數學分析的方法和典型例題

前言

第1章 極限理論 1
1.1 極限的內容概述 1
1.1.1 極限的定義、基本性質與運算 1
1.1.2 幾個重要的定理 2
1.2 階的估計的方法 3
1.2.1 階的估計的基本概念 3
1.2.2 幾個基本公式 6
1.2.3 階的估計在求極限中的應用 11
1.3 Stolz 公式 21
1.4 數列的構造與極限 31
1.5 利用定積分的定義求極限 45

第2章 函數的連續性 51
2.1 函數連續性內容概述 51
2.1.1 連續函數基本性質 51
2.1.2 閉區間上連續函數的性質 52
2.1.3 一致連續性 53
2.1.4 多元函數的極限與連續 54
2.2 函數連續性及其應用 55
2.3 函數的一致連續性 60
2.4 Lipschitz 函數類 64

第3章 微分學 69
3.1 微分學內容概述 69
3.1.1 定義 69
3.1.2 求導法則 71
3.1.3 基本定理 73
3.1.4 導數的應用 74
3.2 函數的可微性和導數的計算 77
3.3 導數介值性及其應用 81
3.4 微分中值定理的應用 86
3.5 函數可微性與不等式 96

第4章 積分學 101
4.1 積分學概述 101
4.1.1 不定積分 101
4.1.2 定積分 105
4.1.3 幾個重要的逼近定理與不等式 110
4.2 積分中的極限問題 111
4.2.1 求的極限 111
4.2.2 求的極限 113
4.2.3 求的極限 119
4.2.4 求的極限 124
4.2.5 含有積分上限函數的求極限問題 126
4.3 積分的不等式 130
4.4 積分的計算和估計 139

第5章 級數 150
5.1 級數內容概述 150
5.1.1 數項級數的基本概念 150
5.1.2 正項級數收斂性判別法 151
5.1.3 任意項級數收斂性判別法 152
5.1.4 絕對收斂級數的性質 152
5.1.5 一致收斂性的判別法 153
5.1.6 一致收斂級數的性質 155
5.1.7 冪級數 157
5.1.8 Fourier 級數 159
5.1.9 無窮乘積 161
5.2 Abel 變換及其應用 162
5.3 單調性在收斂性判別中的應用. 170
5.4 Gauss 判別法. 177
5.5 階的估計在級數收斂性判別中的應用 180
5.6 函數項級數的一致收斂性 185
5.7 函數項級數的解析性質 197
5.8 級數求和 209

第6章 廣義積分和含參變數積分 215
6.1 廣義積分和含參變數積分內容概述 215
6.1.1 廣義積分的收斂性 215
6.1.2 含參變數的常義積分 217
6.1.3 含參變數的廣義積分 217
6.1.4 Euler 積分 219
6.2 廣義積分的收斂性 220
6.3 廣義積分收斂和無窮遠處的極限之間的關係 231
6.4 含參變數廣義積分的一致收斂性 235
6.5 含參變數積分的解析性質 240
6.6 廣義積分的計算 247

參考文獻 261