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解題背後的心理學:行不通就換方法,建構有效的數學思維

解題背後的心理學:行不通就換方法,建構有效的數學思維

PSYCHOLOGY OF PROBLEM SOLVING: THE BACKGROUND TO SUCCESSFUL MATHEMATICS THINKING

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內容簡介

「我就是不會!我的數學就是爛!」
一遇到問題,腦袋就僵化、衝動又焦慮,
怎樣的心理因素造成認知上的困難?

  改進年輕時就養成的無效思考模式,
  給從小就堅信自己學不好數學的人。


  解題是日常生活的一部分。我們一整天解題無數,從在聚餐時分攤帳單、開車時找出最佳路徑、訂購派對食物、安排家具動線等等都是。對許多人來說,應付這些問題輕鬆愉快,對另一些人來說卻是困難重重,為什麼會這樣呢?

  許多人自小學習數學的經驗就是挫折連連,這讓他們自小就養成迴避問題的習慣,而這樣的習慣可能延伸為終身的迴避模式和習慣,讓解決問題變得比實際上更困難。然而,身為心理學家的本書作者們非常瞭解人們在面對該解決的問題時,在認知和情緒上許多難處和焦慮。並瞭解無效的思考模式從年輕時就開始,隨著時間而固化。解題能力的優劣與其說是智力差異,不如說是一種需要突破的心理障礙,以及需被認知的無效思考模式。而這是可以透過學習和教育來做調整的。

  本書提供讀者解決難題的策略,也提供了清晰的步驟,讓人洞察自己的盲點,同時也重新定義所謂的信心是面對失敗的能力,因為失敗是不可避免的。想要找出好的解題策略,必定要不斷嘗試、給自己沉澱的時間,並且要有為了成功願意接受失敗想法。

  此外,作者也指出影響我們解題能力的眾多心理因素,包括:曲解問題、將問題過度複雜化、沒有彈性、想法僵化、焦慮、注意力缺失、健忘以及衝動。本書將提供範例,展現常見的數學及日常生活問題以及與每一個問題交織在一起的心理因素,藉此幫助讀者瞭解必要原則,並成為一名好的解題者。

  本書給那些堅信自己「學不好數學」或「說自己對數學不感興趣」的讀者。若能面對自己的焦慮,發展出更優秀的心理技巧,改善自身能力,重拾對於數學和邏輯問題的信心,並找到學習的意義,便能在未來處理生活中的難題時,好好梳理問題、制定應對策略,並擁有能看待自己的新觀點。

名人推薦

  游森棚 台灣師範大學數學系教授
  蔡宇哲 高雄醫學大學心理學系助理教授
  蘇俊鴻 北一女中數學教師
  專文推薦

  本書讓人反思與修正自己習慣的解題模式與隱藏的情緒,值得在解題歷程中時常受挫的孩子與大人看的好書。——劉雅茵 南科實中數學教師
 
 

作者介紹

作者簡介

艾佛瑞德.S.波薩曼提爾 Alfred S. Posamentier


  紐約市立大學附設紐約市科技學院的傑出講 師。紐約慈悲學院教育學院擔任院長,並是數學教育終身職教授。超過六十本以教師、中小學生及普羅大眾為目標讀者群的數學著作,致力於改善學生的解題技巧,以超越傳統教科書的教學內容豐富學生的學習。

蓋瑞.葛斯 Gary Kose

  長島大學布魯克林校區心理學教授。1981~84年間就加入羅格斯大學認知研究教學團隊,研究興趣擴大到一般認知中的相關問題,完成了記憶、敘事理解以及檢視脈絡和行動對解決問題的影響等相關研究。

丹妮耶爾.索羅.維葛達默 Danielle Sauro Virgadamo

  臨床心理學家,興趣在親職訓練及兒童行為問題。他的研究興趣主要在於以學校為基礎的心理健康干預、量表編製,以及雙胞胎的心理健康。

凱瑟琳.基芙.柯柏曼 Kathleen Keefe-Cooperman

  合格臨床心理學家以及長島大學諮商及發展系助理教授。她理解到人們面臨的挑戰會對他們的成功造成負面影響,然而辨認出這些障礙還不夠,他與她的同僚作者合作提供了要學習以信心面對嶄新問題的成功方法時所需的技巧。

譯者簡介

謝雯伃


  自由譯者,曾任台灣立報國際新聞編譯多年,譯作包括《永遠的現在式──失憶患者H.M.給人類記憶科學的贈禮》(夏日)、《思考的演算》(八旗)、《走路的科學》(八旗),以及多本生活類作品。
 
