科學人 11月號/2019 第213期

三體軌道之舞

數學家永遠無法「解開」所有三體軌道，但處理這個百年難題的一部份就已獲得十分奇妙的發現。

撰文／蒙哥馬利 （Richard Montgomery）
翻譯／翁秉仁


2014年春天，我基本上已經放棄三體問題。由於我腦袋中沒有點子，便開始在筆記型電腦上寫程式、產生並搜尋近似解──雖然這永遠無法澈底解決我的問題，卻可能取得一些線索，讓我更接近答案。不過因為我缺乏寫程式的專業技巧又因此不耐煩，整個過程進展緩慢，讓我這個只會用紙筆做研究的數學家很不愉快。於是我找上老友，西班牙巴塞隆那大學的教授西莫（Carles Simó），想說服他協助我加快這拖沓的搜尋。
該年秋天我到西班牙見西莫，他是天體力學領域最具原創力也最謹慎的數值分析學者之一，是個坦率的人，既不浪費時間，講話也不繞圈子。在西莫研究室的第一個下午，我解釋完問題之後，他眼神銳利看著我，問道：「蒙哥馬利，你為什麼在意這個？」
原因說來話長，這必須追溯三體問題的根源。牛頓在1687年出版《自然哲學的數學原理》，首度提出並解決了雙體問題：「如果兩天體只受相互吸引的重力作用，會如何在空間中運動？」牛頓把這個問題列入求解微分方程組的框架，這讓他能夠以各個天體在某個時刻的位置和速度共同決定它們未來的運動方式。在兩天體的情況下，牛頓完整解開了他的方程式，這些解通稱為軌道，都是圓錐曲線──圓、橢圓、拋物線或雙曲線。牛頓解出所有可能的兩天體軌道之後，推導出克卜勒（Johannes Kepler）行星運動定律，這是克卜勒在1609年發表的經驗定律，綜合他的雇主第谷（Tycho Brahe）生前數十年的天文觀測數據。克卜勒第一定律說明，行星或彗星的軌道是以太陽為焦點的圓錐曲線，牛頓的解則指出太陽和行星軌道都是圓錐曲線，共同焦點位於兩天體質心。由於太陽質量遠大於任何行星，因此太陽－行星系統的質心位於太陽內部，非常接近太陽本身的質心，運動時太陽質心會沿著微小的橢圓軌道繞行系統質心。
如果把兩天體改成三天體，就是所謂的三體問題。如前所述，三天體的軌道也是某個微分方程組的解，然而這個微分方程組很困難，在一般情況下根本找不到解析解。儘管有現代電腦協助，以及數世紀以來最卓越物理學家和數學家的研究，直到近年我們仍只知道五道三體運行軌道的解析解：三道由歐拉（Leonhard Euler）在1767年發現，兩道由拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）在1772年發現。而在1890年，龐卡赫（Henri Poincaré）在三體問題中發現混沌動力系統的特性，這意味著我們永遠無法以牛頓雙體問題的精細程度求出三體問題的所有解。不過我們仍能把三體運行軌道切分成有限段落，透過所謂的數值積分，運用電腦高效率計算出近似軌道，這正是太空計畫不可或缺的一環。而只要拉長電腦的計算時間，便能得到更準確的近似軌道。

食數列
西莫的問題讓我說不出話，心想：「我當然在意，這個問題已經花了我20年的工夫。」事實上，我一直在關注的是平面三體問題中的一個特殊問題：

是否所有的週期性食數列，都代表了平面三體問題的一個週期解？

解釋如下：想像平面上標示為1、2、3的三天體（恆星或行星）在重力作用下運動，其間偶爾會出現三天體共線，稱為「食」（eclipse，專業術語稱為syzygy，這是個在英文填字遊戲裡讓人抓狂的字）。如果依照共線時居中的天體把該食記錄為1、2或3，並依照時間記錄每次發生的食，所得的數列就稱為食數列。
以經過簡化的日地月系統為例，月球（天體3）每個月繞行地球（天體2）一周、地球每年繞行太陽（天體1）一周，由於這個系統的運動具有週期性，因此食數列會出現週期模式，也就是232323232323232323232323……，此食數列不會出現1，因為太陽永遠不會運行到地球和月球中間。每過一年，食數列會增加24個數字，每個月各增加一個2和3。
食數列不一定具有週期性，甚至可能永遠不會出現可辨識的模式。但若三體問題的一個解具有週期性，那麼其對應的食數列數字就會重複，例如日地月系統週期是一年，食數列每隔一年就會出現相同的24個數字。回到我的問題：「是否所有的週期性食數列，都代表了平面三體問題的一個週期解？」我猜答案是肯定的，但是還無法證明。

