數學，為什麼是現在這樣子？：一門不教公式，只講故事的數學課

上完這門課，從此數學在你眼中不一樣！

專業審訂
洪萬生 臺灣師範大學數學系退休教授

口碑推薦
任維勇 北一女中數學科教師
陳記住 資深雲端數理課程教師

為什麼9再加1就要進位？
全世界通用的阿拉伯數字怎麼來？
誰規定+ - × ÷這樣寫？
你也許出了校門就忘記公式怎麼用，
但幫你把各種數學知識串連起來的許多故事，精采又奇妙，讓你聽過就想分享！

雲不是球形，山不是錐形，海岸線不是圓形，樹皮並不平滑，閃電的行進也不是一直線。
──曼德博

我們都學過數學，但卻很少有機會從故事的角度來重新認識它。

打從人類開始群居、慢慢發展出穩定的生活型態以來，許多有趣、酷炫的數學故事也開始在不同時空裡發生，互相交錯。今日的數學樣貌是千萬年來的人類智慧積累而成的，我們學習了很多「當代的數學」，卻往往忽略了時間軸上那些有趣的故事。

也許你不一定想知道複雜形狀的面積該怎麼計算，但是無數問題和解答如何不斷碰撞、演繹而來的故事要是錯過就太可惜了；也許你聽過「牛頓發明微積分」的說法，然而所謂「發明」並非憑空生出、靈光乍現的傑作，從「無」到「被發明」中間的知識缺口，比微積分的公式更迷人；也許你知道阿基米德提出了「無窮大」的概念，把人類的數字概念往前推進了一大步，但向上追溯數字的源頭，這還得從獵人與長毛象的故事說起……

數學的發展是連續而且美麗的，補足了這一塊迷人的故事拼圖，才更能了解數學的全貌。

作者簡介

安‧魯尼Anne Rooney
安‧魯尼在劍橋大學的三一學院拿到博士學位，專研中世紀文學。她曾經研究並教授中世紀的英國和法國文學，而現在是專職寫作者，和一群動物以及女兒們定居劍橋。她為幼小的孩童寫輕鬆易懂的書、為年長一點的孩子寫篇幅稍長的書，也為大人們寫任何形式和篇幅長短不拘的書籍。

譯者簡介

陳敏晧
畢業於宜蘭高中、國立高雄師範大學數學系、國立臺灣師範大學數學研究所教學碩士、國立清華大學歷史所博士(主修數學史與科學史)。曾任教於宜蘭縣羅東國中、蘭陽女中、佛光大學、宜蘭大學。對數學專題、數學史、科學史研究有濃厚興趣。

第一章 數字的起源

四隻長毛象或更多長毛象？
想像一個原始人正看著一群可能的午餐──水牛，或是毛茸茸的長毛象。這群獵物數量龐大，而獵人既沒數字系統的概念也不會數數，他只知道，不管數量為何，落單的長毛象比較容易下手，而且如果有更多的夥伴，這項狩獵任務會變得更簡單、更安全。在「1」與「多於1」之間、「很多」和「很少」之間有明顯的差別，而這並非數數得來的。

在某些情況下，量化額外的長毛象或額外所需的狩獵人力是會有幫助的，但精確的數目仍非絕對必要，除非獵人想較量彼此的狩獵能力。

嘿！計算
接著，長毛象獵人把他們的牲畜安置妥當。當人們開始圈養動物時，就需要一種記錄方式，以檢視是否所有的綿羊、山羊、犛牛、豬都安全待在圍欄內，最簡單的方法是使用符木（tally）作為記錄，將每一隻動物對應為一個記號或一顆石頭。

這套方法不需要計數便能確認是否少了任何一隻動物，就如同我們可以一眼看出餐桌上一百個用餐位置是否都有用餐的人。此種一對一的對應方式人類在幼年便已習得，小孩子會將幾何形狀的積木放進形狀相應的洞口，或將玩具熊跟床配對等等，這是人類很早就領悟到的集合論基礎：一組物件能夠和另外一組物件做比較。如此一來，我們不需要數目的概念就能簡單處理集合問題，所以早期的農夫不需要計算，就能把卵石從這一堆搬移到另一堆。

