數學概念的演變

前言1
平裝版前言1
緒論

1  數學的性質
2  學校數學
3  數學的人文價值
4  現代數學教育“改革”
1  預備概念
1.1  文化的概念
1.1.1  作為一個有機整體的文化
1.1.2  文化與群體之間的關係
1.1.3  文化“生命”和個體“生命”的對比
1.2  文化變革與成長的過程
1.3  作為一種文化的數學
1.4  數學符號系統

2  數的早期演變
2.1  計數的開始
2.1.1  環境張力——物理張力和文化張力（Physical and Cultural）
2.1.2  原始的計數
2.1.2a  “Numeral”和“Number”的區別
2.1.2b  “基數”和“序數”的區別
2.1.2c  “2計數”
2.1.2d  計數和一一對應
2.1.2e  數位類別和形容詞的形式
2.2  書寫數位系統
2.2.1  蘇美爾-巴比倫和瑪雅數字、位元值和零符號
2.2.1a  基數10和基數60
2.2.1b  巴比倫和瑪雅數位系統的位值
2.2.1c  零符號
2.2.1d  六十進位小數
2.2.2  密碼化
2.2.2a  愛奧尼亞數字
2.2.3  位元值和密碼化的結合
2.2.3a  “印度-阿拉伯”數字
2.2.4  十進位小數
2.3  數概念的演變
2.3.1  數位神秘主義和數位命理學
2.3.2  數位科學（ANumber Science）
2.3.3  數概念的地位及其在巴比倫統治末期的符號表示
2.3.4  “畢達哥拉斯”學派
2.4  插曲

3  幾何的演變
3.1  幾何在數學中的地位
3.2  希臘之前的“幾何”
3.3  幾何為什麼成為數學的一部分？
3.3.1  數與幾何量
3.3.1a  幾何數論
3.3.2  歐幾裡得數論： 數與量
3.3.3  數和幾何的形式概念
3.4  幾何後期的發展
3.4.1  非歐幾何
3.4.2  解析幾何
3.5  幾何模式的滲透對數學的影響
3.5.1  公理化方法和邏輯的引入
3.5.2  數學思想的革命
3.5.3  對分析學的影響
3.5.4  標籤和思維模式

4  實數和對無限的征服
4.1  實數
4.1.1  無理數與無限
4.1.2  實數的無限小數符號
4.1.3  作為“量”的實數
4.1.4  基於自然數的實數
4.2  實數類型
4.2.1  康托爾對角線法
4.3  超限數和基數
4.3.1  將“計數數”擴展到無限
4.3.2  超限序數
4.4  什麼是數

5  演變的過程
5.1  希臘之前的數學
5.2  希臘時代
5.3  希臘之後歐洲數學的發展
5.3.1  非歐幾何
5.3.2  關於無限的介紹
5.4  數學演變的力量
5.4.1  評論和定義
5.4.2  個人層面
5.5  數的演變階段

6  現代數學的演變
6.1  數學與其他科學的關係
6.1.1  與物理學的關係
6.1.2  更加抽象的趨勢
6.1.3  與其他一般科學的關係
6.1.4  專業化
6.1.5  純數學與應用數學
6.2  數學的“基礎”
6.2.1  數學子文化
6.2.2  矛盾的出現
6.2.3  數理邏輯與集合論
6.3  數學存在
6.4  數學概念演變的“規則”
6.4.1  討論
6.4.2  結論

參考文獻
索引
 

不可否認，數學是現代社會最重要的文化組成部分之一。它對其他文化元素的影響是如此的基礎和廣泛，以至於有理由相信，如果沒有數學，我們“最現代”的生活方式幾乎不可能實現。暫不說電力、無線電、電視、電腦和太空旅行這些顯而易見的例子，單單計算的基本技巧就足以證實這一說法。難以想像不使用任何數字的一天是如何度過的。

