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費波納契的兔子:50個改變歷史的數學大觀念

Fibonacci’s Rabbits: And 49 Other Breakthroughs that Revolutionised Mathematics

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內容簡介

  ●複雜公式不要來,無聊計算放一邊:一本寫給文科生看的數學史
  ●暢銷科普作家繼《巴夫洛夫的狗》、《薛丁格的貓》之後再度開講
  ●看人類如何在邏輯思考的領域上開疆闢土,改朝換代,建構出一個純靠紙筆推演的世界
  ●本書每個概念的發現,都把數學的發展推進了一大步!
 
  為什麼一分鐘有60秒?
  一隻蝴蝶怎麼會引發一場龍捲風?
  用很多隻猴子有可能寫出莎士比亞的作品嗎?
 
  英國廣播公司BBC知名科普節目主持人亞當.哈特-戴維斯在本書中以簡要透徹的筆法,暢談從古代蘇美人至今的數學家所獲得的突破性發現。對這些問題的發現、思考與解答,往往歷經好幾代的數學家才能完成,逐漸形成了今天數學研究的主要領域。
 
  透過本書你會發現,數學的趣味存在於解謎、創意與邏輯之美中,不是只有具備數理背景的人才能領會,不論你害怕的是數列還是幾何學、微積分還是賽局理論、傅立葉變換還是費馬最後定理,這本書都能帶你暢遊數學世界,讓文科腦和理科腦都能體驗到掌握數學概念的成就愉悅感。
 
  從公元前2萬年到公元2000年,不斷有數學家前仆後繼地提出絕妙的問題和出色的解答,每一次的重大發現都讓數學的發展取得進展。作者在本書中介紹了歷史上的50個數學大發現,從問題出現的背景、求解的過程、得到的結論,以及對後續數學探索提出的新方向,都以清晰而淺顯的描述加以探討,展現了數學概念的演變脈絡與無所不在的力量。
 
  書中講述的突破性發現有的屬於基礎體系(如無窮的概念和證明法的引進),有的和現實世界有關(如數列、解析幾何和微積分),有的是計算機時代產生的新理論(如蝴蝶效應和盾片狀的發現)。
 
  現在就跟著作者亞當‧哈特-戴維斯的腳步,沿著歷史的軌跡一探人類抽象思維的偉大發現,用非數學的語言來認識數學家的頭腦與數學之妙!
 

作者介紹

作者簡介
 
亞當‧哈特-戴維斯(Adam Hart-Davis)
 
  出生於1943年,英國科學家、作家、攝影師、電視節目主持人,1990年代主持英國廣播公司BBC的「地方英雄」(Local Heroes)和「羅馬人對我們有什麼貢獻?」(What the Romans Did for Us?)等系列節目,成為知名的科普傳播大將。畢業於牛津大學莫爾頓學院化學系,於約克大學取得有機金屬化學博士學位,之後曾在牛津大學出版社擔任科學圖書編輯。曾獲頒多項廣播與電視獎、四項獎章,以及14個榮譽博士學位。目前在BBC旗下的《廣播時報》有固定專欄,著作超過30本,包括《薛丁格的貓:50個改變歷史的物理學實驗》、《巴夫洛夫的狗:50個改變歷史的心理學實驗》。
 
譯者簡介
 
畢馨云
 
  清華大學數學系畢業,曾任出版社科普書編輯十多年,目前的身分是自由譯者,假日在業餘交響樂團拉大提琴。譯有《這才是數學》、《科學酷媽的育兒大探險》、《數學好有事》(獲吳大猷科普獎佳作獎)、《幫孩子找到自信的成長型數學思維》、《邏輯的藝術》等,另有譯作刊於《BBC知識》雜誌。 
 

目錄

前言8
 
1 摸索:公元前2萬年-公元前400年10
伊尚戈骨上面有什麼?——古代人類12
最早的計數證據
為什麼我們數到「10」?——古代人類15
數字的起源
為什麼一分鐘有60秒?——蘇美人18
蘇美人的六十進位制
可以化圓為方嗎?——古埃及人、古希臘人21
希臘人怎麼對付無理數
使分數變成埃及分數的因素是什麼?——古埃及人24
萊因德紙草書與古埃及數學
證明是什麼?——畢達哥拉斯26
畢氏定理
無限大有多大?——古希臘人29
非常大與非常小的數學
 
2 問題與解答:公元前399年-公元628年32
誰需要邏輯?——歐幾里得34
歐幾里得的《原本》
質數有多少?——歐幾里得37
歐幾里得的反證法
圓周率是什麼?——阿基米德40
找出圓周率π的界限
地球有多大?——埃拉托斯特尼43
太陽、影子與希臘幾何學
代數之父活到多大年紀?——丟番圖46
把字母使用在總和中
空無是什麼?——婆羅摩笈多49
零的值
 
