數之軌跡Ⅰ：古代的數學文明

'第1章 導論
1.1 數學史學議題：何謂數學史？為何數學史？如何數學史？
1.2 數學史與數學哲學
1.3 數學史與民族數學、多元文化數學
1.4 數學史與數學小說敘事
1.5 有關本書著述

第2章 古埃及與巴比倫數學
2.1 人類數學之起源？古埃及與巴比倫文明中的「數」
2.2 尼羅河畔，紙莎草紙上的埃及智慧
2.3 兩河流域，穿越四千年的巴比倫數學遺產
2.4 古埃及與巴比倫的數學再評價

第3章 希臘數學
3.1 希臘數學的開端與畢氏學派
3.1.1希臘數學的開端
3.1.2畢達哥拉斯與畢氏學派
3.2 古希臘三大幾何難題
3.3 古典時期與數學哲學
3.3.1伊利亞學派
3.3.2柏拉圖與數學哲學
3.3.3亞里斯多德與其有關證明的理論
3.4  歐幾里得與《幾何原本》
3.4.1 《幾何原本》的知識結構
3.4.2 設準5與歐氏幾何學
3.4.3 《幾何原本》其他重要內容
3.5  阿基米德
3.5.1 阿基米德寶典：失落的羊皮書
3.5.2 歐幾里得 vs. 阿基米德：以圓面積為例
3.6 阿波羅尼斯及其《錐線論》
3.7 希臘化時期亞歷山卓的數學家
3.7.1 埃拉托斯特尼
3.7.2 海龍
3.7.3 托勒密
3.7.4 丟番圖
3.7.5 帕布斯
3.7.6 海芭夏
3.8 古代數學的黃金時代

第4章 中國數學
4.1  內算 vs. 外算
4.2  秦簡《數》
4.3  漢簡《筭數書》
4.4  《九章算術》
4.5  魏晉南北朝算學
4.6  劉徽
4.7  趙爽
4.8  祖沖之父子
4.9  《算經十書》與隋唐數學：數學教育的制度化
4.10  哪些人是「說算者」？哪些人是「談天者」？

第5章 數學文明：中國 vs. 希臘
5.1 孔子與柏拉圖
5.1.1 「學以為己」的孔子
5.1.2 「止於至善」的柏拉圖
5.1.3 孔子 vs. 柏拉圖
5.2  墨子與亞里斯多德
5.2.1  「學以為用」的墨子
5.2.2 「演繹科學」的亞里斯多德
5.2.3 墨子 vs. 亞里斯多德
5.3 《九章算術》vs.《幾何原本》
5.4  數學知識的系統化：劉徽 vs. 歐幾里得
5.5  數學的「在地性」

 

推薦序

于靖

　　很高興看到洪萬生教授帶領他的學生們寫出大作《數之軌跡》。這是一本嘆為觀止，完整深入的數學大歷史。萬生耕耘研究數學史近四十年，功力與見識足以傳世。他開宗明義從何謂數學史？為何數學史？如何數學史？講起。巴比倫，埃及，希臘，中國，印度，阿拉伯，韓國，到日本。再從十六世紀到二十世紀講西方數學的發展與邁向巔峰。《數之軌跡》當然也著力了中國數學與希臘數學的比較，中國傳統數學的興衰，以及十七世紀以後的西學東傳。

　　半世紀前萬生與我結識於臺灣師範大學數學系，那時我們不知天高地厚，雖然周圍沒有理想的學術氛圍，還是會作夢追尋各自的數學情懷。我們一起切磋，蹣跚學習了幾年，直到1976暑假我有機會赴耶魯大學博士班。1980年我回到中央研究院數學所做研究，那時萬生的牽手與我的牽手都在外雙溪衛理女中執教，我們有兩年時間在衛理新村對門而居，茶餘飯後沈浸在那兒的青山秀水，啟發了我們更多的數學思緒。1982年我攜家人到巴黎做研究才離開了外雙溪。後來欣然得知萬生走向了數學史，1985年他決定赴美國進修，到紐約市立大學跟道本周(Joseph Dauben)教授專攻數學史。

　　1987（或1988）年，我舉家到普林斯敦高等研究院做研究。一個多小時的車程在美國算是「鄰居」，到紐約時我們就會去萬生家拜訪，談數學，數學史，述及各自的經歷與成長。1988年暑假我回臺灣之前，我們倆家六口一起駕車長途旅遊，萬生與我擔任司機，那時我們都不到四十歲，從紐約經新英格蘭渡海到加拿大新蘇格蘭島，沿魁北克聖羅倫斯河，安大略湖，從上紐約州再回到紐約與普林斯敦。一路上話題還是會到數學與數學史。

　　我的數學研究是在數論，是最有歷史的數學，來龍去脈的關注自然就導引數論學者到數學史。在高等研究院那年，中午餐廳裡年輕數論學者往往聚到韋伊（Andre Weil） 教授的周圍，聽八十歲的他講述一些歷史。韋伊是二十世紀最偉大數學家之一，數學成就之外那時已經寫了兩本數學史專書：數論從Hammurabi到Legendre，橢圓函數從Eisenstein 到Kronecker。

　　1990年代，萬生學成回到臺灣師範大學，繼續研究並開始講授數學史。二十餘年來他培養指導了許多研究生，探索數學史的各個時期及面向，成績斐然。這些年輕一代徒弟妹：英家銘、林倉億、蘇意雯、蘇惠玉等，也都参與了撰述這部《數之軌跡》。特別是在臺灣推動HPM數學史與數學教學，萬生的School做了許多努力。

　　在這本大作導論中，萬生指出他的數學不只包含菁英數學家(elite mathematician)所研究的「學術性」內容，而是涉及了所有數學活動參與者(mathematical practitioner)。因此《數之軌跡》並不把重點放在數學歷史上的英雄人物，而著眼於人類文明的發展過程中，數學的專業化(professionalization)與制度(institutionalization)，乃至於贊助(patronage)在其過程中所發揮的重要功能。

　　在《數之軌跡IV：再度邁向顛峰的數學》第4章裡，《數之軌跡》試圖刻劃二十世紀數學。萬生選擇了四個子題來描述二十世紀前六十年的數學進展：艾咪・涅特、拓撲學的興起、測度論與實變分析、集合論與數學基礎。這當然還不足以窺二十世紀前五十年數學史的全貌：像義大利的代數幾何學派、北歐芬蘭的複分析學派、日本高木貞治的代數數論學派，與抗戰前後的中國幾何學大師陳省身、周緯良，都有其數學史上不可或缺的地位。從二十世紀到二十一世紀，純數學到應用數學，發展更是一日千里。《數之軌跡》選了兩個英雄主義的面向：「希爾伯特 23 個問題」、「費爾茲獎等獎項」，來淺顯說明二十世紀數學知識活動的國際化。這些介紹當然不能取代對希爾伯特問題或費爾茲獎得獎工作的深入討論。最後寫科學的專業與建制，以及民間部門的角色：美國 vs. 蘇聯。這是很有意思的，我希望數學史家可以就這個題目再廣泛的搜集資料，因爲在1960年代之後，不同的重要數學研究中心在歐洲美國出現，像法國IHES、德國的Max Planck、Oberwolfach等。到了1990年世界各地，包括亞洲（含臺灣、中國），數學研究中心更是像雨後春筍般冒出。這是一個很有意義的數學文化現像。另一方面，隨著蘇聯解體，已經不再是美國 vs. 蘇聯，而是在許多國家百花齊放。從古到今，數學都是最Universal！