高等學校教材：常微分方程

第1章 緒論1
1.1微分方程實例1
習題1.14
1.2基本概念5
習題1.27
1.3微分方程解的幾何解釋8
習題1.310

第2章 一階微分方程的初等解法11
2.1變數分離方程11
2.1.1變數分離方程11
2.1.2可化為變數分離方程的微分方程13
2.1.3變數分離方程的應用實例16
習題2.117
2.2一階線性微分方程17
2.2.1一階線性微分方程17
2.2.2伯努利方程20
2.2.3裡卡提（Riccati）方程21
習題2.222
2.3恰當微分方程與積分因數23
2.3.1恰當方程23
2.3.2積分因數26
2.3.3恰當微分方程的物理背景29
習題2.329
2.4一階隱式微分方程30
2.4.1可解出y的方程30
2.4.2可解出x的方程32
2.4.3不顯含y的方程34
2.4.4不顯含x的方程35
習題2.437

第3章 一階微分方程解的存在定理38
3.1存在唯一性定理與逐步逼近法38
3.1.1存在唯一性定理38
3.1.2存在性定理45
習題3.146
3.2解的延展和解對初值的連續性與可微性47
3.2.1解的延展47
3.2.2解對初值的連續性和可微性49
習題3.249
3.3常微分方程的數值解法50
3.3.1基本概念50
3.3.2常用的單步法50
3.3.3龍格庫塔方法（RungeKutta）52
3.3.4線性多步法53
3.3.5數值解的相容性、收斂性與穩定性54
3.3.6常微分方程組與高階方程的數值解法56
3.3.7Matlab中求解常微分方程的命令58
習題3.359

第4章 高階微分方程60
4.1線性微分方程的基本理論60
4.1.1齊次線性微分方程解的性質與結構60
4.1.2非齊次線性微分方程與常數變易法65
習題4.169
4.2常係數線性微分方程的解法69
4.2.1二階常係數齊次線性微分方程的解法70
4.2.2二階常係數非齊次線性微分方程的解法71
習題4.277
4.3一般微分方程的解法78
4.3.1變數變換法78
4.3.2冪級數解法81
習題4.384

第5章 線性微分方程組86
5.1線性微分方程組的一般理論86
5.1.1齊次線性微分方程組87
5.1.2非齊次線性微分方程組91
習題5.193
5.2常係數線性微分方程組的解法94
5.2.1矩陣指數函數95
5.2.2矩陣範數95
5.2.3eAx的適定性、連續可導性95
5.2.4齊次線性微分方程組的通解96
5.2.5非齊次線性微分方程組的通解及常數變易公式96
5.2.6eAx的計算97
習題5.2104
5.3消元法和拉普拉斯變換法105
5.3.1消元法105
5.3.2拉普拉斯變換法107
習題5.3112
5.4首次積分法113
習題5.4119

第6章 定性和穩定性理論初步120
6.1穩定性120
習題6.1124
6.2李雅普諾夫第二方法125
習題6.2127
6.3平面自治系統的基本概念127
6.3.1相平面、相軌線與相圖128
6.3.2平面自治系統的基本性質130
6.3.3常點、奇點和閉軌130
習題6.3131
6.4平面自治系統的奇點理論131
6.4.1線性系統的奇點131
6.4.2非線性系統的奇點135
習題6.4136

部分習題參考答案137

附錄Maple在常微分方程中的應用152

參考文獻159