數學女孩（5）：伽羅瓦理論

序言

第1章　有趣的鬼腳圖 1
1.1　 交錯的鬼腳圖 1
1.2　 溢出的鬼腳圖 5
1.2.1　計算數量 5
1.2.2　尤裡的疑問 7
1.3　 理所當然的鬼腳圖 8
1.3.1　冰沙 8
1.3.2　無可替代之物 8
1.3.3　可以畫出鬼腳圖所有的排列模式嗎？ 9
1.4　 有趣的鬼腳圖 14
1.4.1　3 條分隔號 14
1.4.2　鬼腳圖的2 次方 16
1.4.3　鬼腳圖的3 次方 18
1.4.4　繪圖 20
1.4.5　解開深層謎題 23

第2章　睡美人的二次方程式 25
2.1　 2次方根 25
2.1.1　尤裡 25
2.1.2　負數×負數 26
2.1.3　複數平面 27
2.2　 求根公式 29
2.2.1　二次方程式 29
2.2.2　方程式與多項式 31
2.2.3　推導二次方程式的求根公式 32
2.2.4　傳達心情 36
2.3　 解與係數的關係 37
2.3.1　泰朵拉 37
2.3.2　解與係數的關係 37
2.3.3　整理思緒 41
2.4　 對稱多項式與域的觀點 42
2.4.1　米爾嘉 42
2.4.2　再探解與係數的關係 42
2.4.3　再探求根公式 49
2.4.4　回家的路上 56

第3章　探索形式 61
3.1　 正三角形 61
3.1.1　醫院 61
3.1.2　再次發燒 70
3.1.3　夢的結局 71
3.2　 對稱群的形式 73
3.2.1　閱覽室 73
3.2.2　群公理 74
3.2.3　公理與定義 83
3.3　 迴圈群的形式 86
3.3.1　前往“加庫拉” 86
3.3.2　結構 86
3.3.3　子群 87
3.3.4　基數 91
3.3.5　迴圈群 92
3.3.6　阿貝爾群 95

第4章　與你共軛 101
4.1　 閱覽室 101
4.1.1　泰朵拉 101
4.1.2　因式分解 102
4.1.3　數的範圍 104
4.1.4　多項式的除法 106
4.1.5　1 的12 次方根 108
4.1.6　正n邊形 110
4.1.7　三角函數 111
4.1.8　出路 114
4.2　 迴圈群 115
4.2.1　米爾嘉 115
4.2.2　12 個複數 116
4.2.3　製作表格 118
4.2.4　共有頂點的正多邊形 119
4.2.5　1 的原始12 次方根 122
4.2.6　分圓多項式 124
4.2.7　分圓方程式 130
4.2.8　與你共軛 132
4.2.9　迴圈群與生成元 133
4.3　 模擬考試 136

第5章　角的三等分 139
5.1　 圖的世界 139
5.1.1　尤裡 139
5.1.2　角的三等分問題 140
5.1.3　對於“角的三等分”問題的誤解 144
5.1.4　尺子與圓規 145
5.1.5　可以作圖的意義 147
5.2　 數的世界 148
5.2.1　具體例子 148
5.2.2　通過作圖實現加減乘除運算 151
5.2.3　通過作圖開根號 154
5.3　 三角函數的世界 158
5.3.1　雙倉圖書館 158
5.3.2　理紗 159
5.3.3　離別之際 163
5.4　 方程式的世界 164
5.4.1　看穿結構 164
5.4.2　用有理數練習 169
5.4.3　一步的重複 172
5.4.4　能進入下一個步驟嗎？ 173
5.4.5　發現了嗎？ 176
5.4.6　預測與定理 178
5.4.7　出路在哪裡？ 180

第6章　支撐天空之物 187
6.1　 維度 187
6.1.1　廟會 187
6.1.2　四維世界 188
6.1.3　章魚燒 190
6.1.4　支撐之物 192
6.2　 線性空間 194
6.2.1　閱覽室 194
6.2.2　座標平面 196
6.2.3　線性空間 199
6.2.4　R上的線性空間C 202
6.2.5　Q上的線性空間Q(√2) 203
6.2.6　擴張的程度 208
6.3　 線性獨立 212
6.3.1　線性獨立 212
6.3.2　維度的不變性 216
6.3.3　擴張次數 217

