序曲　何謂數學？

一切都不只是數目
何謂數學？隨機向人們提問，你可能獲得的答案是：「數學是有關數目的一種學問。」如果你繼續追問他們所謂的學問是哪一種，或許你可以誘導他們提出譬如「那是一種有關數目的科學」之描述。不過，這大概是你最多可以得到的資訊。而這一種有關數學的描述，在大約二五○○年前，就已經不再正確了。

在這樣一個巨大的誤導之下，你所隨機抽樣的人們無法體會數學研究是一種興旺且無所不在的活動，或是接受數學經常相當程度地貫穿吾人日常生活與社會大部分活動的看法。這毫不令人意外。

事實上，「何謂數學？」這個問題的答案在人類歷史過程中，已經數度更易了。

到西元前五○○年左右為止，數學的確是有關數目（number）的一種學問。這是古埃及和巴比倫時期的數學。在這些文明中，數學所包括的，幾乎都以算術（arithmetic）為主。它大部分屬功利取向，而且充滿了「食譜」的特色（譬如，「對一個數目這樣做、那樣做，那麼，你將會得到答案。」）

從大約西元前五○○年到西元三○○年的這一時期，是希臘數學的時代。古希臘的數學家主要關心幾何學（geometry）。誠然，他們按幾何方式，將數目視為線段長之度量，而當他們發現有數目缺乏對應的線段長時，有關數目的研究就停頓下來了。對於希臘人而言，由於他們強調幾何學，所以，數學不只研究數目，而且也是有關形狀（shape）的學問。

事實上，幸虧有希臘人的現身，數學才進入研究領域，而不再只是度量、計算和會計等技巧的大雜燴。希臘人對於數學不只是功利取向，他們視數學為一種知性探索，其中包含了美學與宗教成分。泰利斯（Thales）引進了如下想法，亦即：數學上精確陳述的斷言（assertion），都可以被一個形式的論證（formal argument）邏輯地證明出來。這一創新標誌著定理（theorem）－－數學的基石－－的誕生。對希臘人而言，這一進路在歐幾里得（Euclid）《幾何原本》（The Elements）出版時，攀上了顛峰。這一部西方數學經典，在歷史上因流傳度僅次聖經而聞名於世。

運動中的數學
一直到十七世紀中葉，英國牛頓（Isaac Newton）和德國萊布尼茲（Gottfried Leibniz）彼此獨立地發明微積分之前，數學的整體本質未曾有根本的變革，或者幾乎沒有任何顯著的進展。實質來說，微積分是研究運動（motion）和變化（change）的一門學問。在此之前的數學大都侷限於計算、度量和形狀之描述的靜態議題上。現在，引進了處理運動和變化的技巧之後，數學家終於可以研究行星的運行、地球的落體運動、機械裝置的運作、液體的流動、氣體的擴散、如電力和磁力等物理力、飛行、動植物的生長、流行病的傳染、利潤的波動等等。在牛頓和萊布尼茲之後，數學變成了研究數目、形狀、運動、變化以及空間（space）的一門學問。

大部分涉及微積分的初始問題都導向物理的研究；事實上，該時期很多偉大的數學家也被視為物理學家。不過，從大約十八世紀中葉之後，當數學家著手瞭解微積分為人類帶來的巨大力量背後是什麼，他們對於數學本身有著遞增的興趣，而不只是關注數學應用而已。因此，當今日一大部分純數學被發展的時候，古希臘形式證明的傳統，捲土重來掌握了優勢。到了十九世紀末為止，數學已經成為有關數目、形狀、運動、變化、空間以及研究數學的工具的一門學問。

發生在二十世紀的數學活動之爆發相當戲劇化。在一九○○那一年，世界上所有的數學知識可以裝入大約八十部書籍之中。而在今日，現有數學將必須有十萬部書籍才能容納。這種非比尋常的成長，不只源自從前數學的增進，許多新的分支也已經湧現。在一九○○年，數學可以合理地被視為包括了大約十二個主題：算術、幾何、微積分等等。至於今日，六十到七十之間的不同範疇，將是一個合理的數字。某些主題，譬如代數和拓樸學（topology），已經細分為不同的子領域；至於其他主題，譬如複雜理論（complexity theory）或動態系統理論（dynamical systems theory），則是全新的研究領域。