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AI時代Math元年 : 用Python全精通矩陣及線性代數

AI時代Math元年 : 用Python全精通矩陣及線性代數

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內容簡介

  有資料就有矩陣,有矩陣就有向量,有向量就有幾何,有幾何就有空間
  從資料一路提升到張量的所有數學基礎
  將數學視為思想、工具、語言、體系、基石、藝術的角度進行學習
  分為向量、矩陣、向量空間、矩陣分解、微積分、空間幾何、資料
  所有機器學習、深度學習最重要的基礎數學概念
  不再亂猜,寫機器學習程式碼時,每行指令背後代表的數學基礎
  學矩陣就是學AI,從此看到AI程式碼完全無負擔

  AI熱潮來臨,每個人都很怕直接被機器取代,不管文科理科背景的人,每個人都想搭上AI快車飛速到達未來。然而你的第一關就是數學。數學是宇宙的共同語言,也是人類意志極緻的展現。數學從數字開始進入高維之後,向量、矩陣、張量將整個人類文明帶入新的境界,也將我們的世界從點線面體推向無法視覺化的高維空間,而針對空間的運算,更是所有科學的重要基礎。空間幾何這門完全和生活知識抽離的學科,看似是和向量打交道而已,但卻是整個世界運行的基礎,近年AI興起,機器學習及深度學習成為熱門行業,當你想要學習TensorFlow時,面對的第一個觀念就是張量(Tensor)。這些名詞讓你感到陌生又不是完全不認識時,就是重拾矩陣的時候了。本書利用最小的成本,幫你把這個又陌生又熟悉的老朋友重新交往。作者從最簡單的加法開始說明,一直到機器學習中的梯度、偏導數、積分、矩陣、線性代數,從小學到研究所所學的數學,一一在適當的章節出現,當你讀到某個章節時,會發現「啊!原來如此,這就是奇異值分解在機器學習的原理啊!」,有一種豁然開朗的感覺,相信這種驚喜在全書中會不斷出現。ChatGPT出來之後,AI已經光速啟動,有志加入這個行業,也只能快速跟上,而這本書,正是你進入的最佳助手,與其繼續逃避直到被淘汰,不如就花一點時間,把這本本來就不難的書看完,補上你個人AI志業的最重要一塊拼圖。

  全書分為以下幾個部分:向量:從資料、矩陣、向量、幾何、空間開始談起,包括向量運算,範數等基本定理。接下來談到矩陣,把矩陣所有的性質(四則運算、表格、秩等)說明清楚,更有重要的內外積等。第三部分談的是向量,包括座標系、各種變換、維度、行列視,投影、正交、基等性質。第四部分談的是矩陣分解,實作了包括LU、Cholesky、QR,特徵/奇異值分解。第五部分就是談到空間的微積分,如多元函式、偏導、梯度、方向微分、泰勒展開等。也說明了拉格朗日乘子等。第六部分說明了空間幾何,包括直線、超平面、圓錐曲線等。也說明了曲面和正定性等問題。最後一部分則整理了前面所有觀念,發展至資料統計、SVD分解、機器學習、線性迴歸及PCA原理。搭配本書系其它書籍,相信AI的數學,對你來說只會是開心而不是阻礙。
 
 

作者介紹

作者簡介

姜偉生


  博士FRM。勤奮的小鎮做題家,熱愛知識可視化和開源分享。自2022年8月開始,在GitHub上開源「鳶尾花書」學習資源,截至2023年9月,已經分享4000多頁PDF、4000多幅矢量圖、約2000個代碼文件,全球讀者數以萬計。
 

目錄

第 1章    不止向量
1.1    有資料的地方,必有矩陣     
1.2    有矩陣的地方,更有向量     
1.3    有向量的地方,就有幾何     
1.4    有幾何的地方,皆有空間     
1.5    有資料的地方,定有統計     