繞行蟲洞
為了說明這個問題的重要性，我提醒西莫這個問題牽涉三個數學領域（分別是有橡膠幾何之稱的拓撲學、研究曲面的幾何學、研究物體運動的動力學。）想像有隻螞蟻，在一個像是「蟲洞」的懸鏈面（catenoid）爬行，牠的任務是要找出繞行蟲洞的最短路徑。從拓撲觀點，懸鏈面和挖掉一點的xy平面是一樣的，事實上，我們可以想像在一張有彈性的橡膠片上挖個洞，把這個洞往下壓，再向外撐開，就會得到懸鏈面。只要洞向外撐得夠開，這條最短路徑不但存在，還會滿足一道和三體問題十分類似的微分方程式，這麼一來，螞蟻便找到了一個有趣的微分方程式週期解。
組態空間（configuration space）在三體問題裡扮演了懸鏈面的角色，組態空間上的一點記錄了同一時刻三天體的位置資訊，於是便能用一條曲線表示三天體的運動。我們假設運動過程中天體不會碰撞，因此必須移除組態空間上代表碰撞的點。從拓撲觀點，這個不包含天體碰撞情況的組態空間本質上可想成xy平面移除兩點（譯註：此平面並非三體運動的平面）。
假設移除的兩點位於x軸，其中一個洞標示為12（天體1和2碰撞），另一個洞標示為23（天體2和3碰撞）；另有第三個洞位在無窮遠處，標示為13（天體1和3碰撞）。三洞把x軸分成三段，三線段分別標示為1、2、3。平面上的曲線表示三天體的運動，也就是三體問題可能的解。曲線穿越線段1表示發生形態1的食，以此類推。這麼一來，一條曲線繞行碰撞洞的模式就可以用食數列來編碼。
螞蟻繞行蟲洞時必須找到最短路徑，而要把三體問題正確類比為螞蟻問題，必須把路徑長度換成另一種量：路徑作用量（action，可想成動能減去位能、沿路徑每個瞬間的總平均量）。根據古典力學一條數百年的老定理，可知任何組態空間上最小化作用量的曲線，一定是牛頓三體問題的解。只要試著在所有對應特定食數列的封閉曲線（環圈）中，搜尋能最小化作用量的路徑，便有可能解決食數列問題。
在組態空間上對應特定食數列的所有環圈裡，搜尋最小化作用量路徑──17年來我全神貫注以此策略研究三體問題，也得到許多美好的結果。例如在2000年，我和法國巴黎第七大學的申西尼（Alain Chenciner）以此方法，重新發現了三體問題中可能是第一個角動量為零的週期解，這個8字形解由美國聖塔菲研究院的摩爾（Cris Moore）在1993年首次發現。在這個解裡，三個質量相等的天體在平面的8字形軌道上彼此追逐，對應的食數列是123123……。我們的研究打開8字形解的知名度，並提供嚴格的存在證明，也開啟數學家研究等質量多體問題的靈感，大量發現新型軌道，西莫求得了幾百種這類新軌道，並稱之為「軌道之舞」（choreography）。中國作家劉慈欣甚至把8字形軌道寫進暢銷科幻小說《三體》。
那天早上，在我和西莫分享自己的想法之後，他說了一句讓我茅塞頓開的話：「蒙哥馬利，如果你的想法是對的，背後一定有某種動力機制。」也就是說，如果解答我問題的答案是肯定的，那麼一定有某種原因讓這些天體以這種方式來運動。
這句話讓我反省自己的信念，放棄了17年來以最小化路徑作用量來解決問題的策略。三體問題的動力機制為何？我想到兩種可能，只有其中一種有望打破僵局。這項機制和龐卡赫發現的混沌有關，引領我去反思一項老研究，作者是我近日的合作者、美國明尼蘇達大學的莫克爾（Rick Moeckel）。1980年代，莫克爾從三體問題中「三體碰撞」衍生出的雙曲纏結（hyperbolic tangle）曲線，推導出令人驚訝的結果。重讀他的舊論文，我感覺莫克爾似乎掌握了解決問題的關鍵。我和莫克爾聯絡，幾天之內就一起解決了我的問題！好吧，應該說幾乎，因為我們無窮逼近了原來問題的解答。

