數之軌跡Ⅱ：數學的交流與轉化

第1章  印度數學史
1.1  正弦表的製作（西元第五世紀）
1.2  阿耶波多
1.3  婆羅摩笈多
1.4  巴赫沙利手稿（約第八世紀中葉）
1.5  摩訶毘羅（第九世紀中葉）：印度算學成為一門獨立文類
1.6  婆什迦羅二世（第十二世紀）：印度算學正典的確立
1.7  喀拉拉學派與冪級數（第十四世紀末—第十七世紀初）
1.8  印度與伊斯蘭的數學交流
1.9  印度與中國的數學交流
1.10  印度數學史學的若干問題

第2章  伊斯蘭數學史
2.1 伊斯蘭數學的歷史脈絡
2.2 阿爾・花拉子密
2.3 伊本・庫拉：伊斯蘭 vs. 希臘數學文化的交流
2.4 阿爾・伯魯尼：伊斯蘭 vs. 印度數學文化的交流
2.5 奧馬・海亞姆
2.6 阿爾・卡西：印度--阿拉伯位值系統的完成
2.7 贊助與宗教信仰
2.8 獨特的「遺產問題」篇章
2.9 數學交流：伊斯蘭與中國
2.10 伊斯蘭數學史學議題

第3章 中世紀數學史
3.1  中世紀歐洲沈寂但不黑暗
3.2  中世紀早期（約500-1000年）歐洲的教育制度
3.3 翻譯運動
3.4 中世紀歐洲大學的興起
3.5 斐波那契 ：除了兔子之外
3.6《翠維索算術》
3.7  帕喬利
3.8  法國、德國、英國及葡萄牙的代數
3.8.1  許凱
3.8.2  魯多夫與史蒂費爾
3.8.3  雷科德
3.8.4  努涅斯

第4章 中國數學：宋、金、元、明時期
4.1 宋、金、元數學及其歷史脈絡
4.2 李冶及其《測圓海鏡》和《益古演段》
4.3 朱世傑及其《四元玉鑑》和《算學啟蒙》
4.4 秦九韶及其《數書九章》
4.5 楊輝及其《楊輝算法》和《詳解九章算法》
4.6 宋金元算學的特色
4.7 從籌算到珠算
4.8 吳敬、顧應祥、王文素、周述學及程大位
4.9 明代數學與社會
4.10 略論中國傳統數學之興衰

第5章 韓國數學史
5.1 韓國數學簡史：從古代到十七世紀
5.2 東算與社會：朝鮮中人算學者
5.3 東算與哲學：朝鮮儒家明算者
5.4 十九世紀的東算：南秉吉學圈
5.5 朝鮮東算總結

第6章  日本數學史：和算的獨特文化
6.1 日本數學簡史
6.2 和算流派及其活動
6.2.1 和算流派與免許制
6.2.2 遺題繼承
6.2.3 算額奉納
6.2.4 流派競技與數學論戰
6.2.5 算學道場
6.3 東亞數學現代化的模範生

推薦序

于靖

　　很高興看到洪萬生教授帶領他的學生們寫出大作《數之軌跡》。這是一本嘆為觀止，完整深入的數學大歷史。萬生耕耘研究數學史近四十年，功力與見識足以傳世。他開宗明義從何謂數學史？為何數學史？如何數學史？講起。巴比倫，埃及，希臘，中國，印度，阿拉伯，韓國，到日本。再從十六世紀到二十世紀講西方數學的發展與邁向巔峰。《數之軌跡》當然也著力了中國數學與希臘數學的比較，中國傳統數學的興衰，以及十七世紀以後的西學東傳。

