微積分先修

1 先備知識：中學代數
1.1 記號
1.2 二次方程式
1.3 虛根
1.4 定準
1.5 聯立一次方程組的定準法
1.6 常用的公式
1.7 式與函數
1.8 單變元多項式函數
1.9 代數學基本定理
1.10 分項分式
 
2 函數的連續性
2.1 函數
2.2 函數的圖解
2.3 連續性的兩個基本性質
2.4 多項式函數
 
3 指數與對數
3.1 指數函數
3.2 從指數到對數
3.3 對數尺度
3.4 對數尺度的圖解
 
4 三角函數
4.1 銳角三角函數
4.2 銳角三角形的定律
4.3 鈍角三角函數
4.4 三角形的邊角問題
4.5 三角形的幾何量
 
5 一般角的三角函數
5.1 角的種種觀念
5.2 一般角的三角函數
5.3 三角恆等式：加法公式
5.4 三角恆等式：延伸公式
5.5 反正切
5.6 三角函數的圖解
5.7 三角一次式
 
6 坐標幾何的補充
6.1 面積
6.2 極坐標
6.3 直線
6.4 圓
6.5 錐線的標準方程式
6.6 平移與伸縮
6.7 對稱操作與對稱性
6.8 極坐標的伸縮與平移
6.9 曲線與方程式
 
7 立體坐標幾何
7.1 立體坐標系
7.2 向量
7.3 定準
7.4 空間中的直線
7.5 空間中的平面
7.6 立體幾何的計算
 
8 記述統計
8.1 頻度分布
8.2 中位數與絕對誤差
8.3 Markov與Chebyshev不等式
8.4 兩變量記述統計
8.5 機率
 
9 一些極限的考慮
9.1 拋物線是橢圓的極限情形
9.2 球面透鏡公式
9.3 自然指數
9.4 Archimedes計算拋物線弓形域的面積
9.5 漸近線
 
附錄 A Plato正多面體
附錄 B 一些曲線與曲面
附錄 C 極坐標圓格紙
附錄 D 習題簡答
索引
 

序（摘錄）

　　這本書本來是要寫給來聽Precalculus課程的學生，本來的書名預計叫《高中數學概要》，但我並不是要把本書當作高中數學全套教科書的替代品。來聽課的學生都念過高中，本來就應該有高中的數學教科書，所以本書在功能上是一種攝要，也是一種翻查用的公式集。況且我還有另外一種野心，希望有社會人士購買，試著讀讀看──用另一個角度來說，平常我們也會買「音樂入門」、「繪畫欣賞」等書籍不是嗎？

　　書名後來定為《微積分先修》就很自然合理，因為這是我著手寫作的動機。「先修」與「複習」是同一件事的兩面，本書也的確提供了簡短些的「複習」。無論如何，我關注的重點在：要怎麼述說，才能讓讀者獲得最大的益處？我決定在數學用詞與數學記號上特別下功夫。

　　我的想法是：數學是一種語文──或者可以說，數學是最重要的語文；在地球上，數學都是母語以外的第一外語。當然，漢文、英文、法文、德文是不同的語言，但我們可以把「數學漢文」、「數學英文」、「數學法文」、「數學德文」視作「數學文」的不同方言。例如函數（漢）、function（英）、fonction（法）、funktion（德）指的都是同樣的概念，只要讀者學數學時習得「函數」這個概念，不同的方言並不會引起任何困難。

　　所以遇到需要翻譯的時候，我非常堅持：不使用音譯的漢字。例如Cramer，音譯成「克拉瑪」，也沒有比「克拉美」好。音譯的壞處之一是「無法統一」，原本是「門羅」（Monroe）先生，女兒卻是「夢露」（Monroe）小姐，沒有任何規則可以遵行。但更大的壞處是「妨礙學習」。

