前言
化繁為簡的數學腦
幾年前,我在一個學校活動中,向青少年觀眾徵詢了一些估算問題,並試著當場回答。其中有個學生提出了一個直白的問題:「全世界有多少隻貓?」
貓這個主題總是很受歡迎,於是我接受了挑戰。
我的思路是這樣的:
我們先假設大多數貓都是家貓。
有些人不只養了一隻貓,但通常如果有貓的話,每戶家庭只會養一隻。
在英國,並以我自己住的街區為例,似乎可以合理假設,每五戶家庭就會養一隻貓。
此外,如果一個家庭平均有兩個人,那就表示每十個人就會有一隻貓。
這樣一來,英國有七千萬人口,我們可以假設英國可能有大約七百萬隻貓。
目前為止都很順利。但全世界的貓有多少隻呢?在印度或中國等國家,貓大概不太可能像在英國那樣受歡迎(我無從得知,這純粹是我個人推測),所以,我猜全世界的貓和人口的比例會比英國更低──可能是每二十人會有一隻貓?
因此,以全球80億人口為基礎,表示可能有:
80億÷20 = 4億隻貓
這個數字看起來不會太離譜。
總之,我提出了這個估算。有一名觀眾舉起了手。
他說:「實際上是6億隻貓。」
「真的嗎?你怎麼知道?」
「我在網路上查到的。」
解決了,我們不用再思考其他答案。
但如果真的如此簡單,那我們就可以完全摒棄估算這回事了。只需要在Google上點擊幾下,不管是什麼問題,你應該都可以馬上找到答案。
除了一個關鍵的問題。
那就是:那個在網路上公布6億隻貓這個數據的人,他是如何算出來的?我很確定沒人去環遊世界做過貓的普查。6億這個數字只是一個估計值。這個估算所使用的概念可能比我的稍微科學,經過嚴格的調查和交叉檢查。但網路上的數字,似乎多半更類似於我前文描述的那種「信封背後的快速估算」。或者,他們可能只是捏造了一個符合目的的數字。沒理由相信他們的數字會比我的更可信,事實上,它可能更不可信。
一旦像這樣的統計數據出現在報紙上,被引用在網站上,它就變成了「事實」,因為不斷地被反覆引用,它的原始來源不僅不會受到質疑,甚至可能從此被遺忘。
這給了我們一個重要的提醒。無論在哪裡,大多數的統計數據都是估計值,並且使用快速估算。即使快速估算結果與實際結果天差地遠,那也不表示我們不該估算。相反地,這意味著那些公布的數字應該受到更多審視。
我們傾向於將數學視為一門「精確」的學科,只有對或錯的答案。確實,數學有很大一部分關乎精確性。
但在日常生活中,數字有時候不過是辯證的開端。如果我們習慣去相信每個數字問題背後都有一個標準的「正確」答案,那麼我們會忽略一項事實—現實世界中的數字,比在純數學中的數字模糊得多。
在本書的撰寫過程中,我意識到一種矛盾。一方面,我主張估計的數字通常比精確的數字更能提供資訊,也更可信;但與此同時,為了估計出這些答案,我們也必須知道如何進行精確的計算,例如使用基本乘法表。具體而精確的數學,是我們日常生活中所必須處理的模糊數字的基礎。
我將本書分成四個部分。
在第一部分,我會探討精確數字產生的誤導,以及為何我們不該完全依賴計算機。
第二部分包括必備的算術技巧和其他知識,如果你想進行快速估算,這些知識是必不可少的基礎。這部分也包含算術的複習,某些你可能自小學以來就不再練習的技巧,以及一些你可能從來沒有想過的捷徑。
本書的第三部分將示範如何用上述這些技巧來解決問題──從日常問題到影響力更大的問題,例如環境保護議題。最後,還有一些所謂的費米問題:這種奇特且深奧的挑戰,是依靠極少量的事實數據算出合理的答案。
快速估算是一項重要而有價值的生活技能。但這並不是唯一的好處。有很多人沉迷於研究快速估算,是因為這種活動有趣又刺激,可以讓大腦保持靈活。