又跳票了！

撰文／李家維

十年了，它仍然被禁錮在玻璃瓶內續命。
話說2008年8月，辜嚴倬雲植物保種中心的蘭花蒐藏經理王義富，在北大武山叢林的陰暗落葉層中，見到了他不認識的紫紅葉蘭花。他眼界高，管理世上最豐富的蘭花蒐藏，立即知道此物不凡。果然台灣大學的林讚標教授鑑之為新種，預計在隔年12月底發表為「紅衣指柱蘭」。這是個極珍稀的物種，地毯式搜尋只找到20餘個體，生長在約50平方公尺的小棲地。他帶回的兩株收存在保種中心，另一株壓成臘葉標本存放在台灣大學。然而2009年莫拉克颱風來襲，整片棲地崩塌成裸露泥流，紅衣指柱蘭倖存的機會極低。而養在保種中心的兩株，在冬眠後沒醒過來。我們曾悲觀認為它可能就此絕種。
兩年後，王義富一再努力，又找到一孤伶個體，它竟然開花結了果。委請國立自然科學博物館的蘭花專家李勇毅，用無菌培養基播種，繁殖了上百個小苗。七年來，我們多次將之移出瓶外培育，但屢試屢敗，都無法正常成長，有可能是缺了在野地與之生死相依的共生真菌。紅衣指柱蘭是台灣眾多瀕臨滅絕的物種之一，它相對幸運的是，至少能在精心呵護下繼續活在無菌培養瓶內。
今年5月，我在泰國曼谷的國際生物多樣性會議，偶遇厄瓜多基多植物園的前園長赫茲（Alexander Hirtz）。他是國際知名的植物學者，曾參與發現及命名約1250種植物。我請他認真估算，這其中現在還有多少種存活著？他沉思片刻說：「能有300種活著就不錯了。」因為它們當年的生育地，絕大部份已開發成農田和牧場。這就是物種滅絕的現在進行式，缺乏大規模的現場資訊，學界很難評估這生態悲劇有多嚴重。
國際組織當然憂心物種滅絕之快速，聯合國的全球植物保育策略聯盟（Global Strategy for Plant Conservation）率先訂下2002~2010年的保育目標。進度嚴重落後，因此再提2011~2020年的宏願，希望能將75%生存受威脅的物種就地及異地保種。但看來又嚴重跳票了，估計僅達標40%。這些年來大家口口聲聲保護生物多樣性，政府競相成立各級委員會，但就是成效不彰。讀了〈跳票的保育承諾〉，就知道推動之困難，私心利益仍遠勝芸芸眾生之公益。

【關於封面】三天體在彼此的重力吸引下如何運動？這問題困擾科學家數百年，如此混沌的情景甚至吸引了科幻作家寫成小說。今日數學家仍努力不懈，雖然進展有限，卻從「無解」中找到了新洞見。

數學
36 三體軌道之舞
文／蒙哥馬利（Richard Montgomery）
數學家永遠無法「解開」所有三體軌道，但處理這個百年難題的一部份就已獲得十分奇妙的發現。

天文物理
44 三體，從科學到科幻
文／李偉才
從特洛伊小型星到半人馬座α星，三體無所不在。在科幻世界中，《三體》更被譽為史詩式科幻的極致。究竟這部小說有幾分真、幾分假？

保育
50 跳票的保育承諾
文／吉瑞提（Rowan Moore Gerety）
礦業巨擘力拓集團提出明確的承諾，要與保育學家合作改善馬達加斯加鈦鐵礦場周邊的生態環境。然而，該公司的底線開始鬆動，諾言猶如開採後的自然林地，逐漸瓦解。

物理學
60 設計超導體有原則
文／韓德森（Bob Henderson）
科學家在理論和計算方面得到嶄新進展，能否因此製造出夢想許久的室溫超導體？

動物行為
68 睜一隻眼睡覺
文／馬西提（Gian Gastone Mascetti）
海豚用半邊大腦睡覺，人類睡眠時左右半腦也會出現不同腦波。研究動物的半腦睡眠，讓科學家更加了解神秘的睡眠現象。

教育
74 幼兒學習，如何聰明起跑？
文／根席（Lisa Guernsey）
在學前教育中鼓勵孩子對話並培養專注，能讓他們在學校和往後的人生表現更佳。

生物學
82 寶可夢奇想生物學
文／胡哲明
寶可夢與自然界生物有許多相似性，其魅力讓演化生物學家也為之傾倒，不僅當做上課教材，甚至一頭鑽入寶可夢世界，探究這群奇特「生物」的分類、演化與生理機制。



科學人觀點
6 恨的凝結與溶解 文／曾志朗 

總編輯的話
8 又跳票了！ 文／李家維 

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