然而，開展本研究的動機並非出於數學的重要性，更確切地說，是出於對數學概念（如數和幾何）如何以及為何被創造和發展的渴求。我們對數學家個體如何創造和發展他們的概念有相當多的瞭解，並已經從心理學層面進行研究——傑出的數學家，尤其是龐加萊和哈達瑪，以自身的經歷做出了貢獻。但這些只是一部分情況，沒有任何數學家能夠在真空中工作。數學家的興趣不僅取決於他那個時代的數學狀況，還取決於他與世界各地的數學同事的聯繫。已故人類學家拉爾夫·林頓提出了一個假設：“……如果愛因斯坦出生在一個無法數到3以上的原始部落，那麼他耗盡畢生的努力可能都無法超越基於手指和腳趾的十進位的發展。”經過了幾個“文明”，不計其數的數學家歷經了四五千年的努力，才得以產生十進位，所以即使是天賦異稟的愛因斯坦，在他的整整一生中能否做到這一點也還是值得懷疑的。愛因斯坦（包括其他的數學天才）之所以能夠達成他所做的事情，是由多種因素促成的，其中只有一個是他那毋庸置疑的天賦，而大部分因素都具有文化性質。

數學家們往往會忽視或者忘記他們工作的文化性質，常覺得他們所處理的概念在文化環境之外擁有一個“現實（reality）”（一種柏拉圖式的理想世界）。事實上，一些數學家似乎完全缺乏一種洞察力，即沒有意識到他的觀察和他的概念會受到觀察者的影響，而關於這一點，現代物理學家已經意識到了。還有哪個學科像數學這樣，概念逐漸比可觀察的事物更重要？

沒有人指望能夠在某一特定文化的邏輯和語言中找到物理世界嚴格遵循的規律。物理學家將所謂的規律純粹地表述為一種使環境合理化和預測其行為的模式，他並沒有斷言自然遵循這些“規律”。就數學而言，它基於真實的物理環境，尋求宇宙所遵循的算數、幾何等規律。但是，一旦數學成為一個成熟的文化元素，它似乎就會自行發展，仿佛獨立于“現實（reality）”之外一樣。

然而，數學並非獨立于文化的力量而發展，它受到一些文化自身特有的性質的影響，而不僅僅是物理學、藝術或其他文化成分。有些人認為在某一特定時期盛行的傾向是“錯誤的”，於是試圖改變數學研究的方向，但這似乎是徒勞的。只有在強大的環境和內部壓力作用下才能有效地改變數學發展的進程，例如有時由於戰爭的施壓、政治變革所引發的混亂、宿主文化（hostculture）的重大改變和數學本身的“危機”等等。中國古代和中世紀數學的停滯，反映了宿主文化的靜態特徵；希臘數學的衰落，其原因雖一直備受爭議，但無論如何，它都屬於文化整體衰落（內部的和環境的）的一部分；同時還有第二次世界大戰前歐洲數學家湧入美國對美國數學和一般的數學的影響等都足以證實上述觀點。近年來，數學領域中新研究的興起，以及其從業者地位不尋常的提高，如同物理學領域發生的那樣——主要是由於政治環境的作用。

而且，我相信數學和數學哲學都可以從對數學演變的研究中獲益。如果我們相信“那些不知道歷史的人會陷在黑暗中”，密歇根大學威廉·克萊門茨圖書館外牆上的題字（致已故的烏爾裡希·菲力浦斯教授）。那麼同樣我們也會相信，數學家若忽視塑造他思想的演變力量，就相當於失去了一個有價值的研究視角。單純瞭解歷史是不夠的，雖然日期、傳記等很重要，但它們只是這類研究的一部分資料。此外，既然文化的演變已經成為人類學中公認的理論，那麼這類研究應該引起廣泛的關注，尤其是那些對他所處的文化環境的思想起源感興趣的人。

開展這類研究的主要障礙在於早期記錄的不足。是研究一般文化的演變過程容易還是研究某一種特定文化（如數學）的演變過程容易，這個問題一直懸而未決。一方面，將文化視為一個整體來研究，可以從大量的文物中得出結論，而對於某一種特定文化（如數學），則可用的材料相對比較有限。另一方面，有限的材料可以降低複雜性和減少關注點。關於馬的進化的研究就是一個例子。正如對特定生命形式的進化進行研究可以為一般的生命形式提供模式一樣，研究特定文化（如數學）的演變過程對研究文化演變的一般形式具有重要意義。