3 兔子與現實世界:629¬—1665年52
可不可以做沒有數字的算術?——花拉子密54
解二次方程式
有多少兔子?——費波納契57
大自然的數列
數目一定是真實的嗎?——邦貝利60
1的平方根
怎麼用骨頭做加法?——納皮爾63
簡化乘法的第一個方法
酒桶有多大?——克卜勒66
切薄片求體積
笛卡兒坐標是什麼?——笛卡兒69
解析幾何學興起
機會有多大?——巴斯卡72
機率論的發明
你可以算出微小距離下的速率嗎?——牛頓與萊布尼茲75
微積分的發明
 
4 填補數學之間的空缺:1666—1796年78
歐拉數是什麼?——歐拉80
一切增長背後的數字
你可以過橋嗎?——歐拉83
送給我們圖論的遊戲
偶數可以拆成質數的和嗎?——哥德巴赫86
簡單到令人洩氣的猜想
流動要如何計算?——白努利89
空間受限制的流動,守恆的能量
在太空中哪裡可以停車?——拉格朗日92
三體問題
螞蟻能夠判斷自己在一顆球上嗎?——高斯95
高斯曲率
 
5 救命、邏輯與實驗:1797—1899年98
波動怎麼造成溫室效應?——傅立葉100
傅立葉變換
振動為什麼會產生模式?——熱爾曼103
數學彈性的起步
有任何解法嗎?——伽羅瓦106
解方程式的新方法
機器可以製表嗎?——巴貝奇與勒夫雷思109
最早的機械計算機
思維的規則是什麼?——布爾112
布爾代數的發明
統計可以救命嗎?——南丁格爾115
統計分析與醫療改革
面有多少?邊又有多少?——莫比烏斯與李斯廷118
拓樸學的誕生
它落在哪裡圓圈裡?——文恩121
文氏圖
為什麼有些系統雜亂無序?——龐加萊124
機遇背後的數學
 
6 在腦海和宇宙中:1900—1949年128
很多猴子有可能寫出莎士比亞的作品嗎?——博雷爾130
無限猴子定理
能量永遠守恆嗎?——諾特133
用代數來定義宇宙
計程車的車牌號碼很無趣嗎?——拉馬努金136
1729與數論
最好的贏法是什麼?——馮諾伊曼139
賽局理論與數學策略
它完備嗎?——哥德爾142
質疑數學的本質
反饋迴路是什麼?——維納145
控制與通訊理論
用什麼方式傳輸資訊最好?——夏農148
位元與數位訊號
你應該改變策略嗎?——納許151
無悔賽局理論
 
7 現代電腦時代:1950年-154
機器可以解決問題嗎?——圖靈156
解決判定性問題的辦法
一隻蝴蝶怎麼會引發一場龍捲風?——勞倫茲159
關於不可預期事件的數學
用飛鏢與風箏可以鋪成什麼圖案?——潘洛斯與艾雪162
潘洛斯的迷人花磚
費馬有證明嗎?——懷爾斯165
解決費馬最後定理
事物如何彎曲?——米爾札哈尼168
黎曼曲面的動力學
盾片狀是什麼形狀?——哥梅茲-賈納斯等人171
發現新的形狀
 
詞彙表174
索引175
 

前言
 
  數學不像其他的科學,有自己的模式與微妙之處。數學並不依附在物質世界中,不依鉛的重量、天空的蔚藍或火藥的可燃性而定。數學的進展往往出自純粹的洞察力與邏輯,而且一直到不久前,數學家幾乎只需要紙筆就能編織出奇蹟。
 
  實驗已經顯示許多動物,如烏鴉、老鼠、黑猩猩等等,可以數算到非常大的數目。因此似乎可以合理假定,早期人類即使不用手指頭,也擁有類似的計數本能。
 
  畢達哥拉斯(Pythagoras)是最早的數學先驅之一,他在公元前571年出生於希臘的薩摩斯島(Samos),最後在義大利南部的克羅托內(Crotona)創辦了一個古怪的數學學派,他的門徒不許吃豆子、碰白羽毛,或在陽光下「撒尿」。他並沒有發明那個關於斜邊上正方形面積的著名定理(x2 + y2 = z2),而是給出了證明。事實上,他引進了證明(proof)的概念,這是數學的基本宗旨之一。在數學上,證明就是一切,而科學不能證明一件事情的正確性;科學家可以駁倒某些想法,但永遠無法證明這些想法絕對正確。
 
