數學男孩圓周率之旅

人物介紹
吉拉家的重要記事

1 吉拉家祖孫三代情——圓周率登場
1.1 外孫的小名叫小pi
1.2 在美國的那一年
1.3 外孫的兄弟姐妹會
1.4 暴雨中的幽靈輪胎
1.5 那一晚的紅月掩天王
1.6 神賜給人類的禮物

2 吉拉讀小學和初中——幾何與根號登場
2.1 博士眼中的根號
2.2 小學國語老師的挑戰——牛肉麵外加電影票
2.3 四姊的快速計算法
2.4 吉拉和阿德在大榕樹下解題
2.5 初中長腿數學老師的第一課——負數
2.6 根號2真的存在嗎？
2.7 幾何王國的雄偉城堡

3 由反運算的觀點細說根號
3.1 台灣中小學數學教育的亮點與困境
3.2 成也蕭何敗也蕭何——起跑點上的輸贏
3.3 加法的反運算是減法
3.4 乘法的反運算是除法
3.5 從乘法到指數
3.6 二次方的反運算是二次方根

4 古代人計算圓周率
4.1 天縱英才阿基米德
4.2 內接正多邊形逼近圓周
4.3 阿基米德算圓周率
4.4 中國古代數學家算圓周率
4.5 劉徽與祖沖之算圓周率
4.6 計算一個數的二次方根

5 吉拉讀高中和大學——與圓周率結緣
5.1 吉拉的四十週年大學同學會
5.2 數學男孩背誦pi的煩惱
5.3 眾多令人煩心的三角函數公式
5.4 完全數的魔力——複雜計算的例子
5.5 杜老師證明π是無理數
5.6 吉拉學習電腦程式
5.7 日新月異的電腦

6 近代人計算圓周率
6.1 出版界的奇蹟
6.2 中和烘爐地的魔鬼路段.
6.3 我們教出來的學生說2.9 < 3> 6.4 無窮個數相加的技術
6.5 利用加減乘除計算圓周率
6.6 看不到圓的圓周率.
6.7 利用初等方法說明arctan x的級數

7 老年吉拉配方之旅
7.1 讓學生學習帶著走的能力
7.2 因式分解vs一元二次方程式
7.3 配方vs柯西不等式
7.4 圓錐曲線緣起
7.5 配方vs圓錐曲線
後記
參考文獻

序

　　圓是自然界與生活上常見的美妙形狀，它是神賜給人類的寶貴禮物，人自古以來就致力於瞭解其性質。要瞭解圓，就要瞭解圓周率，這個反應它的一個重要常數。

　　這一點反映在中小學的數學學習內容。不過圓形雖然比直線型圖形漂亮，但是其性質的推導比較困難，中小學老師教導圓的性質，有一些都只能用「告知」的方式處理。例如，小學時老師告訴我們圓周率是3.14，長大一點以後精確度提高到3.1416，到後來會說它是無理數，基本上寫不完，所以就記為π，沒事不要管它是多少。

　　有些人還會說3.14和3.1416都不是「精確」的圓周率值，只有寫成π才是「確切值」。說到底這其實是某種「騙局」，誠實來說，寫成π只是在不需要真正算出答案時暫時的寫法，並不能讓人確實知道它到底是多大，就像你跟朋友說你買了間15π坪的房子，他更想聽到的會是47.12坪一樣。

　　因此，我常常想要寫一本書向學生介紹圓周率的故事，以及計算圓周率的方法，不過一直都沒付諸行動。一直到參與108數學課程綱要研修後，終於有了一個機會。最初是想要為高中老師編撰一本數學選修課的教材，以我們自小學六年級開始學習的圓周率為主題，目標是要介紹如何計算圓周率的近似值，並適當聯繫中小學相關數學知識。

　　108課程綱要的一大特色是，將高中的四分之一學分留給學校安排選修課，這使得高中的課程架構更像大學。在高中這是第一次嘗試，有許多待討論的地方，例如，課程內容如何設計，學生如何選課，是要固定班級還是跑班等，都須一一解決。