然而眾所周知，數學是技術性的，其關注點集中在數和幾何的基本方面。它們的演變基本上展現了高等數學發展過程中的所有特點。數字不僅是數學的開始，而且數概念以某種形式貫穿於數學的各個領域。這是每個文明人（也包括非文明人）為適應社會和物理環境所需要掌握的數學知識。因此，為了便於一般的理解，它不應具有太多的技術性。本書只有在第4章有一些技術性的東西，但我希望其呈現的方式能有助於非數學家對該內容的吸收。我相信沒有讀完這一章的讀者可以從本書的其餘部分找到足夠的材料來理解它的大概意思。

在這裡我嘗試從人類學家的角度而不是從數學家的角度來研究數學子文化。當然，由於我是一名數學家，與社會科學家在研究自身所處的文化時所遇到的風險一樣，我很難擺脫自己的文化而去冷靜地審視它。但是，數學的技術性如此之強，專業以外的人幾乎不可能穿透符號的簾子和抽象的概念來發展它。與通常用來獲取原始文化的風俗和信仰知識的“報告者（informant）”系統不同，相似的情況在數學中是行不通的。

我想否認任何哲學化的嘗試，我純粹只想對某一特定文化的發展和行為進行研究。然而，完全避免哲學概念是不可能的，畢竟數學哲學影響了數的發展，尤其是在希臘時期。另一方面，如果我的某些結論似乎只有哲學基礎，那麼它必定是由所謂的科學哲學和科學理論之間的模糊界限造成的。我通過類比宗教來說明這一點，宗教純粹是從人類學的觀點進行研究的，很少或根本沒有提及宗教哲學，除非它構成了某一特定的宗教內容。

專業數學家不應期望在本書中找到對諸如實數系等主題的嚴格處理，因為這不是一本教科書。這是一本關於作為一種文化現象的數學著作，而並非關於數學本身。如果閱讀完本書之後，專業數學家對其工作性質有了更深刻的理解，那麼我認為我的目的就已經達到了。另一方面，我相信對於非數學專業的讀者，尤其是研修社會學和人類學的學生來說，在閱讀完本書後，將會對數學是什麼有一個真正的理解，同時他可以忽略本書涉及的一些技術性知識並繼續讀到最後。
由於非數學專業領域的讀者的緣故，本書對現代數學的相關內容進行了介紹，不僅包括它是什麼、它是如何發展的，還從數學教學的角度介紹了正在發生的事情。為了同時照顧數學專業和非數學專業的讀者，本書的第1章介紹初步概念，我希望它包含足夠多的關於文化人類學的資料，以及我們日常所使用的十進位系統的性質，以説明闡明一些技術性術語。如果讀者熟悉該內容，那麼可以忽略這部分的所有資料，從第2章開始閱讀。

參考書目提供作者的名字和日期，因此“Bell，1933，P.20”指的是貝爾在1931年的出版物，具體到第20頁。對本書內容的引用一般只提供章和節，如果引用同一章內不同節的內容，則省略章號。

我感激那些為我的觀點的形成做出貢獻的同事和學生，人數太多以至於我沒辦法一一列舉出他們的名字。我特別感謝我的人類學家朋友萊斯利·懷特教授，還有我的孩子貝蒂·安·迪林厄姆（她閱讀了初稿並做了評論）和大衛，這兩位社會學家與我一起對很多相關的資料進行了討論，此處所呈現出來的想法是眾人努力的結果。我要感謝我的同事菲力浦·鐘斯教授和我以前的學生愛麗絲·迪金遜教授，感謝他們的討論與鼓勵。特別感謝秘書瑪麗·安·索伯女士的協助。另外，我還要感謝大學和學院讓我有機會從文化的角度講授數學。正是由於聽眾們的鼓勵，我才決定寫這本書。我希望那些聽過我的講座並且碰巧讀到這本書的人會意識到兩者之間的相似之處。還要感謝密歇根科學與技術研究所和佛羅里達州立大學的支援，分別在1960—1961年和1961—1962年授予我研究教授的職位，為研究工作提供了時間支援和經費資助。

懷爾德
安阿伯市，美國密歇根州
1968年5月