數學的魔力：探索數學的奇妙世界 (電子書)

前言
第1章 了不起的公式
負數——數學界的轉型
你能想象「1兆」的概念嗎？
爆炸式增長的冪運算
不可思議的整數
質數的未解之謎

第2章 了不起的天才數學家
歐美菁英必讀經典《幾何原本》和歐幾里得的祕密
擁有最強大腦的男人和博弈論
印度魔術師令人驚歎的靈光一現
發現無窮的數學家背後的故事
證明不完全性定理的完美主義者

第3章 了不起的藝術性
數學的美來自內在的快感
畢達哥拉斯與數祕術
數學的前身是音樂、天文學？
歡迎來到曲線博物館
平面密鋪瓷磚中的數學問題

第4章 了不起的方便
石頭計數與豐臣秀吉的繩子
費米估算與「估算」
首位出現最多的數字
尋找有效資訊的方法
統計學改變國家制度

第5章 了不起的影響力
用N進位制解決大數字
科學的依據——納皮爾常數
人類對圓周率的探索
虛數和量子計算機

第6章 了不起的運算
用幻方鍛鍊大腦
你知道萬能天平嗎？
把雙手變成計算機的方法
熟練掌握手指速算法
兩位數相乘的快速心算法
「+、-、×、÷」是何時誕生的呢？

結語

前言

請思考下面這個問題：

在日本橫濱市內，是否存在頭髮數量完全相同的兩個人？

（注：日本橫濱市人口大概有350萬人，一個人的頭髮最多有15萬根。）

乍一看這個問題，肯定有人會說：「頭髮的數量根本就數不清，怎麼可能有答案？」當然，肯定也會有人認為存在這樣的兩個人。

據說一個正常人每天掉落的頭髮有近100根。如果將用放大鏡才能觀察到的頭髮的數量也考慮在內的話，確實很難斷言一個人的髮量。即使遠看是光頭的人，在放大鏡之下也不一定沒有一根頭髮。

同時我們也能理解人們認為「有」的心理，這是一種沒有確鑿證據的直覺，他們可能會認為即使頭髮的數量數不清楚，但是350萬人之中總會有兩個人髮量一樣吧。

但是，如果我們使用數學方法加以解釋，不論是難以數清的頭髮根數問題，還是難以佐證的直覺問題，都會迎刃而解。我們可以得出一個確定的答案：存在頭髮數量完全相同的兩個人。而且，我們可以拍著胸脯說：「日本橫濱市內100%存在頭髮數量完全相同的兩個人。」

為什麼呢？這就是數學中的鴿巢原理在發揮作用。用晦澀的語言解釋「鴿巢原理」，即「正整數n為元素，n+1個元素放到n個集合中，其中必定有一個集合至少有兩個元素。」聽起來晦澀難懂，其實原理非常簡單。

打個比方來說，假設有4隻鴿子、3個鴿巢，鴿子全部進入鴿巢時，一定會有一個鴿巢中存在兩隻（或以上）鴿子。鴿巢原理簡單來說就是這個道理。使用這個原理，我們就可以推斷「5人中一定存在相同血型的人」、「13人以上在一起，一定有相同月份出生的人」。

我們再來看開篇的問題，我們可以想象將350萬人的頭髮數量做上標記，「0根」、「1根」……「15萬根」，然後放入同樣標記「X根」門牌的房間中。

【鴿巢原理很簡單】


一定會有1個鴿巢裡有2隻（或以上）鴿子存在的情況。

這樣一來（房間總數少於人數），一定會有兩人（或以上）進入同一個房間。同一房間內的兩人（或以上）就是擁有相同頭髮數量的人。

寫到這裡，大概會有人跳出來反駁我了：「不對，不確定每個人的頭髮數量，根本就不知道應該讓哪個人進入哪個數字門牌的房間，這個前提不成立。」這麼說也不無道理。但是，即使不能確定每個人的頭髮數量，也一定存在某一頭髮數量在0～15萬根的人，而這個人一定會進入同樣數字門牌的房間（也許，你可以想象命運讓他們每個人都進入正確的房間）。無論如何，都一定會出現待在同一房間內的人。

