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幫孩子找到自信的成長型數學思維:學好數學不必靠天賦,史丹佛大學實證研究、讓孩子潛力大爆發的關鍵方法

MATHEMATICAL MINDSETS: Unleashing Students’ Potential through Creative Math, Inspiring Messages and Innovative Teaching

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OKAPI 推薦

 

內容簡介

史丹佛大學數學教育系教授、PISA顧問寫給家長與老師的最佳伴學/教學指南
榮登亞馬遜「數學教學素材類」、「STEM教育類」暢銷雙榜首,讀者評價4.5顆星
多位國內數學教育家、國中小數學教師共同推薦
學數學需要大膽地胡思亂想,不怕犯錯
拋開高智商偏見,捨棄數學天分迷信
想逆轉痛苦的數學學習經驗,先培養成長型思維!
「數感實驗室」共同創辦人 賴以威 專文導讀 

李國偉   中央研究院數學所兼任研究員
李信昌   數學網站「昌爸工作坊」站長
洪雪芬   現任超腦麥斯創意思維數學課程總監
洪士薰   台南女中教師
高敏慧   台北市國中數學科副主任輔導員
許德田   新北市國小數學輔導團召集人
陳維民   台中市清水國小教師
彭甫堅  「數學咖啡館」創辦人
蔡宇哲   台灣應用心理學會理事長
蘇恭弘   台南市新興國中校長暨國中數學輔導團召集人
──強力推薦
 
本書不僅以清晰易懂的方式呈現「成長型思維」的研究結果,更是家長及老師可直接使用的數學教育創新實作手冊!!
 
擔心孩子沒有數學天分發展會被局限嗎?孩子討厭、害怕數學該怎麼辦?
針對大多數家長及學生的痛苦與盲點,史丹佛數學教育系教授裘.波勒,用神經科學與教學現場的多年經驗告訴你:相信孩子比填鴨教育更有效!
 
▎成長型思維是什麼?
成長型思維是相信大腦與能力可以藉由學習變強大的信念。研究證實,學習能刺激大腦增長並強化突觸之間的連結。強大的神經網路能讓學習表現提升,啟動成果與動機共同成長的正向循環,促使孩子朝「向上的學習軌跡」發展。
 
▎如何建立孩子向上的學習軌跡?

◎犯錯時給予鼓勵,甚至「鼓勵犯錯」
我們都該知道犯錯非常珍貴,假設極端一些,當孩子答對所有題目時,你可以說:「唉,真是可惜,因為那表示你沒機會學到東西。」
 
◎和孩子一起想想:「為什麼是這樣?」、「還有沒有其他方法?」
學習解題時,要常引導孩子在理解數學觀念後思考做法和題目之間的關聯,更必須互動交談,找出更多種解法。例如求解18×5可以怎麼做?為什麼合理?還有沒有另一種作法?
 
◎教導孩子圖像化地思考數學
引導孩子如同數學家般,不只是做計算,更必須提出好問題,甚至把想法畫下來,因為「畫出數學」遠比呆坐空想或寫出數學算式更能激發想像力。
 
◎鼓勵孩子運用直覺與想像力
若讓孩子思考如何求出檸檬的體積,他們或許會花費很多時間提出數種錯誤的方法,但真正的數學正是需要如此,因為在未知的數學領域中,無數的嘗試和錯誤是歸納出系統性解法的必經途徑。
 
◎建立孩子的數感
數感就是可以靈活運用數字的能力,需要對數字有概念,以及對數字與數字之間的關聯有深刻的理解。例如計算19×19,有些孩子傾向直接相乘,但有數感的孩子知道可以先把19都看成20-1,讓原本複雜的二位數乘法也可以輕鬆得出答案,而且不靠死記硬背。
 
