深入淺出細說微積分

第1章歐拉數微積分之心
1.1歐拉數乃數中之數
1.2球體積公式如何導
1.3從球體積到定積分
1.4積分海一看歐拉數
1.5微分海再看歐拉數
1.6極限海三看歐拉數
1.7級數海四看歐拉數
1.8積分學對抗微分數
1.9這四個數同歸於e

第2章實數序列開宗名義
2.1植根基且看實數系
2.2數列何意不說自明
2.3極限存在謂之收斂
2.4數列確有代數結構
2.5和差積商夾心法則
2.6有界數列幾時收斂
2.7柯西另立收斂準繩

第3章連續函數緊接而來
3.1極限何意千古惱人
3.2老朋友尋找新朋友
3.3左右極限無限極限
3.4水平垂直斜漸近線
3.5平分秋色謂之連續
3.6函數值間亦函數值
3.7絕對極大絕對極小
3.8一致連續意義為何

第4章導數源自割線切線
4.1導數存在謂之可微
4.2可微必定導致連續
4.3導數法則加減乘除
4.4合成函數連鎖法則
4.5隱居函數如何微分
4.6一二三高階導函數
4.7話說符號千言萬語

第5章基本函數之導函數
5.1指數對數一體兩面
5.2次冪函數簡單明白
5.3三角函數各有千秋
5.4反三角函數最驚豔

第6章均值定理微分瑰寶
6.1定理敘述幾何意義
6.2極大極小點何處尋
6.3如何證明值得探索
6.4有何大用不可不知
6.5推而廣之歸功柯西
6.6羅必達法則白努力
6.7求極限最妙羅必達

第7章導數何用你可要知
7.1估算函值且聽費曼
7.2線性估算簡單明瞭
7.3均值估算誤差了然
7.4絕對極值有演算法
7.5最佳化問題有流程
7.6一二三畫函數圖形
7.7解方程牛頓有巧思
7.8二階導函數何其美
7.9泰勒多項式及公式

第8章定積分觀念與理論
8.1算面積引入定積分
8.2積分定義黎曼達布
8.3可積分函數族實例
8.4定積分之基本性質
8.5定積分之計算定理
8.6積分與微積分瑰寶
8.7微積分瑰寶之推廣*
8.8微積分瑰寶小應用*

第9章反導函數覓覓尋尋
9.1熟記四組基本公式
9.2心藏一個線性法則
9.3連鎖法則引入代換
9.4乘積法則必須分部
9.5勤練二法代換分部
9.6猶如開車煞車加速

第10章積分應用四加一重
10.1零維均函值第一重
10.2一維量弧長第二重
10.3二維求面積第三重
10.4三維算體積第四重
10.5零維窮極限又一重

第11章廣義積分何來瑕疵
11.1廣義積分如何定義
11.2比較判別收斂發散
11.3凸函數族因何突出*
11.4階乘函數怎是了得*

第12章無窮級數遐思無窮
12.1無窮級數究竟何意
12.2交錯級數如何收斂
12.3幾何級數伸縮級數
12.4收斂級數代數結構
12.5正項級數如何收斂
12.6一般比較極限比較
12.7根式審歛比值審斂

第13章更美審歛與冪級數
13.1絕對收斂條件收斂
13.2冪級數乃函數級數
13.3函數序列函數級數
13.4逐項微分逐項積分
13.5解析函數泰勒級數

第14章歐拉數到斯特靈數
14.1一個美妙的不等式
14.2化繁為簡無言證明
14.3一個更美的不等式
14.4階乘函數如何界定*
14.5斯特靈公式與常數*

第15章巨人同行探圓周率
15.1站在巨人的肩膀上
15.2W函值的美妙性質
15.3上實驗結果與分析
15.4探討π無限乘積式
15.5實驗二結果與分析
15.6積式*
15.7t何Wn(d,t)最快收*

附錄數學運算大師簡介
參考資料
索引
簡答

 

序

　　微積分是科學研究的基礎，我們要談如何以分析的方法來研究變動中的事物。包括四個主要的大課題：連續性、微分法、積分法還有級數之收斂性。原理與計算並重。前面探討單變數微分之觀念及應用、再加積分之觀念，中間繼續探究積分之應用並談級數之收斂性，最後探索多變數微積分。本書先省略多變數部分，目前僅單變數部分對基礎分析有個啟發。不管你將來要走向哪一個行業，此種訓練對你百分之百是必要且大有好處的。

　　1994年筆者回臺任教於東海數學系，理工學院的微積分仍是紮紮實實的八個學分。那個年代，男生新鮮人得先上成功嶺接受六個禮拜的軍事訓練；等他們來到學校已是十月中旬，正值天氣轉涼進入晚秋的時節；而舊生已開學一個月了。因此之故，在第一個禮拜總會要求新鮮人自己閱讀課本的第一章；一來讓他們適應讀原文書，二來逼他們以最快的速度進入狀況。當然，要求學生寫心得報告是驗收成果的一個辦法；而學生抱怨連連不在話下，但也都乖乖地寫了。

　　1997年環科系有一個學生名叫廖倚萱，她的報告寫道：「......第一次接觸原文書，念起來覺得好辛苦。曾經覺得數學是門有趣的科目，但現在卻好盼望能有自己語言的數學書。我總覺得臺灣人的數學頭腦是比外國人強好幾倍的，但為什麼我們沒有自己的『原文書』呢？總覺得有點悲哀！」

　　「為什麼我們沒有自己的『原文書』呢？」倚萱的理由不見得正確，但她的「大哉問」卻一直深藏我心頭，都二十多年了仍久久不去。市面上有著各式各樣、林林總總的微積分課本，大可不必再寫一本來湊湊熱鬧！然而能正面回答倚萱「大哉問」的中文「原文書」，似乎還看不到；為這個緣故，《深入淺出細說微積分》問世。