第 2章    向量運算
2.1    向量:多面手     
2.2    行向量、列向量     
2.3    向量長度:模,歐氏距離,L2範數     
2.4    加減法:對應位置元素分別相加減     
2.5    純量乘法:向量縮放     
2.6    向量內積:結果為純量     
2.7    向量夾角:反餘弦     
2.8    餘弦相似度和餘弦距離     
2.9    向量積:結果為向量     
2.10    逐項積:對應元素分別相乘     
2.11    張量積:張起網格面     

第 3章    向量範數
3.1   Lp範數:L2範數的推廣     
3.2   Lp範數和超橢圓的聯繫     
3.3   L1範數:旋轉正方形     
3.4   L2範數:正圓     
3.5   L∞範數:正方形     
3.6   再談距離度量     

第4章    矩陣
4.1    矩陣:一個不平凡的表格     
4.2    矩陣形狀:每種形狀都有特殊用途     
4.3    基本運算:加減和純量乘法     
4.4    廣播原則     
4.5    矩陣乘法:線性代數的運算核心     
4.6    兩個角度解剖矩陣乘法     
4.7    轉置:繞主對角線鏡像     
4.8    矩陣逆:「相當於 」除法運算     
4.9    跡:主對角元素之和     
4.10    逐項積:對應元素相乘     
4.11    行列式:將矩陣映射到純量值     

第5章    矩陣乘法
5.1    矩陣乘法:形態豐富多樣     
5.2    向量和向量     
5.3    再聊全1列向量     
5.4    矩陣乘向量:線性方程式組     
5.5    向量乘矩陣乘向量:二次型     
5.6    方陣次方陣:矩陣分解     
5.7    對角陣:批次縮放     
5.8    置換矩陣:調換元素順序     
5.9    矩陣乘向量:映射到一維     
5.10    矩陣乘矩陣:映射到多維     
5.11    長方陣:奇異值分解、格拉姆矩陣、張量積     
5.12    愛因斯坦求和約定     
5.13    矩陣乘法的幾個雷區

第6章    分塊矩陣
6.1    分塊矩陣:橫平垂直切豆腐
6.2    矩陣乘法第一角度:純量積展開     
6.3    矩陣乘法第二角度:外積展開     
6.4    矩陣乘法更多角度:分塊多樣化     
6.5    分塊矩陣的逆     
6.6    克羅內克積:矩陣張量積     

第 7章    向量空間
7.1    向量空間:從直角座標系說起
7.2    給向量空間塗顏色:RGB色卡     
7.3    張成空間:線性組合紅、綠、藍三原色     
7.4    線性無關:紅色和綠色,調不出青色     
7.5    非正交基底:青色、品紅、黃色     
7.6    基底轉換:從紅、綠、藍,到青色、品紅、黃色     

第8章    幾何變換
8.1    線性變換:線性空間到自身的線性映射     
8.2    平移:仿射變換,原點變動     
8.3    縮放:對角陣     
8.4    旋轉:行列式值為1     
8.5    鏡像:行列式值為負     
8.6    投影:降維操作     
8.7    再談行列式值:幾何角度
    
第 9章    正交投影
9.1    純量投影:結果為純量     
9.2    向量投影:結果為向量     
9.3    正交矩陣:一個規範正交基底     
9.4    規範正交基底性質     
9.5    再談鏡像:從投影角度     
9.6    格拉姆-施密特正交化     
9.7    投影角度看回歸     
 
第 10 章    資料投影
10.1    從一個矩陣乘法運算說起     
10.2    二次投影 + 層層疊加     
10.3    二特徵資料投影:標準正交基底     
10.4    二特徵資料投影:規範正交基底     
10.5    四特徵資料投影:標準正交基底     
10.6    四特徵資料投影:規範正交基底     
10.7    資料正交化     

第 11章    矩陣分解
11.1    矩陣分解:類似因式分解     
11.2    LU分解:上下三角     
11.3    Cholesky分解:適用於正定矩陣     
11.4    QR分解:正交化     
11.5    特徵值分解:刻畫矩陣映射的特徵     
11.6    奇異值分解:適用於任何實數矩陣     