家長及老師的職責是讓孩子有機會見識數學的自由、廣博與美麗,透過成長型的數學思維讓他們自信地在數學世界裡碰撞與成長,並且讓他們相信,只要付出努力,人人都是數學家。
 

作者介紹

作者簡介

裘.波勒Jo Boaler
史丹佛大學數學教育系教授、Youcubed平台共同創辦人、PISA測驗分析師,也是MOOC第一個線上數學教學及學習課程的作者。她曾在英國擔任瑪麗.居禮數學教育講座教授(Marie Curie Professor for Mathematics Education),獲得英國教育研究協會(British Educational Research Association)頒發之最佳博士獎。也曾獲選為英國皇家藝術學會(Royal Society of Arts)會員,並擔任過國際女性及數學教育組織(International Organization for Women and Mathematics Education)主席。波勒是美國國家科學基金會(National Science Foundation)總統獎及美國全國數學督導委員會(NCSM)Kay Gilliland平等獎的獲獎者,發表過九本著作及大量研究論文,並擔任矽谷多家公司的顧問,曾在白宮發表關於女孩讀理工科目的議題。近期成立了www.youcubed.org,提供教師與家長在數學方面激發及勉勵學生所需的資源和理念。

譯者簡介

畢馨云
國立清華大學數學系畢業之後,在出版社擔任科普書編輯十多年,現在為自由譯者,假日在交響樂團拉大提琴。譯有《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《原來數學這麼漂亮》、《不敗的數據學》、《萬物視覺化》等;另有譯作刊於《BBC知識》雜誌。

相關著作:《不敗的數據學:從統計數字中看見真相的12堂思考訓練,不被造假及濫用的數字唬弄!》《學數學,弄懂這39個數字就對了:用數學的語言看見這個世界的真實樣貌,180張圖激發你無所不在的演算力》

 

目錄

各界推薦
推薦序
導讀 錯誤是學習的起點!

台灣版作者序
前言
第一章 大腦與數學學習
第二章 犯錯與努力的力量
第三章 數學的創造力與美
第四章 培養數學思維:靈活運用數字的重要性
第五章 豐富多變的數學課堂活動
第六章 追尋平等之路
第七章 從分軌教學到成長型思維分組
第八章 評量成長型思維的成效
第九章 促進成長型思維的數學教學
參考資料
附錄一
附錄二
致謝
 

數學好好玩

「數學是少數人的專利。」
「聰明的孩子才學得好數學。」

根據自我的學習經驗,這兩句話,你認同嗎?你相信嗎?
多數的我們,在學校或多或少都有數學學習的創傷經驗,班上總是只有極少位怪胎同學,數學一直表現得很傑出。因此,這兩句話多數人是相信的,而這也是大眾對數學的普遍信念。但裘.波勒認為這是一種大眾迷思,因此她撰寫本書,開宗明義要打破這種想法。

波勒引用腦神經科學研究的證據,證明我們的大腦都具有「可增長、適應、變化」的特性,只要教學和傳遞的訊息是恰當的,人人都能學好數學。
她相信孩子一生經歷的大腦增長經驗,遠比任何先天的大腦差異來得重要。據此,她提出數學教育上「人人可以學好數學」的主張:

       「不是每個人的腦袋生來都一樣,但我…要說,並沒有所謂的『數學頭腦』或『數學天分』,沒有誰生來就懂數學,也沒有哪個人天生欠缺學習數學的能力。」
 
波勒提出的學習理論很「皮亞傑式」──就是學習的平衡理論:犯錯、知錯、認知上產生不平衡、認知衝突、再調適以達到再平衡狀態。這也正是主要的學習歷程。讓學生重新定位自己每次數學上所犯的錯誤,是學習的最好材料,也是最好的學習機會,因此亦成為有效教學策略上極關鍵的一環。
關於「數學是什麼?」這個哲學問題,作者提出歐陸盛行的觀點:
 
       「數學是一種文化現象,是我們能夠用來理解世界的一系列概念,關聯和關係。」
 
她引用數學家德福林(K. Devlin)的著作,同樣認同數學是樣式(pattern)的科學。
波勒的哲學觀跟我國十二年國教數學課程的主張很一致。例如我們課綱所闡釋:數學是一種語言,數學是一種實用的規律科學,數學是一種人文素養。這跟波勒哲學觀的基本論述完全一致。另外,作者也強調學校的數學應該是一門有創意、有關聯性、充滿活力的科目,也就是學校數學應該是「活的」,不是一直背誦的「死知識」。這個信念也成為波勒數學教學實證研究的主軸,換句話說,這本書是符合新課綱數學素養教學精神很好的參考資料。