 

目錄

寫在前面
導言 
推薦文
 
第一章  解題簡史

根據心理學家的觀點,解題是一種尋找問題每一面向彼此之間關聯、以達到結構性理解的過程;換言之,去理解問題的各個部分如何彼此連接,就有可能以新方式重新整理問題的各個元素。
 
第二章  探索問題空間:解題策略
那些不想解題的學生,反應的可能是過去失敗的歷史或被人評價的焦慮感,因此閃避了問題。他們不是敗在解題上,因為他們甚至連一試也不願意。那些願意面對問題的學生,則不受失敗或被人評價所威脅,對於犯錯有更大的耐受力。
 
第三章  判斷、推理及決定

我們通常把共變想成是依因果關係做出判斷。然而共變並不足以建立因果關係,因此使用時要小心。教育會導致更高薪的工作嗎?早餐吃得好會讓你一整天感覺更好嗎?這些來自共變的因果關係幻覺很容易被人誤信。
 
第四章  不感興趣及焦慮vs 動機與信心
許多人與數學焦慮搏鬥而影響了他們的表現。雖然數學焦慮源於不理解眼前的素材,卻也因為人們想要「擅長數學」所承受的巨大壓力而生。
 
第五章  不專心及健忘 vs 注意力專注及工作記憶
當我們分心時,我們會跟不上已建立起的資訊,因此很難流暢地繼續這項任務。持續分心,會造成你需要重覆開始同一項任務,因為在回想問題目標、變量及已有成果上,你都會遭遇困難。
 
第六章  順向思考及倒向問題思考:直覺式想法與深思熟慮式想法
直覺給予我們一個簡化過的粗糙分析,創造出我們所知比正常量還多的幻覺。但當我們深思熟慮後,我們就會開始欣賞事物的複雜,並體會學海無涯。
 
關於作者
 
 

推薦文01

問題來時,你可知道自己的思考途徑是什麼?
蔡宇哲(高雄醫學大學心理學系助理教授)


  解題這件事並不只是在考試或是工作上,生活中可是到處充滿著這類事件,從聚會邀約在哪個餐廳吃飯,到生病了該去找哪個醫師或診所,這都是一個生活中的問題解決。

  之前有次眼睛不舒服,於是上網搜尋家裡附近的眼科診所。透過Google很快可以找到有哪些以及關於這些診所的評價。原本選定了一間離家近、評價也高的診所,但當我點進一看,發現有則留言描述他所遭遇的不佳經驗。雖然其他留言多半是正面的,整體評價分數也高,似乎沒什麼好挑惕的,但我依然為了這則負面留言而猶豫不決,甚至起了改換別間的念頭。

  面對問題的思考方法說來簡單,但其實有很複雜的心理歷程,特別是人們無意識的那些認知偏誤,都會影響到最終的解決方案。其中之一就是上段所描述的,人們很容易受到少數個案經驗而影響,而不論科學數據是好是壞。畢竟他人的經驗好壞是不需要思考就可以理解,而統計數據卻是需要後天學習才能瞭解當中的涵義。這違反理性的決策方式,正是每個人都會遇到的情況。

  在2021年春節期間,網路出現一個科學傳播的爭議事件。一位擁有大聲量的Youtuber根據自己的體驗及少數專家的建議,向大眾說明了某個飲食療法的好處。然而這卻引來一位醫師引經據典地反駁,說明這療法根本是無稽之談,不該向大眾推薦。雙方網路交鋒,支持者也各持己見互不相讓,事件最終在其中一方認錯後落幕。這類事件不是第一次發生,更不會是最後一次,相反地日後會越來越常發生。

  在資訊越來越發達、知識越來越多的社會,人們看似應該越來越理性才對。但由於我們並無法接收與理解如此龐大的資訊,因此很難知道自己所獲得的資訊是對是錯。很多人面對問題的第一步,通常是像我一樣上網Google,或者是尋找專家的意見。這些方法並沒有錯,而有些人做了之所以會發生錯的結果,多半是忽略了自己的立場會造成確認偏誤,以至於都只看符合自己觀點的資料,而忽略了反對面的資訊。我常提醒自己,確保盡量不犯錯的方式,是一直提醒自己可能會犯錯,要常懷疑所獲得的資訊,特別是那些跟我立場相同的資訊。