第 12章    Cholesky分解
12.1    Cholesky分解     
12.2    正定矩陣才可以進行Cholesky分解     
12.3    幾何角度:開合     
12.4    幾何變換:縮放 → 開合     
12.5    推廣到三維空間     
12.6    從格拉姆矩陣到相似度矩陣     

第 13章    特徵值分解
13.1    幾何角度看特徵值分解     
13.2    旋轉 → 縮放 → 旋轉     
13.3    再談行列式值和線性變換     
13.4    對角化、譜分解     
13.5    聊聊特徵值     
13.6    特徵值分解中的複數現象     

第 14章    深入特徵值分解
14.1    方陣開方     
14.2    矩陣指數:冪級數的推廣     
14.3    費氏數列:求通項式     
14.4    馬可夫過程的平穩狀態     
14.5    瑞利商     
14.6    再談橢圓:特徵值分解     

第 15章    奇異值分解
15.1    幾何角度:旋轉 → 縮放 → 旋轉     
15.2    不同類型SVD分解     
15.3    左奇異向量矩陣U     
15.4    右奇異向量矩陣V    
15.5    兩個角度:投影和資料疊加     

第 16章    深入奇異值分解
16.1    完全型:U為方陣     
16.2    經濟型:S去掉零矩陣,變方陣     
16.3    緊湊型:非滿秩     
16.4    截斷型:近似     
16.5    資料還原:層層疊加     
16.6    估計與誤差:截斷型SVD     
16.7    正交投影:資料正交化

第 17章    多元函式微分
17.1    偏導:特定方向的變化率     
17.2    梯度向量:上山方向     
17.3    法向量:垂直於切平面     
17.4    方向性微分:函式任意方向的變化率     
17.5    泰勒展開:一元到多元     

第 18章    拉格朗日乘子法
18.1    回顧最佳化問題     
18.2    等式約束條件     
18.3    線性等式約束     
18.4    非線性等式約束     
18.5    不等式約束     
18.6    再談特徵值分解:最佳化角度     
18.7    再談SVD:最佳化角度     
18.8    矩陣範數:矩陣 → 純量,矩陣「大小 」    
18.9    再談資料正交投影:最佳化角度     
 
第 19章    直線到超平面

19.1    切向量:可以用來定義直線     
19.2    法向量:定義直線、平面、超平面     
19.3    超平面:一維直線和二維平面的推廣     
19.4    平面與梯度向量     
19.5    中垂線:用向量求解析式     
19.6    用向量計算距離     

第 20 章   再談圓錐曲線     
20.1    無處不在的圓錐曲線     
20.2    正圓:從單位圓到任意正圓     
20.3    單位圓到旋轉橢圓:縮放 → 旋轉 → 平移     
20.4    多元高斯分佈:矩陣分解、幾何變換、距離     
20.5    從單位雙曲線到旋轉雙曲線     
20.6    切線:建構函式,求梯度向量     
20.7    法線:法向量垂直於切向量     

第 21章   曲面和正定性     
21.1    正定性     
21.2    幾何角度看正定性     
21.3    開口朝上抛物面:正定
21.4    山谷面:半正定     
21.5    開口朝下抛物面:負定     
21.6    山脊面:半負定     
21.7    雙曲抛物面:不定     
21.8    多極值曲面:局部正定性     

第 22章   資料與統計     
22.1    統計 + 線性代數:以鳶尾花資料為例     
22.2    平均值:線性代數角度     
22.3    質心:平均值排列成向量     
22.4    中心化:平移
22.5    分類資料:加標籤     
22.6    方差:平均值向量沒有解釋的部分
22.7    協方差和相關性係數     
22.8    協方差矩陣和相關性係數矩陣     