本書的教學實證篇章所提供的教學策略,充分凸顯教學互動的重要性;動手操作培養體驗的感受、玩數學遊戲激發數學思維,這些實作型的篇章,都很值得數學教師與家長參考。其中,特別值得一提的是針對數學學習的性別差異論述,波勒花了一個章節的篇幅在「數學只是男生的專利」這個迷思的破除,與提出「有效的教學策略可以改進高等數學或理工科系女性很少之性別差異現象」的主張。

這本書的原文書名Mathematical Mindset用了時下很夯的「mindset」,在心理學上有「心態」的中譯,而Mathematical Mindset譯為「數學的思維態勢」或由多位數學教育學者討論後可簡譯為「數學的思勢」。
本書主要關注的是數學的信念之思維態勢的兩種類型,本書用充分的資料詮釋,一種是相信數學人人都有能力學好的「成長型」,一種是對立的,認為只有少數人可以學好數學的「僵固型」。

閱讀波勒教授的著作,讓我感覺很親切,因為在數學教育的理念想法上或教育實務的推動上,都有很多一致處。或許是源自上世紀八○年代,有不連續的兩年,個人在劍橋大學進修,曾經常性拜訪波勒數學教育養成的英國倫敦大學國王學院,且與當時的數學教育團隊密切互動學習的關係。
讀者閱讀本書,如果進一步想在台灣找到同樣精神理念下發展的數學好好玩的「數學奠基活動模組」,可以上台灣師大數學教育中心網站(http://www.sdime.ntnu.edu.tw/main.php)。這是教育部委辦,由台灣小學教師、國中教師、數學教育學者的共同教學智慧結晶。這套活動式、遊戲式、能驅動數學思維的數學學習活動模組,已然成為點燃台灣學子熱切想學好數學的火把!
── 林福來 國立台灣師範大學名譽教授暨數學教育中心創辦人

 
等這本書很久了!
 
由於長期擔任國小高年級老師,看過數百個孩子學習數學、近年來到各研習場合和老師們交流數學教法,以及教授TFT(為台灣而教)的老師們數學教學法的經驗,讓我愈發覺得,不論是導師或家長,最重要的是培養孩子內隱卻無法被剝奪的強大能力:成長型思維。尤其近來,美國心理學家達克沃斯博士發現,「恆毅力」是預先判斷是否成功的重點,而擁有恆毅力的關鍵,就是相信自己做得到的「成長型思維」。

有成長型思維的孩子,不論在言談、思考切入、努力或堅持等等,都和僵固型思維的孩子有著顯著的差別,這也會影響孩子是否持續「刻意練習」。而在孩子學習的各科當中,「數學」,通常是差距最大、最容易令孩子淚灑課堂的科目。因此看見這本《幫孩子找到自信的成長型數學思維》出版,我心中的驚喜,可見一斑。
收到書稿的時候,我正在和一群孩子奮鬥數學。我常在教學之前,調查孩子對數學的觀感。卻發現他們常常覺得自己沒有天賦、沒有數學細胞、沒有學習數學的天分,因此我通常需要和孩子歷經「排毒」的過程。在這段期間,我使用不同於紙筆算數的遊戲、教具或遊戲,讓孩子們不覺得是數學,在放下對數學的焦慮之後,才進入課程銜接。獎勵錯誤、專注在思考而不是對錯,以及重視討論而不是正確與否。經過正確歸因、正確的數學學習方法之後,歷屆以來孩子的成績告訴我,他們不僅能通過補救教學、學會思考,還能因此對數學產生興趣,這些都是可以辦得到的!

「不是你不行,只是這題需要多幾次練習」、「答對很好,但答錯可以提醒我們下次可以注意」、「我看見你的努力,讓我們來研究成績不理想的原因,想想有什麼方法可以改進」,對我來說,學生學習不好,只是我「還沒有」找到適合他們的學習方法,成長型思維對於教學者和學習者都一樣重要。因此,要讓孩子有成長型思維,我注重身教,注意我在教室的每一句話和每一個思考。

