解析幾何

解析幾何，又稱坐標幾何，其主要特征是通過建立坐標系，利用代數或分析的手段來研究幾何。它是許多現代數學分支如代數幾何、微分幾何等的基礎。在高中數學中，它也是不可或缺的重要部分。

有人認為，高中數學所觸及的解析幾何內容雖不少，仍比較淺顯；即使在奧林匹克數學中，解析幾何似乎也僅僅是一試的內容。如此認識解析幾何是完全錯誤的。解析幾何並非一味地死算，而是含有豐富的技巧和思想。理解這些技巧和思想，對于進入CMO以及今後進一步的學習都大有裨益。

解析幾何的歷史可追溯至兩千多年前的阿波羅尼烏斯（Apollo－nlus），但將它的建立歸功于笛卡兒（R.Descartes），已是目前的定論。事實上，與笛卡兒同時代的棣莫弗（A.de Moivre）對此也有重大貢獻（注︰我們在中學教科書中看到的棣莫弗公式就出自此人之手）。

中學階段解析幾何的一個重要篇章是圓錐曲線。這個主題，無論是古希臘時代還是在射影幾何興旺發達的19世紀，都是異常豐富多彩的一頁。在19世紀早期活躍的幾何學家沙勒（M．Chasles）、彭賽列（J－V.Poncelet）和施泰納（J.Steiner）等，對于圓錐曲線都有獨到的研究，各自留下了以他們的名字命名的許多定理。本書將為讀者展現這些定理中的滄海一粟。

本書第一、二講介紹了解析幾何的基本內容，在高中知識（直線和二次曲線等）的基礎上，列舉了一些例題和習題，讓我們充分體會到幾何問題代數化的力量。特別是，當距離的平方出現在問題之中時，解析幾何常常表現出更多的方便（比如證明到三角形三頂點距離的平方和最小的點是該三角形的重心）。而對于橢圓、雙曲線和拋物線，目前也只能利用解析幾何，如用純粹的平面幾何則大困難了。這說明，代數並非僅僅是幾何問題的簡單化、機械化，有時也是一種必不可少的延伸方法。這部分內容由同濟大學數學系陸洪文撰寫。

第三講介紹了一些簡單的射影幾何知識。我們並不打算介紹整個射影幾何的宏大理論，而只把目光集中于那些看起來較為簡單的定理。為此，我們選擇了這樣一條路線，從直線間的射影對應入手，過渡到圓錐曲線上的射影對應，並進而介紹極點和極線的理論。這與通常公理化的處理方式頗有不同之處。

第四講將站在射影幾何的角度考察圓錐曲線的仿射性質和度量性質。讀者將了解到，仿射幾何與射影幾何的區別，只不過是把無窮遠直線從所有直線中獨立出來而已。而相似幾何只是進一步選定兩個特殊點，即“圓點”。有了這些認識，圓錐曲線的直徑、共軛方向、漸近方向、焦點和準線等都可通過射影概念加以定義。這也就為解題提供了一些新的思路。

第五講是前兩講的綜合，它引進了新的工具，即三線坐標系。雖然三線坐標與重心坐標是完全平行的體系，但近年來重心坐標似乎更流行一些。在作者看來，三線坐標在表達某些幾何條件時有明顯的優勢，但其短處在于經常需要進行三角函數的化簡。在這里，我們提出了一些技術來解決這個問題，只是未構成系統的算法。

最後一講介紹的是復數方法，這是高中知識的加深。特別是關于垂極點和西姆森線等方面的內容，給我們耳目一新的感覺。

後四講可看做提高部分，由南開大學數學系黃利兵撰寫。