第7章　拉格朗日預解式的秘密 221
7.1　 三次方程式的求根公式 221
7.1.1　泰朵拉 221
7.1.2　紅色卡片：契爾恩豪森轉換 222
7.1.3　橙色卡片：解與係數的關係 225
7.1.4　黃色卡片：拉格朗日預解式 227
7.1.5　綠色卡片：3 次方的和 231
7.1.6　藍色卡片：3 次方的積 236
7.1.7　靛色的卡片：從係數到解 238
7.1.8　紫色卡片：三次方程式的求根公式 243
7.1.9　描繪“旅行地圖” 244
7.2　 拉格朗日預解式 248
7.2.1　米爾嘉 248
7.2.2　拉格朗日預解式的性質 253
7.2.3　能應用於其他例子嗎？ 257
7.3　 二次方程式的求根公式 258
7.3.1　二次方程式的拉格朗日預解式 258
7.3.2　判別式 261
7.4　 五次方程式的求根公式 263
7.4.1　五次方程式是什麼 263
7.4.2　“五”的意義 264

第8章　建造塔 267
8.1　 音樂 267
8.1.1　咖啡廳 267
8.1.2　邂逅 269
8.2　 講課 270
8.2.1　閱覽室 270
8.2.2　擴張次數 270
8.2.3　擴域與子域 271
8.2.4　Q(√2)/Q 273
8.2.5　出題 275
8.2.6　Q(√2,√3)/Q 276
8.2.7　擴張次數的積 279
8.2.8　(Q(√2+√3)/Q) 282
8.2.9　最小多項式 284
8.2.10 新發現？ 288
8.3　 信 293
8.3.1　歸途 293
8.3.2　家 294
8.3.3　信 295
8.3.4　規矩數 295
8.3.5　晚餐 297
8.3.6　朝著方程式的可解性前進 298
8.3.7　最小分裂域 300
8.3.8　正規擴張 300
8.3.9　面對真實的對象 303

第9章　心情的形式 307
9.1　 對稱群S3 的形式 307
9.1.1　雙倉圖書館 307
9.1.2　類別 313
9.1.3　陪集 317
9.1.4　整齊的形式 319
9.1.5　製作群 322
9.2　 寫法的形式 329
9.2.1　Oxygen 329
9.2.2　置換的寫法 330
9.2.3　拉格朗日定理 332
9.2.4　正規子群的寫法 337
9.3　 部分的形式 337
9.3.1　孤零零的 2 337
9.3.2　探索結構 338
9.3.3　伽羅瓦的正規分解 339
9.3.4　進一步除以C3 340
9.3.5　除法與同等看待 344
9.4　 對稱群S4 的形式 348
9.5　 心情的形式 351
9.5.1　Iodine 351
9.5.2　熄燈時間 352

第10章 伽羅瓦理論 355
10.1　 伽羅瓦節 355
10.1.1 簡略年表 355
10.1.2 第 一論文 358
10.2　 定義 361
10.2.1 定義（可約與既約） 361
10.2.2 定義（置換群） 364
10.2.3 兩個世界 366
10.3　 引理 367
10.3.1 引理1（既約多項式的性質） 367
10.3.2 引理2（用根製作的V） 370
10.3.3 引理3（用V 表示根） 372
10.3.4 引理4 （V 的共軛） 374
10.4　 定理 378
10.4.1 定理1（“方程式的伽羅瓦群”的定義） 378
10.4.2 方程式x2 3x + 2 = 0的伽羅瓦群 380
10.4.3 方程式ax2 + bx + c = 0的伽羅瓦群 382
10.4.4 伽羅瓦群的製作方法 387
10.4.5 方程式x3 2x = 0的伽羅瓦群 390
10.4.6 定理2（縮小方程式的“伽羅瓦群”） 394
10.4.7 伽羅瓦的錯誤 398
10.4.8 定理3（添加輔助方程式的所有的根） 399
10.4.9 重複縮小 401
10.4.10 定理4（縮小的伽羅瓦群的性質） 403
10.5　 定理5（以代數方式解方程式的充分必要條件） 404
10.5.1 伽羅瓦提出的問題 404
10.5.2 何謂“以代數方式解方程式” 407
10.5.3 泰朵拉的問題 408
10.5.4　p次方根的添加 409
10.5.5　伽羅瓦的添加元素 413
10.5.6　手忙腳亂的尤裡 418
10.6　 兩座塔 418
10.6.1　三次方程式的一般形式 418
10.6.2　四次方程式的一般形式 420
10.6.3　二次方程式的一般形式 424
10.6.4　五次方程式不存在求根公式 426
10.7　 夏天結束 428
10.7.1　伽羅瓦理論的基本定理 428
10.7.2　展覽 432
10.7.3　夜晚的Oxygen 432
10.7.4　無可替代之物 434

尾聲 437
後記 444
參考文獻和導讀 447