這樣的我,在閱讀了本書之後,發現自己的數學課堂還有很多可能,史丹佛大學數學教育系教授裘.波勒經過多年數學教育研究,發現當今教育體系主要採用的教法是以「固定題目」為主,讓學生重複練習題目、甚至當作回家作業。這些都無助於提升數學實力,也對善於思考的孩子不利,只讓算得快的孩子得到高分,而其餘孩子則錯誤歸因認為自己不擅長數學,讀到這裡,我點頭如搗蒜。波勒教授認為,算得快或想得快不等於數學好,數感、聯想力、論證力才是關鍵,數學的本質應是要找到事物背後的模式以及事物之間的關聯性,並能用數學模型精準的敘述,這也就是所謂的「數感」。讓孩子們真正學習到「數感」(也是這本書的可貴之處)在於作者不僅提出拋開過去錯誤的教學方式,更分享了完整的方法。

從基本的課堂開始,我對每個孩子就充滿信心,沒有數學頭腦或數學基因這種東西,而且我也相信每個人都能達到最高程度。我喜歡他們犯錯,因為每犯一次錯,大腦都會增長一點。失敗和吃力不代表他們學不好數學,這些是數學與學習中最重要的一環。我看重的不是學生做得快;我重視他們做得很深入,創造出有趣的步驟和表示法。我喜歡學生提問,也會把這些問題寫在海報上並貼在牆上,讓全班一起思考。
在課堂教學上也有詳細的指標和具體的例子:1.放寬課堂活動的限制,如此就會有多種方法、思路與表示法。2. 把深入探究問題的機會找回來。3. 先問問題,再教方法。4. 添加圖像要素,問學生他們是如何看待數學的。5. 延伸課堂活動的範圍,讓任務「地板變低,天花板變高」。6. 要求學生具說服力、會推理;還要保持懷疑態度。

本書全面地從課堂規範、數學課程設計、和學生對話、作業指導、改變評量方式、和行政部門溝通、如何給弱勢學生一個公平的學習數學空間,甚至連學生如何省思自己學習數學態度的題目,都提出了詳實的紀錄和引導。作者已和許多優秀的老師合作多年,將這套成長性數學教學引進課堂,設計激勵方法,並看見改變,接地性十足。因此,可以立即使用在課堂中,也是我強烈推薦的原因。

我尤其喜歡作者提出數學這個科目對所有學生的前途極為重要,因為數學是大學和很多領域的必備條件。這就表示,數學老師應該有額外的責任和機會讓所有人都能平等地接觸數學。這些平等包括怎麼平等介紹數學、鼓勵弱勢學生、引導學生為自己負責,成長型數學思維除了讓更多學生體會創造性、有美感的數學外,更可以為他們的人生帶來更大的學習成就、快樂和價值感,看見自己有無限潛能、改變他們和世界的互動方式。

身為師長,並相信教育力量的我們,如果可以藉由培養孩子的成長型思維,讓孩子在學習路上及學習數學路上,願意挑戰、克服、堅持、盡力,並能發現學習的美好和數學之美,那不僅會使孩子的人生更開闊,我們的人生也會因此更加豐美。誠摯地邀請您閱讀本書,看見數學教學及學習的桃花源!
── 林怡辰 彰化縣原斗國中小教師

別因錯誤的數學成見,限制了自己的孩子
 
這本書,改變了我很多想法。
 
你是不是覺得:
 
數學是個重要的學科,但很吃天分,甚至有性別差異,有些小孩適合,有些小孩就是反應不過來?
數學這種東西,在課堂上讓小朋友分組討論,七嘴八舌,讓程度不好的跟程度好的彼此搶話打斷思考,只是浪費時間?
最好的教學方法是讓小孩自己想,想不出來就解給他看?
 
以上,都是錯的。除了「數學是個重要的學科」之外。
 
作者裘.波勒( Jo Boaler),就是一般社會認定「比較少精通數學」的女性,在她的成長過程中,體會到教育體系是怎麼一步一步讓孩子對數學失去自信。波勒除了在教育現場工作過之外,還長年從事「數學教育」相關研究,對於從理論到應用、從實證到教育現場,都有深刻理解。本書內容,就在破除這些常見的刻板印象,用實證研究論述、教學實例說明,再提供各種可行的策略,協助老師與家長們改變教養方式,讓「每個小孩」都能順利一路學到微積分!
 