第 23章    資料空間
23.1    從資料矩陣X說起     
23.2    向量空間:從SVD分解角度理解     
23.3    緊湊型SVD分解:剔除零空間     
23.4    幾何角度說空間     
23.5    格拉姆矩陣:向量模、夾角餘弦值的集合體     
23.6    標準差向量:以資料質心為起點     
23.7    白話說空間:以鳶尾花資料為例
    
第 24章   資料分解     
24.1    為什麼要分解矩陣?     
24.2    QR分解:獲得正交系     
24.3    Cholesky分解:找到列向量的座標     
24.4    特徵值分解:獲得行空間和零空間     
24.5    SVD分解:獲得四個空間     

第 25章   資料應用     
25.1    從線性代數到機器學習     
25.2    從隨機變數的線性變換說起     
25.3    單方向映射     
25.4    線性回歸     
25.5    多方向映射     
25.6    主成分分析

 
 

前言

  感謝


  首先感謝大家的信任。

  作者僅是在學習應用資料科學和機器學習演算法時,多讀了幾本數學書,多做了一些思考和知識 整理而已。知者不言,言者不知。知者不博,博者不知。由於作者水準有限,斗膽把自己所學所思與大家分享,作者權當無知者無畏。希望大家在Github多提意見,讓這套書成為作者和讀者共同參與創作的作品。

  特別感謝清華大學出版社的欒大成老師。從選題策劃、內容創作到裝幀設計,欒老師事無巨細、一路陪伴。每次與欒老師交流,都能感受到他對優質作品的追求、對知識分享的熱情。

  出來混總是要還的

  曾經,考試是我們學習數學的唯一動力。考試是頭懸樑的繩,是錐刺股的錐。我們中的大多數人 從小到大為各種考試埋頭題海,數學味同嚼蠟,甚至讓人恨之入骨。

  數學所帶來了無盡的「折磨」。 我們甚至恐懼數學,憎恨數學,恨不得一走出校門就把數學拋之腦後,老死不相往來。

  可悲可笑的是,我們很多人可能會在畢業的五年或十年以後,因為工作需要,不得不重新學習微積分、線性代數、機率統計,悔恨當初沒有學好數學,甚至遷怒於教材和老師。

  這一切不能都怪數學,值得反思的是我們學習數學的方法和目的。

  再給自己一個學數學的理由

  為考試而學數學,是被逼無奈的舉動。而為數學而數學,則又太過高尚而遙不可及。

  相信對絕大部分的我們來說,數學是工具、是謀生手段,而非目的。我們主動學數學,是想用數學工具解決具體問題。

  現在,這套書給大家一個「學數學、用數學」的全新動力—資料科學、機器學習。

  資料科學和機器學習已經深度融合到我們生活的各方面,而數學正是開啟未來大門的鑰匙。不是所有人生來都握有一副好牌,但是掌握「數學 + 程式設計 + 機器學習」的知識絕對是王牌。這次,學習數學不再是為了考試、分數、升學,而是投資時間、自我實現、面向未來。未來已來,你來不來?

  本套書系如何幫到你

  為了讓大家學數學、用數學,甚至愛上數學,作者可謂頗費心機。在創作這套書時,作者儘量克服傳統數學教材的各種弊端,讓大家學習時有興趣、看得懂、有思考、更自信、用得著。

  為此,叢書在內容創作上突出以下幾個特點。

  數學 + 藝術

  全圖解,極致視覺化,讓數學思想躍然紙上、生動有趣、一看就懂,同時提高大家的資料思維、幾何想像力、藝術感。

  零基礎  

  從零開始學習Python程式設計,從寫第一行程式到架設資料科學和機器學習應用,儘量將陡峭學習曲線拉平。

  知識網路

  打破數學板塊之間的門檻,讓大家看到數學代數、幾何、線性代數、微積分、 機率統計等板塊之間的聯繫,編織一張綿密的數學知識網路。

  動手

  授人以魚不如授人以漁,和大家一起寫程式、創作數學動畫、互動App。

  學習生態

  構造自主探究式學習生態環境「紙質圖書 + 程式檔案 + 視覺化工具 + 思維導圖」 ,提供各種優質學習資源。

  理論 + 實踐

  從加減乘除到機器學習,叢書內容安排由淺入深、螺旋上升,兼顧理論和實 踐;在程式設計中學習數學,學習數學時解決實際問題。

  雖然本書標榜「從加減乘除到機器學習」, 但是建議讀者朋友們至少具備高中數學知識。如果讀者正在學習或曾經學過大學數學 (微積分、線性代數、機率統計) ,這套書就更容易讀懂了。