  這本「書名」雖然有提到數學這讓多數人害怕的知識,但內容主要並不是談數學,應該說數學就是一種問題解決的最基本型態。在閱讀的同時,而是問題解決的心理歷程,我也在思索自己面對問題的思考與解決途徑,因此讀起來很慢,但卻也因此沉浸在解題的思考歷程裡,獲得有別於閱讀一般科普書籍的樂趣。

  在這個資訊爆炸的年代,每個人都該多瞭解自己解題時的思考策略,才能知道在什麼情況下要去避免大腦內建的捷徑思考方式,才能真正獲得最佳的處理方案。

推薦文02

每一次解題都是單獨一次的探險
游森棚(國立台灣師範大學數學系教授)


  數學的能力包含許多面向,但實際上的測試卻常常以解題能力來當作唯一的指標。底下舉兩個學生階段的光譜兩端案例。

  光譜一端是國中會考或是大學考試中心的學科能力測驗。這些問題帶有鑑別考生解題能力的任務,在解題光譜上是屬於需要思考、但並非遙不可及的問題。也就是說,解答的線頭不會埋得太深,常常有固定的程序,並且解答經由訓練(平常的努力)可以熟練或聯想而得。

  光譜另一端是數學競賽或數學研究。比如每個國家選六位學生參加的國際數學奧林匹亞競賽,這個競賽只有六題,每一題平均可以作答一個半小時。每一年最難的一道問題,通常全世界的菁英選手只有個位數的強者能答對。我擔任教練多年,常常著迷於這些選手可以苦思數個小時毫無進展,而突然靈機一動的那個瞬間。更極端的數學研究 如果也視為一個規模宏大的解題過程,則常常需要歷時數個月乃至數年的辛勤工作。在這個漫漫過程中,大腦迴路如何連結,解題歷程如何進行,以心理學角度來看真是極大的神秘。

  解題過程中實際上牽涉到複雜的一系列心智交互作用:這包含了理解問題、分析已知與未知、觀察與試驗、擬定與施行策略,以及嘗試與反覆修正,才能慢慢接近目標,最後再進行解題回顧。步驟整理起來看似簡單,實際上每一次的解題都像是單獨的一次探險,簡單的問題是輕鬆的旅程,複雜困難的問題像是攀越高山。而探險的過程又非常個人化:不同的人面對同一個問題,採取的解題模式可能完全不同。而且,每一階段還牽涉到當下的心理狀態,畏懼、信心、焦慮、動機、經驗等等,這些難以量化的因素又和解題能力糾纏不清。

  所以,解題的心路歷程到底是怎麼一回事?解題的能力能學嗎?能夠改進嗎?有什麼誤區該避免嗎?怎麼克服焦慮,怎麼集中注意力,有沒有什麼思考策略或解題架構可以依循?

  讀者手上的這本書,是一位數學教育工作者與三位心理學家的合著。這本書以心理學角度與高度討論了「數學解題」這件事,試圖討論與解答上述的問題。書中第一章先介紹了解題的歷史。第二章討論我們如何採取策略。第三章討論解題時做決定的影響因素。第四章討論心理層面,諸如焦慮與動機對解題的影響。第五章討論注意力集中的問題。第六章討論直覺與深思在解題中的重要性。    

  數學這個科目可能是大多數臺灣學生求學生涯中最大的門檻。造成這個結果的原因是多層面的:數學本身一步推一步不容妥協的嚴密性、一層一層疊加上去的概念、精確性,以及獨特的符號與語言。然而,數學訓練的推理能力以及解數學問題所需的解題能力,又是現代社會中面臨諸多決策所不可或缺的基本能力。欣見這本書的出版,讓讀者得以一窺「數學解題」這個神秘能力的心理層面。我相信讀者必定像我一樣,在這本書中得到許多啟發與印證。如同書序所言,這本書讓讀者看見對解題能力造成負面影響的許多認知程序,也提供了可行的嶄新思考方式來克服這些問題。透過練習,讀者有機會成為更好也更有效率的問題解題者。

推薦文03

解題原來這麼有事!
北一女中數學教師 蘇俊鴻


  身為高中數學老師多年,每當考完試後總有學生前來「申訴」,大都離不開下列三種情況:

  情況一:考前我都把題目做得滾瓜爛熟了,考試時還是有很多題目不會。
  情況二:考卷一發下來,我就開始焦慮,很多題目就不知道怎麼做。等到結束鈴響,再看題目時,我都會做了。
  情況三:題目我都會做,可是常常看錯數據或是計算錯誤。