　　實際上許多書的譯詞，常常因為翻譯者走不出「翻譯」的枷鎖，總是思考三原則「信」、「達」、「雅」，反而譯得不好或不對。例如matrix翻譯成「矩陣」；inverse matrix就翻譯成「逆矩陣」；symmetric matrix翻譯成「對稱矩陣」；anti-symmetric matrix則翻譯成「交錯矩陣」。我的想法非常明確：如果有一本數學的英漢辭典，那麼在matrix條目後的漢文釋意必須有兩款，①矩陣，••••••②方陣（= square matrix）。除了上述例子之外，另有the determinant of a matrix =一方陣之定準，但是在上述後續的三個詞中，總是matrix = square matrix──此時應該有「方陣」的概念，譯為「方陣」才對。

　　又例如，方陣A的determinant，我們記成det(A)（讀者應把det以完整的字determinant讀出）。我採用古時有過的譯詞：定準。這個譯詞的確比較典雅，而且兩個字比三個字短，但這些都不是理由，主要是考慮「達義」。這是德國大數學家、大哲學家Leibniz的用字，無論是德文、英文或法文，這個詞的原意就是如此。事實上，數學上所有的「判準」的根據，都是「某個方陣的定準」。

　　所以，大一之後稍高級的數學中出現的Jacobian determinant= J acobi定準，Hessian determinant = Hesse定準，還有很多例子都是如此。

　　繼續來談記號。記號是文字之始，是任何語言文字的很重要的部分，對「數學文」來說當然也很重要。記號也是規約；在數學的討論中，記號常常是最重要的規約。所以讀者必須明白：記號很重要，但不是那麼神聖；好的記號在討論數學及任何科學時會非常方便，但方便性需要考慮場合，不能一概論之。

　　所以在編寫本書時，我非常用心地處理這些事。要考慮讀者過去學習數學的經驗，也要考慮讀者將來學習的需要──雖然四十五年前我就已經主張大一微積分課程應該改為大一普通數學課，但前面所說的「將來學習的需要」並不限於微積分學，而是受教者的將來都應該納入。所以關於記號（與規約）都應該考慮其方便性，可是每個人都會想到、採用簡單方便的記號，因此馬上就會發生記號的「超載」現象。

　　另一方面來說，如以資訊交流的眼光來看，使用記號時，保留一些冗餘度（redundancy）有助於辯誤，因此在使用上需要評估其得失。舉個最常見的例子：括號。小時候學習括號，分成小括號（( )）、中括號（[ ]）、與大括號（{ }），老師常常「斤斤計較」其使用方式，但在高級一點點的數學裡，這種大中小的規定全無道理，其實一種就夠了。問題是，這種簡便的記號馬上就「超載」了，所以現在的通行的規約大都保留紐括號（即{ }）給集合之構成，我認為這是正確的。

　　圓括號（即( )）最重要的兩種用法，甲是作運算順序的強迫優先之指示；乙是函數操作之指示，可以讀做of。在數學軟體Maple，還是如此「一物兩用」；在Mathematica就有所區分了：乙改用框括號（[ ]）來表示。本書則採用Maple的規約。

　　有些優秀的中學老師會教資優生Gauss記號，也就是用框括號表示「無條件捨」。本書並不這麼使用，我將這個地板函數記為floor，當然對應的天花板函數，即「無條件入」，採用ceil。我相信：盡量採用三至四個拉丁字母的函數記號，對於學生的未來所需來說，是最好的選擇。

　　在微積分學中，圓括號與框括號也常用來分別表示開區間與閉區間。但是區間的左右兩端之間的標記該用逗號或是分號呢？我認為最佳的選擇是Maple的方式：用「左右兩點」表示，也就是用(a..b)與[a..b]的記號。我相信Maple的這個用法會獲得最後的勝利。

