實變函數與泛函分析

第1章 Lebesgue測度
1.1 集合與實數集
1.1.1 集合及其運算
1.1.2 映射
1.1.3 可數集與不可數集
1.1.4 Rn中的拓撲
習題1.1
1.2 Lebesgue測度與可測集
1.2.1 Lebesgue外測度
1.2.2 Lebesgue測度的定義及性質
1.2.3 Lebesgue可測集
習題1.2
1.3 Lebesgue不可測集
1.3.1 Lebesgue測度的平移不變性
l.3.2 Lebesgue不可測集的例
習題1.3

第2章 Lebesgue可測函數與Lebesgue積分
2.1 可測函數
2.1.1 可測函數的定義及其性質
2.1.2 可測函數列的收斂
2.1.3 可測函數與連續函數的關系
習題2.1
2.2 Lebesgue積分
2.2.1 Lebesgue積分的定義
2.2.2 Lebesgue積分的性質
2.2.3 函數序列積分的收斂定理
2.2.4 重積分與累次積分的關系
習題2.2
2.3 微分與不定積分
2.3.1 單調函數與有界變差函數
2.3.2 不定積分
2.3.3 絕對連續函數
2.3.4 積分的變量代換
習題2.3

第3章 度量空間
3.1 度量空間的定義與拓撲性質
3.1.1 度量空間的定義
3.1.2 開集、閉集與鄰域
3.1.3 度量空間中點列的收斂性
3.1.4 映射的連續與一致連續性
習題3.1
3.2 完備性
3.2.1 完備性概念
3.2.2 常見的完備空間
3.2.3 完備性等價命題度量空間的完備化
習題3.2
3.3 緊性與列緊性
3.3.1 緊性
3.3.2 列緊性與全有界性
3.3.3 緊集上連續泛函的性質
習題3.3
3.4 可分性
3.4.1 可分性概念
3.4.2 常見的可分空間
習題3.4

第4章 賦范線性空間及其線性算子
4.1 賦范線性空間與Banach空間
4.1.1 線性空間、線性算子與線性泛函
4.1.2 賦范線性空間與Banach空間的定義
4.1.3 賦范線性空間的基本性質
4.1.4 有限維賦范線性空間的性質與特征
習題4.1
4.2 有界線性算子
4.2.1 有界線性算子及其范數
4.2.2 有界線性算子的空間
4.2.3 緊算子
習題4.2
4.3 有界線性泛函
4.3.1 有界線性泛函與共軛空間
4.3.2 某些具體空間上有界線性泛函的表示
習題4.3
4.4 泛函分析的幾個基本定理簡介
4.4.1 Itahn-Banach保范延拓定理及其重要推論
4.4.2 共鳴定理
4.4.3 Banach逆算子定理
4.4.4 閉圖像定理
習題4.4
4.5 共軛空間與Banach伴隨算子
4.5.1 二次共軛空間與自反空間
4.5.2 Banach伴隨算子及其性質
習題4.5
4.6 弱收斂與弱收斂
4.6.1 點列的強收斂與弱收斂
4.6.2 泛函序列的強收斂與弱』收斂
習題4.6
4.7 有界線性算子譜理論初步
4.7.1 譜的概念及基本性質
4.7.2 Riesz-Schauder理論簡介
習題4.7

第5章 Hilbert空間及其線性算子
5.1 Hilbert空間的幾何學
5.1.1 定義與基本性質
5.1.2 正交分解與投影定理
5.1.3 內積空間中的正交系
5.1.4 可分Hilbert空間的模型
習題5.1
5.2 Hilbert空間上的有界線性泛函
習題5.2
5.3 Hilbert伴隨算子和自伴算子
5.3.1 Hilbert伴隨算子
5.3.2 自伴算子
習題5.3
5.4 Hilben空間上的幾種算子
5.4.1 投影算子
5.4.2 酉算子
5.4.3 正常算子
習題5.4
5.5 Hilbert空間上自伴算子的譜性質
習題5.5

第6章 泛函分析的一些應用
6.1 Banach壓縮映射原理及其應用
6.1.1 Banach壓縮映射原理
6.1.2 應用舉例
習題6.1
6.2 不動點定理及其應用
6.2.1 Brouwer與Schauder不動點定理
6.2.2 應用舉例
習題6.2
6.3 最佳逼近與投影定理的應用
6.3.1 最佳逼近的存在性與唯一性
6.3.2 C[a，b]中最佳逼近的唯一性與Chebyshev多項式
6.3.3 最佳多項式平方逼近
6.3.4 最小二乘解
習題6.3
6.4 泛函最優化問題與最優控制
6.4.1 Frechet微分與Gateaux微分
6.4.2 泛函的極值
6.4.3 有約束泛函優化的Lagrange乘數法
6.4.4 連續時間系統最優控制的極小值原理
習題6.4

參考文獻
習題答案與提示