  上述這些問題,本書作者從心理學的理論為我們提供解釋,並且提出改善方案。比方說情況一,透過範例教學演練相同系列的問題,是為了讓學生掌握概念、習得技巧,從而進入長期記憶,成為特定解題程序(演算法),是發展解題策略的有效方法。然而,反覆大量的機械練習,忽略概念理解,卻可能阻礙學生看到解決新問題的明顯線索,提出新的解題策略,這在心理學上稱為定勢效應。因此,如何避免心理定勢的產生,就是教與學時要考慮的課題。

  又或者情況二,考試時焦慮是影響成績表現的最大心理因素。通常總是鼓勵學生考試不要害怕、要有信心。那麼,該如何培養信心呢?這就是我的困擾所在。作者告訴我們信心不僅是「這個我做得到」的態度,其中還包括「理解題目和變因,以客觀開放的心態處理問題,以及感覺準備充足並感覺自己能處理問題。或許,信心最大的指標是一個人面對失敗的能力。」要如何培養面對問題的信心,第四章有可操作的練習題指引,有興趣的讀者不妨一試。

  至於情況三,如何培養專注力,就請各位參閱第五章的內容吧!

  事實上,解題活動不只發生在數學場域。我們每天日常都要解決許多問題,且解題能力的優劣表現影響了我們的生活。作者認為,心理因素是影響解題能力的關鍵之一,並且「解決數學問題的技巧與解決日常問題的技巧,兩者以同樣方式發展。」然而,「許多人認為數學天分是一種『天生能力』,因此假想自己永遠無法改進這個技能及解決問題能力。」書中透過心理學的理論說明,配合生活實例與數學範例的演示,告訴我們只要理解原因、透過練習,總是有可能改進數學或解決問題的能力,這正是《解題背後的心理學》一書值得推薦的原因。
 

詳細資料

  • ISBN:9789865524432
  • 叢書系列:ALPHA
  • 規格:平裝 / 208頁 / 14.8 x 21 x 1.4 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

第四章
不感興趣與焦慮 vs. 動機與信心


如前所述,有許多心理因素會影響一個人有效且有效率地解題的能力。在前言中列出來的大多數因素(像是集中的專注力與計畫)牽涉到複合的心智歷程;你可能已經擁有這許多心智元素,卻仍在解題上遇到困難。你可能會想,還有什麼因素在阻礙你?這就是何以我們現在要討論的原因—在阻礙我們解題能力上有一個重要的因素,那就是焦慮。

何謂焦慮?

你可能對於焦慮這個詞很熟悉,那是涵蓋擔心及緊張感受的複雜感受,通常伴隨著諸如肌肉緊張、呼吸和心跳加速以及慌張的生理症狀。在某些例子中,我們能適應這些焦慮,比如說不知道能上哪所大學的焦慮,通常有助於激勵學生努力讀書取得好成績。另外,對於陌生人的恐懼,通常能阻止兒童與不認識的大人說話,讓他們避開可能危險的情況。然而,也有許多時候,焦慮讓我們對一點也不危險的情況感到恐懼。在這些案例中,焦慮會造成人們產生負面信念並導致人們選擇迴避。舉例來說,如果有人對於公開演講感到焦慮,卻在工作場合或學校中被要求進行演說,他或她可能會對這次演講產生了負面想法。這人可能會想:「如果我犯了錯或忘詞了,那該怎麼辦」、「我聽起來可能很蠢」或是「我不知道我能不能做到」。他或她可能會汗流不止或暈眩,可能心跳加速或換氣過度。這人可能會有衝動打電話請病假或是請他人進行簡報。這些狀況都是出於焦慮,而這人若在像是算數學(被稱為數學焦慮)及解決日常生活問題的狀況下感到焦慮,這些症狀通常也會出現。

許多人與數學焦慮搏鬥,而影響了他們在這一科的表現。雖然數學焦慮根源於不理解眼前的素材,卻也因為人們想要「擅長數學」所承受的巨大壓力而生。如果「擅長數學」會讓一個人變聰明,那麼反過來數學不好就暗示了我不夠聰明。這會帶來很大的壓力!有數學焦慮的人通常會在面對數學題時感到驚慌,這讓他們的心跳及呼吸加速,讓有效率、能解出題目的思考被焦慮的想法給取代了。他們可能會認為「我做不到」、「我做得超差」、「這對我來說太多了」或是「我永遠都不會懂」。由於這樣多焦慮的想法不斷冒出來,難怪有數學焦慮的人在解題上會遇到困難!他們通常無法專心在問題上,往往得仰賴他人提供一步接一步的指示。

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