導讀
本書所討論的是數學幾何學中一個領域──拓樸學(Topology)概念。
在「拓樸學的世界」中,圖形伸縮扭曲後也會是相同的形狀、相同的圖形。三角形、四角形、五角形⋯⋯沒有區別,跟圓盤全都是相同的圖形,也都稱為圓盤。在這個世界上,我們平常不會稱為圓盤的形狀,竟變成是圓盤。球棒、球拍擊出的棒球與網球,一般會認為「球飛在空中的時候會改變形狀」,但在拓樸學的世界中,只要球沒有破掉,球在飛行過程中的形狀完全相同。
可能有些人會覺得,這樣來看,「世間萬物不就都是相同的形狀?」但其實不然。例如,將咖啡杯的把柄部分放大後,會跟甜甜圈是同樣的形狀,但跟球體卻是不一樣的。此處,數學的「球體」是指,中間為實心的球狀物體,如同實心彈力球般的東西。
以拓樸學的觀點,判斷兩圖形是否相同,通常是相當困難的事,但我們可用各種「工具」進行判斷。透過這些工具,我們能以拓樸學的觀點捕捉圖形的特徵。這些工具稱為拓樸不變量(topological invariant)。
我們生存於三維空間中,因此無法將超過三維的形狀重現為眼前的物體,就連想像也極為困難。我們能夠想像歪曲的平面──曲面,但對歪曲的空間卻摸不著頭緒。然而,即便是數學上無法實際想像的圖形,也可透過拓樸不變量,以拓樸學的觀點進行討論。
在討論可想像與不可想像的圖形時,閉曲面是饒有趣味的概念。閉曲面如同其名是指「封閉的曲面」,例如球面、游泳圈等曲面,詳細內容會在本書正文中說明。球面是球體表面的圖形,例如沙灘排球等物體表面。
以拓樸學的觀點來分類閉曲面,我們能用孔洞數進行區別。由此可知,沙灘排球的孔洞數為0個,游泳圈的孔洞數為1個,所以兩者為不同物體;單人游泳圈與雙人游泳圈的孔洞數分別為1個和2個,所以在拓樸學上是不同物體。
試著比較不同的閉曲面,會發現球和泳圈兩者的彎曲狀態不一樣。例如,就我們的三維觀點來看,會認為球面是彎曲的,平面是平坦沒有彎曲的,因此能夠理解平坦平面與彎曲球面的彎曲狀態不一樣。游泳圈各處的彎曲狀態不同,平均值也與球面的彎曲狀態不一樣。雖然在拓樸學上「即便彎曲也是相同形狀」,但球和泳圈卻是不同形狀,出現令人意外的結果。
幾何化猜想(Geometrization Conjecture)讓我們能用彎曲形態來分類三維流形(manifold),也就是空間扭曲。
幾何化猜想提出後,數學家們煩惱數百年之久的著名龐加萊猜想(Poincare Conjecture),也在幾何化猜想得到證明後,於2003年左右成功得證。這些會在第9章與第10章概略說明。
本書的目標讀者是對數學有興趣的高中生、社會人士等,即便沒有學過大學數學的人,也能理解本書內容。期望各位能因此對拓樸學的構想、思維稍微產生一點興趣。
最後,本書的付梓出版深受許多人照顧,感謝science·i編輯部石井顯一先生多次幫忙校正、製作插圖等,各位同仁處理細部的修正,同時由衷感謝給予我執筆機會的今野紀雄教授。
名倉真紀