  聊聊數學

  數學是工具。錘子是工具,剪刀是工具,數學也是工具。

  數學是思想。數學是人類思想高度抽象的結晶體。在其冷酷的外表之下,數學的核心實際上就是人類樸素的思想。學習數學時,知其然,更要知其所以然。不要死記硬背公式定理,理解背後的數學思想才是關鍵。如果你能畫一幅圖、用簡單的語言描述清楚一個公式、一則定理,這就說明你真正理解了它。

  數學是語言。就好比世界各地不同種族有自己的語言,數學則是人類共同的語言和邏輯。數學這門語言極其精準、高度抽象,放之四海而皆準。雖然我們中大多數人沒有被數學「女神」選中,不能 為人類對數學認知開疆擴土;但是,這絲毫不妨礙我們使用數學這門語言。就好比,我們不會成為語言學家,我們完全可以使用母語和外語交流。

  數學是系統。代數、幾何、線性代數、微積分、機率統計、最佳化方法等,看似一個個孤島,實際上都是數學網路的一條條織線。建議大家學習時,特別關注不同數學板塊之間的聯繫,見樹,更要見林。

  數學是基石。拿破崙曾說「數學的日臻完善和國強民富息息相關。」數學是科學進步的根基,是經濟繁榮的支柱,是保家衛國的武器,是探索星辰大海的航船。

  數學是藝術。數學和音樂、繪畫、建築一樣,都是人類藝術體驗。透過視覺化工具,我們會在看似枯燥的公式、定理、資料背後,發現數學之美。

  數學是歷史,是人類共同記憶體。「歷史是過去,又屬於現在,同時在指引未來。」數學是人類的集體學習思考,它把人的思維符號化、形式化,進而記錄、累積、傳播、創新、發展。從甲骨、泥板、石板、竹簡、木牘、紙草、羊皮卷冊、活字印刷、紙質書,到數字媒介,這一過程持續了數千年,至今綿延不息。

  數學是無窮無盡的想像力,是人類的好奇心,是自我挑戰的毅力,是一個接著一個的問題,是看似荒誕不經的猜想,是一次次膽大包天的批判性思考,是敢於站在前人臂膀之上的勇氣,是孜孜不倦 地延展人類認知邊界的不懈努力。

  家園、詩、遠方

  諾瓦利斯曾說:「哲學就是懷著一種鄉愁的衝動到處去尋找家園。」

  在紛繁複雜的塵世,數學純粹得就像精神的世外桃源。數學是,一束光,一條巷,一團不滅的希望,一股磅礴的力量,一個值得寄託的避風港。

  打破陳腐的鎖鏈,把功利心暫放一邊,我們一道懷揣一份鄉愁,心存些許詩意,踩著藝術維度,投入數學張開的臂膀,駛入它色彩斑斕、變幻無窮的深港,感受久違的歸屬,一睹更美、更好的遠方。
 

詳細資料

  • ISBN:9786267383407
  • 規格:平裝 / 832頁 / 17 x 23 x 3.62 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣

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2024/03/29
念書的時候數學成績一直很普通,公式都只會死背,找不到觀念之間的聯繫。
這本書用幾何、矩陣、向量等不同角度說明數學概念,並把這些概念巧妙的連在一起。
還可以透過跟著Python程式設計實作自己畫出各種數學圖,更知道這些數字符號所代表的意義。
適合覺得數學很無趣的人閱讀,可能會有全然不一樣的體驗。
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