寫的教科書,受到相當多專業數學家的強烈批評,媒體因而用「數學戰爭」描述雙方論辯的激烈程度。這場「戰爭」最終導致《各州共同核心標準》(Common Core States Standards,簡稱CCSS)於2010年公布,規範了從幼兒園到高中的數學課程。目前採用此標準的地方,包含41州、華府以及4個海外領地。CCSS的數學標準強調聚焦、一貫與嚴謹三原則,既注重概念理解也不輕忽實作應用,整體看來比NCTM主導期的課程難度加大。雖然CCSS得到專業數學團體的熱烈支持,但是反對的勢力仍然存在,由聯邦經費支持的標準化測驗尤其為人所詬病。川普競選美國總統時的政見之一,就是要拋棄CCSS標準,號稱要把教育的選擇權歸還州政府。

  數學內容雖然普世相同,但是數學教育深受社會與文化因素的影響,必然與各國的具體國情有關。像是法國精英層次與普通民眾之間,包括數學教育在內的很多方面,都存在著巨大鴻溝。曾經得過菲爾茲獎的法國明星國會議員維拉尼(Cédric Villani)在2018年2月完成一份報告,認為一般人民接受的數學教育幾近災難。他在21條改革建議中,強調了提高中小學數學教師水平的迫切性。類似本書作者在「以色列人人數學有成就基金會」採取的措施,維拉尼的報告也把新加坡的數學教學作為值得學習的楷模。

  英國方面的狀況是教室紀律鬆懈,使用教科書比例低落,因而造成數學學習成效欠佳。2016年英國政府以四年為期,計畫提撥約18億台幣經費給全英格蘭近半數學校,預計培育700名種子教師,廣泛向上海、新加坡、香港取經,進行數學教學改革。同時中國也派出許多數學老師,前往英國學校從事示範教學。從2018年起,英國的老師甚至可選用一整套中譯英的教科書《真實上海數學》(Real Shanghai Mathematics)。

  為什麼這些國家都要向新加坡學習呢?主要是因為新加坡不僅在TIMSS總是名列前茅,在另外一項國際評量PISA中也表現出眾。PISA是「國際學生能力評量計劃」的簡稱,每三年針對15歲學生進行一次跨國評量,藉以瞭解各國學生在「閱讀素養」、「數學素養」與「科學素養」上的能力。2015年有72個國家參加評量,新加坡在每一素養項目上都獨占鰲頭。至於會特別關注上海數學教育的原因,是因為中國於2012年首次參加PISA評量,當時僅以上海作為試點,結果成績特別突出,引起西方國家的矚目。

  PISA評量的目標是各科「素養」,注重理解、應用、解決問題的能力,也是學生進入社會必須具備的能力。評量題目與日常生活相關,同時說明試題的情境,讓學生作答時能把思考與情境聯繫起來。台灣最新的《十二年國民基本教育課程綱要》,也要著重培養下一代的核心素養,為終身學習奠定基礎與職涯發展做好準備,可說是呼應PISA引導的教育發展方向。在注重素養的時代,家長必須先自我教育,才能用正確的觀點、恰當的誘導、健康的態度,協助孩童獲得應有的數學能力。小學教師們也應該加強自我改善的力道,積極參加教師培訓或增能活動,開創書面作業以外的動手實作或身體活動,幫助學生體會出生活周遭處處可發現數學的蹤跡。本書在提供家長與教師正當觀點上確實是個好幫手,因此願意將它翻譯成中文與關心兒童教育的讀者分享。
 
李國偉(作者為本書譯者,曾任中研院數學所所長)

 
 

詳細資料

  • ISBN:9789864794812
  • 叢書系列:科學天地
  • 規格:平裝 / 304頁 / 21 x 14.8 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

1-1 數學是什麼?

自然之書是用數學語言寫成的。
──克卜勒(Johannes Kepler, 1571-1630),天文學家

科學的皇后
數學是科學的皇后,而算術是數學的皇后。
──高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855),數學家

在小學二年級的課裡,我想要解釋數的重要性,就給小朋友講個故事,述說有位國王非常痛恨數字,甚至禁止在王國裡使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣,結果發現生活會非常受限制。因為不准提兒童的年齡,所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外,你無法付錢買菜,也無法安排約會,因為你不准提在幾點或幾分。

這只是舉例說明數學在我們生活裡的重要性。隨著文明與技術的進步,我們的生活愈來愈需要倚賴數學。諾貝爾物理獎得主溫柏格(Steven Weinberg)在他寫的《終極理論之夢》(Dreams of a Final Theory)書中,專門花了兩章討論物理以外的題材,一章是數學,一章是哲學。在書中他說,他一再出乎意料的發現,數學多麼有用,而哲學多麼白費氣力。

要理解為什麼會這樣,必須理解數學是什麼,這可不是簡單的問題,就連專業數學家也難以回答。羅素(Bertrand Russell)曾經說數學家「都不懂自己在搞什麼。」(他對哲學家的批評更嚴苛,在他的眼裡,哲學家「只是瞎子在暗室裡尋找根本不存在的黑貓。」)他的說法在某種意義上確實為真:就是絕大多數的數學家都懶得自問數學是什麼,確切一點的說,沒想解釋他們到底在忙什麼。

想要回答這個問題,我們先從一個簡單的例子來看:3 + 2 = 5的意義是什麼?

在一年級班上,我請小朋友檢查3枝鉛筆加2枝鉛筆,結果有多少枝鉛筆。他們懂得「加」的意思就是「放在一起」,因此他們把3枝鉛筆與2枝鉛筆放在一起,然後再數有多少:答案是5枝鉛筆。接著我問:「當你把3枚鈕釦加2枚鈕釦,會得到多少鈕釦?」他們毫不猶豫的回答:「5枚鈕釦。」我再追問:「你們怎麼知道?」「由前一個問題就知道啦!」「但是前一個問題是關於鉛筆,也許會跟鈕釦不一樣啊?」他們就都笑了。這個問題並不是毫無意義的,恰恰相反,它隱含了數學的祕密──抽象。問題裡的東西是鉛筆、鈕釦,還是蘋果,都沒有關係,答案都相同,這也是我們可以抽象的說出3 + 2 = 5的理由。

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