  證明是費馬最後定理的關鍵特徵。皮耶・費馬(Pierre de Fermat)是一位法國律師,他讀到一段討論畢氏定理的文字時,在旁邊批註說,xn + yn = zn這個方程式在n大於2時沒有整數解。他寫道:「我已經找到一個很漂亮的證明,可是這裡的空白處寫不下。」在他1665年去世的時候,有人發現了這則眉批,接下來330年間,許多傑出數學家想盡辦法找出他的證明,但沒有找到。後來在1995年,安德魯・懷爾斯(Andrew Wiles)終於解開難題——只不過,懷爾斯的證明篇幅長達150頁,所用到的數學方法在費馬的時代還無人知曉。所以,我們可能永遠不會知道費馬是否說對了。
  
  數學往往適合當作謎題,在1202年的一本書《計算之書》(Liber Abaci)中,比薩的雷奧納多(Leonardo of Pisa,人稱費波納契[Fibonacci])就用了一道謎題,引進一個非常有趣的數列。他請讀者想像一對小兔子,牠們一個月後就發育為成兔,然後會生出一對小兔子,這對小兔子也會在一個月後長為成兔然後繁殖下一代。現在要問:「在每個月的月底,會有多少對兔子?」結果發現答案是1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...。由於它是把前兩個相鄰的數相加得出下一項,所以這個數列可以永無止境繼續下去。費波納契數列裡的數字,在自然界到處可見。花瓣的數目經常是3、5或8瓣;松果上的鱗片通常排列成8條呈順時針旋轉的螺線和13條呈逆時針的螺線。費波納契非常聰明,阿拉伯數字系統也是他得知後,引進到西方世界的。
 
  如果沒有這些,後來的數學先鋒絕對不會得到他們的發現。若沒有費波納契,牛頓(Newton)與萊布尼茲(Leibniz)就不會想出微積分。若微積分從未發明出來,歐拉(Euler)、高斯(Gauss)、拉格朗日(Lagrange)、巴斯卡(Pascal)的許多想法就不會出現,而他們的想法又對伽羅瓦(Galois)、龐加萊(Poincaré)、圖靈(Turing)、米爾札哈尼(Mirzakhani)等人的研究工作至關重要。此外,當然也就不會有費馬最後定理的證明。
 
  就像費波納契的兔子與費波納契數列一樣,所有這些數學發現都建立在先前的基礎上,變得愈來愈壯大,未來還會繼續壯大下去。
 

詳細資料

  • ISBN:9789869956376
  • 規格:平裝 / 176頁 / 15 x 21 x 1 cm / 普通級 / 全彩印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

代數之父活到多大年紀?
 
把字母使用在總和中
 
丟番圖(Diophantus of Alexandria)是相當神祕的人物,我們不清楚他在世的年代,只能推測他出生於第3世紀初,活躍於公元250年前後。
 
他似乎是第一個為解方程式而用字母代表數的人,因此得到「代數之父」的尊稱。他盡可能使用整數,但又不接受簡單分數也是數。
 
活到多大年紀?
 
公元500年的《希臘詩選》(Greek Anthology)收錄了一道關於丟番圖幾歲去世的謎題:「他的少年期占了一生的1/6;接下來的1/12歲月裡,他的鬍子長出來了;在隨後1/7的人生,他娶了妻子,五年後生下兒子;兒子活到了父親一半歲數,比父親早四年去世。」
 
解這道謎題的其中一個方法是利用他的代數,也就是寫出一個丟番圖方程式(Diophantine equation)。令x為他活到的歲數,那麼我們就可以根據題意,寫出x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
 
這個方程式解出來的結果是:9x = 756,也就是x = 84。
 
還有一個解題方法,是認清丟番圖只喜歡用整數。由此可知,他的歲數一定可被12和7整除;12  7 = 84。把這個數代回題目驗算一下,結果絲毫不差。
 
《算術》
 
丟番圖寫了一部巨著《算術》(Arithmetica),共有13卷,但只有六卷留存下來。書中描述了130個問題,並提供數值解。
 
《算術》是談論代數的第一部重要著作,不僅對希臘數學有極大的影響,對阿拉伯數學及後來的西方數學也有重大的影響。丟番圖除了用符號代表未知量,還使用了表示「相等」的符號(但不是我們所用的等號「=」,等號的發明要感謝英國數學家羅伯・雷科德[Robert Recorde])。
 
丟番圖的方程式大多是二次的,等式裡有以某種形式出現的x2和x。對我們來說,這樣的方程式有兩個解。譬如這個方程式
 
x2 + 2x = 3
 
可以解出
 
x = 1或x = 3
 
但是丟番圖從來沒有費神找出超過一個解(或「根」),而且可能也忽略負數,認為負數沒有意義或不合理。若把數字當成用來計數東西的基數(cardinal number),這是合乎邏輯的;沒有3顆蘋果這樣的量。不僅如此,他也沒有零的概念。
 
儘管有這些小缺點,丟番圖實質上為代數奠定了基礎,同時在數論方面也做出重大的進展。某位法國數學家讀到《算術》之後,竟讓他聲名大噪。

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