 
「反應快=數學好」是孩子被放棄的開始

以「反應快」就是「數學好」,這件事情來說,問題其實是在解題方式的不同。例如同樣是計算9×19,現有的教育體系,只重視誰能最快算出171這個答案,我們認為這樣的孩子「數感」很好、「數學」很好或很有天分。
但事實是,這類的孩子常是「找到一個方法就會直接衝向終點」的個性,當他們遇到困難的時候,思考其他方法和繞過困境的能力或許較差。
而被認為反應慢、數學不好的孩子,可能正在思考的是「我可以用10×19,然後再扣掉多加的一份19,嗯,這個方法,跟我用9×20後,再扣掉多加的一份9有什麼不一樣呢?」或者「我應該先算9×10,然後再加上9×9這樣會不會比較容易呢?」
課堂上,就在第一個孩子說出171,並被稱讚後,其他的孩子的思考都被認為沒有意義。而他們也逐漸學會,原來思考各種方法、比較不同解題方式,只是「浪費時間」。但偏偏多元思考的能力,在深度數學題以及面對真實世界的困境時,才是真正有用的。
認為小孩沒天分是很危險的,因為孩子很敏感,可以察覺到大人對他的期待降低,於是內化認定自己不行。或許他在四則運算上不夠快,但在被認定「沒天分」後,自己也逐漸認同,後續即使在幾何、推論、三角等方面具有長才,也會因此被埋沒了。
進一步說,本文作者反對能力分班,並用實證研究告訴你,能力分班不只對能力不好的孩子有傷害,其實對被分到好班的這些「高材生」傷害更大,因為被分到好班,他們認定自己的資質好,但當成就不如預期時,他們也傾向於認定「原來自己其實沒那麼好」,不願意繼續努力突破。
這些,書中都有詳細的實例與說明。
 
台灣父母教養現場的應用
 
有小孩的都知道,在台灣,孩子回家就累,只想放鬆,剩下的時間其實不多。要把種種美好的教育理念應用在生活中,其實非常困難。因此,關於本書的應用,我的建議如下。

第一,閱讀本書。理解實證研究確定的事實,理解教育現場的各種可能性。不管是跟老師溝通、選家教或甚至親自教,若有正確的觀念,在關鍵時刻的決斷就會正確,在自己跟孩子都疲倦的夜間對話,才能直覺地說出對的話,給對的支持。

第二,正向看待測驗的價值。對孩子來說,最重要的「成績」,是最終能呈現在履歷上的那些大型且重要的考試。平時的小考、複習的考卷、家裡的評量,分數都不重要。(現在我們家裡寫的評量或教材都不打分數了。)
這些小型測驗,假設孩子考七十分,我們應該抱持著「太好了,我們找到三十分不熟的領域,來一起學習吧」這樣的正向態度,而不是「你怎麼才考七十分」的嚴厲責備。如果我們預設孩子應該每次都拿到九十五分以上,孩子會傾向挑簡單的試題做,並對難題產生反射性的嫌惡,「這個太難,寫完又要被爸爸媽媽念」,因此逃避超越自己能力的任何挑戰。這樣很可惜,因為挑戰難題的過程,才真正是讓孩子動腦且持續成長的寶貴機會。

第三,用對的方式看待錯誤之外,也要用對的方式說。因為爸媽說的話,可以是令人心碎的匕首,也可以是最溫暖的支持。
 
「怎麼這麼粗心?又忘了寫單位,又急著寫答案,有沒有在看啊!」(X)
「我們這次發現了你的弱點,就是單位忘了寫,以及算出答案後,太開心,結果忘記看題目到底問什麼,給了不對的資料。我們知道了,下次就能改進囉!」(O)
 
「算幾次了,連這個也不會!你不會用17除除看嗎?」(X)
「還好我們有寫評量,才發現原來你約分的時候,常會沒注意到17的倍數。來,我們一起列出哪些是17的倍數:17/34/51/68/85/102。」(O)
 
第四,努力必留下好痕跡。算錯的計算紙揉成一團只要攤開後,上頭的所有摺痕,都像是大腦形成的新突觸連結、新思考軌跡。即使最後算錯,過程的嘗試都值得。你也可以在孩子算滿一張計算紙,心情低潮挫折時,這樣跟孩子說。
 
第五,永遠不要說孩子沒天分。不要降低對孩子的期待,永遠當最願意陪伴並等待孩子的那個人。讓他們不怕面對超越自己程度的挑戰。勇敢去做任何嘗試,克服過去自己無法克服的困難,這才是最重要的。
 