對於記錄物件數目的需要促使最早的符號―即文字書寫的前身―出現。考古學家在捷克發現一根有三萬年歷史的狼骨，上面有刻痕，而且刻痕顯然為計數符號，這也是目前所知最早的數學物件。

從二到二的性質
能用來計算羊群數目的符木條（或卵石堆）亦能用做其他用途。如果手上有30 個代表綿羊的籌碼， 他們也能用以表示30 隻山羊、30 條魚或30 天，這些籌碼可能很早就被用來計算時間，例如小孩出生前的月數或天數，或從播種到收成的時間。當人們領悟到「30」的概念可以在物體間轉移並可獨立存在，這便預示了數目概念的來臨。人們不僅知道4 顆蘋果可以以1 人2 顆的方式分給2個人，更發現任何數量為4 個的物件都可以平分成2 組，每組2 個―確切而言，4「就是」2 個2。

在此階段，計數已不只是為了清點數量，而且每個數目都需要一個名稱。

第二章 數字的實際運用

不能說的數字
對數字下達禁令這件事聽起來也許很怪，但是已經發生了幾千年，且至今仍有此事。有些數被認為太難或太危險以致無法得到贊同，而被統治者或數學家放逐，但是，一個被禁的數不可能真正離開，它只是暫時潛入地下而已。

畢達哥拉斯數的淨化
古代希臘數學家畢達哥拉斯不認同無理數，而且在他的學校對負數下禁令。（無理數指的是無法以分數表示的數，所以0.75是有理數，因為它等於3∕4，但是圓周率π就是無理數。）畢達哥拉斯應該要知道這項禁令會引起許多問題，他的定理讓我們能從直角三角形的兩邊長算出第三邊長，但假設只承認有理數，就會立刻出問題，因為當直角三角形的兩邊長為1，其斜邊長便會是無理數 √2 ≒ 1.414。

畢達哥拉斯無法以邏輯方法證明無理數不存在，但是，當希帕索斯（Hippasus ofMetapontum, 約生於西元前五世紀）證明出√2 是無理數，並且與畢達哥拉斯辯駁無理數的存在時，據說他因此被淹死，為畢達哥拉斯所害。根據傳說，希帕索斯在船上展示他的發現，這個不明智之舉讓畢達哥拉斯將他拋出船外。

畢達哥拉斯對無理數的禁令是基於他的美學與哲學觀點。後來，基於政治、經濟和社會等等各種理由，後人也設法將某些數字或某些類型的數字宣布為不合法。

阿拉伯人v.s. 羅馬人
中世紀時期，歐洲對印度－阿拉伯數碼的傳入相當抗拒，但是此一新的數字系統能讓算術變得更容易，這使印度－阿拉伯數碼具有吸引力。印度－阿拉伯數碼使計算變得大眾化，但因為有一部分人希望繼續把持數字計算的使用，以作為精英份子的特別工具，因此使得這套數字系統被妖魔化。如果數學知識變得普及，權力的來源就會喪失，天主教會想藉由對數字的掌控來左右教育，並基於宗教立場反對從伊斯蘭世界來的數字系統，在當時，以算盤來研究數學的數學家是受到教會保護的。反對印度－阿拉伯數碼普及化的聲浪是如此強烈，謠傳當時使用它們的人甚至被當成異教徒燒死在火刑柱上，然而，商人與會計師都想要使用這個新的數字系統，因為那會使他們工作起來更方便，那些以印度－阿拉伯數碼來作運算的演算家（algorist）與那些使用算盤和羅馬數字的算盤家（abacist）交戰了好幾世紀，直到歐洲印刷術的出現，使宗教的管控力量再也無法阻攔算術方法的傳播。