01 完美數的故事

小朋友，你一定知道什麼是整數、奇數、偶數、分數、小數、因數及倍數！那你有沒有聽過「完美數」？什麼樣的數字可以被稱為「完美」啊？請猜猜看⋯⋯

你是不是直覺地先想到6 呢？為什麼？

在東方華人社會中常常聽到六六大順，在西方則傳說上帝花了6 天的時間創造世界。所以「6」，它是個很好的數字。但是，從什麼時候開始被稱為完美呢？

「完美數」（Perfect Number）這個字詞，最早可以從大約二千五百年前說起，當時的古希臘有一個非常喜愛研究數學的團體，後世稱之為「畢達哥拉斯學派」，簡稱「畢氏學派」，領導人為著名的畢達哥拉斯。（小朋友，你們未來在國中就會學到以他為名的「畢氏定理」。）這個團體在研究數字的過程中，發現6 與它的因數間有著特別的關係，讓我們一起來看看吧！

如果某數剛好等於不含本身的所有因數和，則稱此數為「完美數」或「完全數」。

例如：6為完美數。因為6的因數是1、2、3、6，且1＋2＋3＝6。

例如：28為完美數。因為28的因數是1、2、4、7、14、28，且1＋2＋4＋7＋14＝28。

小朋友，你覺得這種數字與它的因數們之間的關係是不是很特別、很漂亮、很完美啊？

古代人們只發現了4 個完美數，分別是6、28、496及8128，他們仔細觀察這4個完美數，發現兩個特徵。第一個特徵：它們的個位數分別是6、8、6及8；第二個特徵：第1個完美數是一位數，第2個完美數是二位數，第3個完美數是三位數，第4個完美數是四位數。於是他們大膽猜測：

1 所有完美數的個位數一定是6或8，而且輪流出現。

2 因為第1個完美數是一位數；第2個完美數是二位數；第3個完美數是三位數；第4個完美數是四位數，所以依此類推，第n個完美數，一定是n位數。

一直到了1461年，第5個完美數才被發現，它是33550336。以後的人們持續的發現完美數。前10個完美數如表1-1所示。

小朋友，請你猜猜看古代畢氏學派對完美數的猜測正確嗎？

我們來檢查看看，所有完美數的個位數一定是6 或8，而且輪流出現嗎？第n個完美數一定是n位數嗎？