【無論如何，都會有人待在同一房間。】


鴿巢原理雖然簡單至極，但是應用廣泛。東京大學、京都大學、早稻田大學、慶應大學等日本一流大學的入學考試以及奧數比賽中經常會出現使用這個原理解答的試題。

除此之外，數學原理在國家戰略規劃、企業決策等過程中也發揮著重要作用。

隨著計算機技術和機器學習（與人類的學習活動相同，機器也會進行「學習」活動）技術的發展，包含人類喜好、感情等所有可掌握的資訊都變成了數值，形成了可以進行數學統計分析的「大資料」。人們可以根據大資料進行前景預測和判斷，這種資料已經成為國家、企業做重大決策時的重要參考。

數學的力量是多元的，它給予我們解決問題的能力，賦予我們邏輯思維能力和判斷能力，它的應用範圍小到普通的「頭髮問題」，大到國家戰略決策問題。它的普遍適用性，是其他學科所無法匹敵的。

數學還可以作為表達宇宙定律的一種「語言」。再複雜的科學定律，都可以用一行公式簡明扼要地表達。近代實驗科學奠基人之一，義大利人伽利略·伽利雷（1564—1642）開創了利用數學工具對實驗結果進行推演分析的科學方法，提出「自然界偉大的書是用數學語言寫成的」。

日本昭和時代的著名數學家岡潔（1901—1978）曾說：「數字是可以照亮黑暗的光明，在白天我們不需要它，然而在現在，我們需要它。」的確，越是追求改革的時代，越是追求數學的力量。當先人之見、舊時之習不在時，數學總是擁有絕對「正確」的力量。

實際上，從古埃及、古希臘時期開始，數字一直給人類社會帶來變革。它推動歷史更迭、知識更新，促進了一個又一個新時代的產生。

追溯數學的歷史，可以看到沉浮於時代，被世人視為怪人的數學家們的身影。他們天賦異稟、才能過人，能夠挖掘普通人無法看透的深刻問題。他們努力拼搏、不斷創新，承受著世人的不理解甚至側目，不斷交出「真理」的答卷。瞭解他們，可以瞭解數學作為「人類智慧結晶」的歷史演變過程，也可以從看似冰冷的公式中體味其背後令人熱血沸騰的故事。

數學不單純是理性思維的產物，它也是感性思維的結晶。

不論是大自然，還是藝術作品，我們人類感受到美的背後，總是存在著數學的原理，數學是我們感動的根源。黃金比例、音樂音階、雕刻、建築等的基礎原理，都來自數學。

歸根結底，數學自身是最美的。

為世人所知的《天鵝湖》、《胡桃夾子》等作品的作曲者彼得·柴可夫斯基曾經這樣說過：

「如果數學不美，恐怕數學本身就不會產生了。它將人類的絕世天才們吸引得神魂顛倒，除了美之外還有什麼能擁有這麼強大的能量呢？」

我完全同意他的說法。

本書分為6個章節，將從不同角度盡力為讀者呈現數學作為一門學科所具有的了不起的價值和魅力。

第1章　了不起的公式——用數字記錄世界。

第2章　了不起的天才數學家——奇人的極限抽象思維。

第3章　了不起的藝術性——充滿感性的數學之美。

第4章　了不起的方便——現代社會的技術支撐。

第5章　了不起的影響力——世界史中的數學。

第6章　了不起的運算——印度式數學、方便的心算、數學謎題。

下面，我簡單介紹一下我自己。

鄙人畢業於東京大學理學部地球行星物理專業，後進入日本宇宙科學研究所（現JAXA）攻讀研究生學位。中途離校，在探索未來之時，也嘗試過經營餐廳，最終選擇心儀的人生目標——成為一名古典樂指揮。曾赴維也納求學，歸國後以樂隊指揮為生。婚後有子，機緣之下成立了永野數學私塾，開始了小班制數學輔導工作，學生年齡分佈廣泛。

雖然人生起伏，經歷數業，但始終未曾遠離數學之本。

物理學中數學公式是比語言更有力的雄辯之詞，宇宙真理永遠不會違背數學的合理性；經營管理中，基於資料的數學判斷是家常便飯；音樂之美的合理性可以從數學中發現；而現在，一對一輔導、執筆寫書更是在傳播數學的意義。

本書中每一個故事都是獨立章節，讀者朋友可以根據目錄，選擇自己喜歡的內容閱讀。這本書其實讀起來很輕鬆，所以開卷前請不要有畏難情緒。

就像人們對音樂、美味的喜好不同一樣，享受數學的方式也不是唯一的。無論在哪個領域、哪個層面，數學都能散發出了不起的魅力。這便是內含深意的數學。

永野裕之