1-1 數學是什麼？

自然之書是用數學語言寫成的。
──克卜勒（Johannes Kepler, 1571-1630），天文學家

科學的皇后
數學是科學的皇后，而算術是數學的皇后。
──高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777-1855），數學家

在小學二年級的課裡，我想要解釋數的重要性，就給小朋友講個故事，述說有位國王非常痛恨數字，甚至禁止在王國裡使用數字。我和小朋友一起努力想像沒有數字的世界會怎樣，結果發現生活會非常受限制。因為不准提兒童的年齡，所以各種年齡的兒童一律歸到同個年級。此外，你無法付錢買菜，也無法安排約會，因為你不准提在幾點或幾分。

這只是舉例說明數學在我們生活裡的重要性。隨著文明與技術的進步，我們的生活愈來愈需要倚賴數學。諾貝爾物理獎得主溫柏格（Steven Weinberg）在他寫的《終極理論之夢》（Dreams of a Final Theory）書中，專門花了兩章討論物理以外的題材，一章是數學，一章是哲學。在書中他說，他一再出乎意料的發現，數學多麼有用，而哲學多麼白費氣力。

要理解為什麼會這樣，必須理解數學是什麼，這可不是簡單的問題，就連專業數學家也難以回答。羅素（Bertrand Russell）曾經說數學家「都不懂自己在搞什麼。」（他對哲學家的批評更嚴苛，在他的眼裡，哲學家「只是瞎子在暗室裡尋找根本不存在的黑貓。」）他的說法在某種意義上確實為真：就是絕大多數的數學家都懶得自問數學是什麼，確切一點的說，沒想解釋他們到底在忙什麼。

想要回答這個問題，我們先從一個簡單的例子來看：3 + 2 = 5的意義是什麼？

在一年級班上，我請小朋友檢查3枝鉛筆加2枝鉛筆，結果有多少枝鉛筆。他們懂得「加」的意思就是「放在一起」，因此他們把3枝鉛筆與2枝鉛筆放在一起，然後再數有多少：答案是5枝鉛筆。接著我問：「當你把3枚鈕釦加2枚鈕釦，會得到多少鈕釦？」他們毫不猶豫的回答：「5枚鈕釦。」我再追問：「你們怎麼知道？」「由前一個問題就知道啦！」「但是前一個問題是關於鉛筆，也許會跟鈕釦不一樣啊？」他們就都笑了。這個問題並不是毫無意義的，恰恰相反，它隱含了數學的祕密──抽象。問題裡的東西是鉛筆、鈕釦，還是蘋果，都沒有關係，答案都相同，這也是我們可以抽象的說出3 + 2 = 5的理由。