活動1  在正方形紙中摺正三角形
FOLDING EQUILATERAL TRIANGLES IN A SQUARE
 
適用課程：微積分先修（precalculus）、初等代數、三角函數、幾何學、微積分（最佳化）、數學建模。
 
摘要

請學生想辦法，用一張正方形紙，摺出一個正三角形。這個挑戰就是在一個正方形裡面找出最大可能的正三角形。當然，學生需要證明自己所推測的三角形是最大的。
 
內容

此問題的幾何學部份，只需要能夠運用30−60−90度的三角形。然而，若有更多創造性的幾何學見解，可產生更非凡的解決方案。

對於微積分課堂，此問題的提出事實上不需要提到摺紙：請找出正方形中內接最大的正三角形。但是知道的人事實上運用這種知識摺紙的時候，可激發產生額外的動機。這是一個具有挑戰性的數學建模問題，可以完全達成，不需要借助其他工具，也無須小心協助學生建立模型，更不必確實了解三角函數並進行正確的圖形分析。由於是一個最佳化問題，脫離了微積分教科書中經常會遇到的模式限制，從而可使學生將自己的知識應用於全新而實際的情況。
 
講義

三種講義以供選擇：

1.介紹用正方形紙，摺正三角形的一般問題。

2.在建立最佳化模型時，提供數個指導步驟。

3.引導學生逐步完成最佳化模型。
 
時間規劃

講義1需要大約40分鐘的上課時間，包括讓學生探索與像其他同學呈現自己摺三角形的方法。

講義2或3，如果要在課堂上完成，可能共需50−60分鐘，取決於學生建立數學模型的速度快慢。
 
講義1−1
如何摺一個正三角形
 
活動的目標是要用一張正方形紙，摺一個正三角形。
 
問題1：首先用紙摺一個30−60−90度三角形。提示：摺出的斜邊要是其他任一邊的兩倍。
努力摺，別放棄！將你成功的方法寫在下面空白處。
 
問題2：現在，用你在問題1所寫的解答，在正方形紙裡摺出一個正三角形。
 
延伸：假設正方形紙的原始邊長為1，那麼你所摺的正三角形邊長是多少？正三角形邊長可以摺得更長嗎？