從「數數有幾種」談到熵（entropy）──解讀社會貧富差距

數數有幾種的技巧

「數數有幾種」的問題從國中入學考到大學入學考都有，是出題壽命很長的領域。有趣的是，不管是小學生還是高中生，用以解決這種問題的概念和計算技巧都一樣。換句話說，數數有幾種的技巧，和年齡、發展階段、知識多寡無關，是一個很原始的想法。先來看一些例題。

問題
(1)有4個人坐在公園的長椅。如果要調整座位順序，總共有幾種不同的坐法？（05年 加藤學園曉秀）

(2)把5個學生分成3人和2人的小組，總共有幾種分法？（05年 香蘭女校）

(3)10角形有幾道對角線？（05年 沖繩尚學附屬高中）

(4)從6個學生A、B、C、D、E、F中挑選3個選手參賽，總共有幾種選法？（05年 履正社學園豐中）

這些問題看起來比代數和幾何問題簡單，只要列舉實際情況，數一數有幾種，就能得到答案了。每個人小時候都該嚐試這種先列舉實際情況、再數一數有幾種的經驗，除了能體會「不重複，不遺漏」的難處，有時候還能發現「怎麼數最不費力」的技巧。有些人上了高中後還是搞不懂這種「數數有幾種」的問題，這些人多半在小學和國中時不肯花時間列舉實際情況，光靠「背公式」撐過考試。假如有讀者覺得自己不擅長「數數有幾種」的問題，建議大家重回起點，練習列舉實際情況，應該還來得及挽救。

關鍵是「不遺漏，不重複」

解「數數有幾種」的問題，有兩項關鍵。首先，不能有遺漏；第二，不能重複。說來簡單，做來難。要確實做到這兩點，「必須巧妙的利用記號標示想要數的東西」。說得艱深一點，就是「適度把清點對象化為暗號」。

以剛才的問題(3)為例。

該如何把十角形的對角線化為暗號？最自然的方法是在頂點標示號碼0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，把對角線兩邊的號碼並排，當成對角線（圖5－1）。例如連接頂點1和頂點5的對角線寫成15，37和84的意思也一樣。不過，像44這種連接同樣頂點的情況不算對角線，23和56和90這種連接相鄰頂點的情況只是十角形的「邊」，不是對角線。按照這種方法，所有對角線都可以化為暗號。

化為暗號之後，下一步是消除重複的情況。換句話說，必須掌握「哪些暗號看起來不同其實一樣」。以十角形的對角線為例，15和51看來不同，實際上代表同一條對角線（圖5－1）。從頂點1朝頂點5畫線，或者從頂點5朝頂點1畫線，結果都是同樣的對角線。數有多少種情況的時候，必須扣除這種重複的情況。

解「數數有幾種」的問題時，重點在於「如何把想數的東西化為暗號」以及「扣除看來不同其實一樣的暗號」。