　　另外，當我們要呈現一個序列時，須用逗號來區隔相鄰的兩項，我並不贊成用「空格」來區隔。事實上，我們一貫地使用逗號來區隔一個列向量的相鄰成分，用逗號來區隔坐標空間一點的相鄰坐標；只是列向量是用框括號來總括，而坐標空間的點，是用圓括弧來總括。最最重要的是，對一個矩陣，它的列向量也應遵守這個逗號區分的規約。本書不用空格來區隔而改用逗號，如此能減少讀者誤讀的機會，相信這絕對值得。我也發現許多學生在從小到大的數學學習經驗中，學到了「錯誤的心得」，把數學上的規約看成數學內容很重要的一部分。我的解釋是，這些學生遇到的數學教師程度不太好，只能強調這些規約，當作教學的主要目標──或許這個現象也可以「歸功於」School Mathematics Study Group（SMSG）。比方說，我就遇到這樣的學生：他認為（=他的老師這樣教他），因為「零多項式的次數」沒有定義，所以我們不可以說：x的二次以下的多項式的全體是一個三維線性空間。我好不容易才說服他：這樣的規約會讓我們很痛苦憋扭。我們寧可採取「零多項式的次數雖然沒有定義，但是可以給它一個記號−∞」。那麼，我們就可以說：x的二次以下的多項式的全體是一個三維線性空間。當然，我也願意再多麻煩一點，告訴他：因為零多項式是任何多項式的倍式，在某些敘述中，我們也可以把「零多項式的次數」理解為+∞，也就是大於一切自然數。

　　重點在於，敘述一個數學上的規約時，不應該讓學生以為規約是「神定的」，而要讓學生知道這樣的規約（convention）對於我們的思考是比較方便的（convenient）。

　　我想，買這本書的讀者多半有一點兒慣於自己讀、自己想的學習態度，所以在選擇材料的原則是（希望）有助於微積分學習的內容，尤其是我擔心沒有在高中好好講的東西。撰寫的方針則是：讓讀者可以亂翻。所以寫成了九章，最後一章提到了一些極限的考慮，我想高中教科書應該很少提及。最後則附錄了一些平面曲線圖及幾幅二次曲面圖。

　　臨到交稿的時候，不禁回想起高中的歲月，令我十分懷念。我感到十分幸運，遇到了那麼多支持我的老師與同學。但是真正與這本書有關係的人，是我的哥哥維楨。我讀中學的時期與他親近的機會不多，一直到我上了高三，他在臺電彰化區處服務時，才算是住在一起（林森路）。我想，他那時候給我最大的好處，就是非常相信我的能力。最少有兩次，他拿電力工程實務上的日文文章給我，問：「這個關鍵的式子是怎麼導出的，幫我想一想。」而我最後都有想出來。因此我學到了：硬著頭皮拼拼湊湊，就能拼湊出答案！如果湊出的答案是正確的，中間一步一步的過程再經慢慢思索之後，就變得非常自然；而且，在這樣的思考之中，對於所用到的原理公式的理解，就加深了一層。

　　大哥，謝謝你！

　　大哥高工時期的參考書《實用高等數學初步》（日本理學士北村友圭著，是給「工業學校上級」用的教科書）是一本非常好的書，陪伴我相當長的時間。薄薄204頁的主要內容（約有一半）是「高工微積分」，不過前三章的預備篇（約有48頁）非常有助於本書方向之確立。

　　北村先生在《實用高等數學初步》的序言下方加註了一句：「著者基於婆心，在書末特別附贈了片對數方格紙、雙對數方格紙各兩張。」想當年，沒有影印機、沒有電腦，要買對數方格紙也不是那麼容易，北村先生在書裡提供，幫了讀者大忙。我本來也打算在書末附贈這樣的四頁，可是我看到Latex的輸出稍嫌粗疏，與昭和12年的那本書程度相當，不如現在福利社可以很便宜就買到的方格紙。所以就不附贈這樣的東西，改附贈較不常見但是（對於學微積分）更有用的極座標圓格紙。

　　讀者在拿到本書之後，首要之事就是先拿這幾頁（尚未畫圖的）去影印一些備用。