第六、為孩子提供個人化的關注。如果你的孩子在學校永遠得95分以上,分數高低都取決於粗心、單位沒寫,這表示題目對他來說太簡單,你需要幫他找到更困難的教材,避免讓他的思考能力閒置。如果你的孩子,成績一向有改進空間,請回家後不要罵他,陪他分析那些錯的題目,並歸類出他的知識缺口,協助他一起補上。如果父母沒辦法教,可以根據這樣的原則,去選擇適合的補習班或家教。

生活上,我們家也是這麼做的,而且效果顯著,幾個禮拜後,孩子就更願意挑戰難題,對不熟或困難的領域依然保有企圖心。
出社會後,人生的長遠競賽,比的不是幾秒鐘的快速反應與小聰小慧,而是分析困境、辨認問題、勇於挑戰、補足技能、切細任務、團隊合作,並一步一步拼湊出更好的未來。這些也正是未來世界需要的人才特質。這本書讓我們重新看待數學教育,也讓我們思索更深刻的教育價值。
 ──蔡依橙 新思惟國際 創辦人、蔡依橙的小孩教養筆記 板主
 

詳細資料

  • ISBN:9789862357217
  • 叢書系列:FN2 / 數感
  • 規格:平裝 / 352頁 / 23 x 17 x 2.1 cm / 普通級 / 全彩印刷
  • 出版地:台灣
  • 適讀年齡:0歲~99歲
 

內容連載

CHAPTER 1大腦與數學學習

過去十年我們看到許多技術出現,讓研究人員有新的機會探 索心智與大腦的運作。現在科學家可以在兒童和成年人做數學的 時候進行研究,監測腦部的活動;他們可以觀察大腦的發育和退 化,以及看到不同的情緒及狀況對大腦活動的影響。近年來出現 了一個涉及「大腦可塑性」的領域,讓科學家很驚訝。過去我們 認為,與生俱來的大腦是無法改變的,不過這個看法現在已經徹 底證明是錯的。一項又一項的研究已經顯示,大腦有不可思議的 能力,能夠在極短的時間裡發展與轉變(Abiola & Dhindsa, 2011; Maguire, Woollett, & Spiers, 2006; Woollett & Maguire, 2011)。 當我們學習新的概念時,腦中會放出一道電流,跨越許多突觸,連結大腦的不同區域(見圖 1.1)。 如果你把某個概念學習得很深入,突觸的活動就會在你的腦內建立起永久的連結,形成結構性的途徑,但倘若你只接觸這個 概念一次或是只有粗淺的了解,這些突觸連結就可能會像沙地上 的足跡般被「沖刷掉」。學習時,突觸會受到激發,不過學習並 非只發生在課堂上或閱讀書本的時候;當我們交談、玩遊戲或玩 具,以及在許許多多的經驗中,突觸都會受到激發。

針對倫敦黑色計程車司機腦部發展研究的發現,讓科學家對 能力和學習改觀。我是英國人,在倫敦搭過很多次計程車,還記 得小時候興奮地跟家人坐幾小時的車到倫敦一日遊,這些都是美 好的回憶。成年之後,我在倫敦大學國王學院讀書、工作,於是 有更多機會搭計程車在倫敦到處跑。倫敦地區有幾種計程車在營運,但在倫敦最常見的就是黑色計程 車(稱為 Black Taxi 或 Black Cab, 見圖 1.2)。

我在倫敦搭黑色計程車穿街走 巷的大部分歲月裡,我並不曉得那些 司機多麼駕輕就熟。原來,要在倫敦 開黑色計程車,申請人必須先受訓二 到四 年,記住查令十字 街(Charing Cross)方圓二十五英里內的兩萬五千 條街道和兩萬個地標。在倫敦市要學 會認路,比起大部分的美國城市更具 挑戰性,因為倫敦的格局不是棋盤式 的,而是成千上萬交織、相互連通的 街道(見圖 1.3)。
 
受訓結束時,這些黑色計程車司機需要接受檢定,這項檢定就簡單又直接地 稱為「知識大全」(The Knowledge)。如果你坐在倫敦黑色計程車上,跟司機 問起「知識大全」,他們通常會很樂意告訴你這個檢定多麼難考,並跟你分享他 們受訓期間的故事。「知識大全」是全世界公認要求最嚴格的課程之一,申請人 平均要考十二次才有辦法通過檢定。

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