　　半世紀前萬生與我結識於臺灣師範大學數學系，那時我們不知天高地厚，雖然周圍沒有理想的學術氛圍，還是會作夢追尋各自的數學情懷。我們一起切磋，蹣跚學習了幾年，直到1976暑假我有機會赴耶魯大學博士班。1980年我回到中央研究院數學所做研究，那時萬生的牽手與我的牽手都在外雙溪衛理女中執教，我們有兩年時間在衛理新村對門而居，茶餘飯後沈浸在那兒的青山秀水，啟發了我們更多的數學思緒。1982年我攜家人到巴黎做研究才離開了外雙溪。後來欣然得知萬生走向了數學史，1985年他決定赴美國進修，到紐約市立大學跟道本周(Joseph Dauben)教授專攻數學史。

　　1987（或1988）年，我舉家到普林斯敦高等研究院做研究。一個多小時的車程在美國算是「鄰居」，到紐約時我們就會去萬生家拜訪，談數學，數學史，述及各自的經歷與成長。1988年暑假我回臺灣之前，我們倆家六口一起駕車長途旅遊，萬生與我擔任司機，那時我們都不到四十歲，從紐約經新英格蘭渡海到加拿大新蘇格蘭島，沿魁北克聖羅倫斯河，安大略湖，從上紐約州再回到紐約與普林斯敦。一路上話題還是會到數學與數學史。

　　我的數學研究是在數論，是最有歷史的數學，來龍去脈的關注自然就導引數論學者到數學史。在高等研究院那年，中午餐廳裡年輕數論學者往往聚到韋伊（Andre Weil） 教授的周圍，聽八十歲的他講述一些歷史。韋伊是二十世紀最偉大數學家之一，數學成就之外那時已經寫了兩本數學史專書：數論從Hammurabi到Legendre，橢圓函數從Eisenstein 到Kronecker。

　　1990年代，萬生學成回到臺灣師範大學，繼續研究並開始講授數學史。二十餘年來他培養指導了許多研究生，探索數學史的各個時期及面向，成績斐然。這些年輕一代徒弟妹：英家銘、林倉億、蘇意雯、蘇惠玉等，也都参與了撰述這部《數之軌跡》。特別是在臺灣推動HPM數學史與數學教學，萬生的School做了許多努力。

　　在這本大作導論中，萬生指出他的數學不只包含菁英數學家(elite mathematician)所研究的「學術性」內容，而是涉及了所有數學活動參與者(mathematical practitioner)。因此《數之軌跡》並不把重點放在數學歷史上的英雄人物，而著眼於人類文明的發展過程中，數學的專業化(professionalization)與制度(institutionalization)，乃至於贊助(patronage)在其過程中所發揮的重要功能。

　　在《數之軌跡IV：再度邁向顛峰的數學》第4章裡，《數之軌跡》試圖刻劃二十世紀數學。萬生選擇了四個子題來描述二十世紀前六十年的數學進展：艾咪・涅特、拓撲學的興起、測度論與實變分析、集合論與數學基礎。這當然還不足以窺二十世紀前五十年數學史的全貌：像義大利的代數幾何學派、北歐芬蘭的複分析學派、日本高木貞治的代數數論學派，與抗戰前後的中國幾何學大師陳省身、周緯良，都有其數學史上不可或缺的地位。從二十世紀到二十一世紀，純數學到應用數學，發展更是一日千里。《數之軌跡》選了兩個英雄主義的面向：「希爾伯特 23 個問題」、「費爾茲獎等獎項」，來淺顯說明二十世紀數學知識活動的國際化。這些介紹當然不能取代對希爾伯特問題或費爾茲獎得獎工作的深入討論。最後寫科學的專業與建制，以及民間部門的角色：美國 vs. 蘇聯。這是很有意思的，我希望數學史家可以就這個題目再廣泛的搜集資料，因爲在1960年代之後，不同的重要數學研究中心在歐洲美國出現，像法國IHES、德國的Max Planck、Oberwolfach等。到了1990年世界各地，包括亞洲（含臺灣、中國），數學研究中心更是像雨後春筍般冒出。這是一個很有意義的數學文化現像。另一方面，隨著蘇聯解體，已經不再是美國 vs. 蘇聯，而是在許多國家百花齊放。從古到今，數學都是最Universal！