　　在這些問題當中，我認為最關鍵的部分應該是課程內容的設計。高中老師授課鐘點多，要他們再設計新的選修課，真是一大挑戰，也許更坦誠來說是一種苛求。我們希望能為高中老師盡一份心力。

　　2020年底有機會觀看YouTube的一支影片《The Story of Pi》，覺得很有啟發性，所以決定以圓周率為主題，幫高中老師寫一份適合的數學選修課教材。同時也希望，如果從這本書中適當選取部分內容，也許可以編輯成一門微課程的教材。另外也期望，這本書可以當作數學必修課的參考資料，以及學生的課外讀物。
 
　　在這樣的背景下，2021年7月30日與台中一中陳光鴻老師共同完成《圓周率的故事》，全書共有85頁。後來為了讓老師們容易取得檔案，發表於2023年1月《數學學科中心電子報》第179期。這本小冊子的安排與一般的數學教科書不同，除了一些數學內容以外，有些地方以吉拉的故事呈現，並穿插日本作家小川洋子所著《博士熱愛的算式》一書的部分內容，希望能在乾澀的數學內容中，添加一些趣味性。另外也盡量涵蓋相關內容的數學史，以期引導學生瞭解數學發展的過程。也鼓勵學生於課外能閱讀參考文獻，並上網搜尋相關資料，書末附「有用的連結」以豐富內容。

　　至於數學部分的安排，從複習國小數學內容開始，一直到高中生看得懂的數學，夾雜一些大學課程才能證明的定理，只先拿來用。所有的安排以學過國中數學就能順利銜接為原則。並且設計「課堂活動」提供師生互動的機會。

　　高中數學學科中心為了協助老師開授數學選修課，作了許多努力。例如，他們找了四位大學教授各自帶領一批高中老師開發四門選修課。我們撰寫《圓周率的故事》其實是突發的獨立工作，並不在他們原有的規劃內；不過高中數學學科中心還是幫忙辦了一系列工作坊，以便向老師解釋這本書的內容。可惜的是，和其他四門選修課的命運一樣，後來推廣都宣告失敗，並沒有老師開授這些課。故事就此暫時告一段落。
 
　　在一次偶然的機會，有一位朋友建議把前述的小冊子重寫，改成高中生的課外讀物。事情又有了轉機，改寫的工作於是展開。

　　首先，為了與教材有所區別，把書中為了教課設計的「課堂活動」取消，並且刪除一些比較「硬」的數學，還增加了大量吉拉家族的故事，把一些學習數學的理念放在故事中。

　　初稿完成之後，還拜託一些朋友試讀。在此特別感謝中央大學單維彰教授和台中一中陳光鴻老師的許多建設性建議。另外，透過台北市一女中蘇麗敏老師的介紹，很感謝王之妤和蔡怡真兩位同學試讀此書；她們對於數學內容難度的看法，促使許多內容的刪減及調整；她們對於故事與圓周率關聯性的期望，也讓我們適當說明故事安排的原由；連書名她們都不客氣的說「這種書名沒有人想買」，幾經轉折才有了現在的書名。感謝兩位審查委員的寶貴意見，也讓我們有機會再度做了許多修改。國立中央大學出版中心王怡靜小姐的細心偵錯，以及專業建議，讓整體呈現更加完美。對於以上這些幫忙，謹致以十二萬分的謝意。

　　因為這是要寫給高中生看的書，除了注重趣味性和通俗性以外，還寫一些數學內容，所以沒寫成一般人定位的科普書。
 
　　本書的終極目標是第4章古代人計算圓周率，以及第6章現代人計算圓周率。書中的一些故事和數學，都是圍繞在計算圓周率這件事情上打轉。

　　整本書以數學男孩吉拉一生的經歷，串起古今圓周率計算的工作，並以中學生能瞭解的寫法，適度介紹與圓周率相關的數學。

　　書以倒敘的方式撰寫，除了第4章和第6章以外，各章的第一節均由老年吉拉的故事開始，再轉回年輕時的故事。

　　第1章中，吉拉和女兒們討論圓周率的故事緣起。第5章中，吉拉高中時背誦圓周率，以及大學時杜老師教導證明圓周率是無理數的故事，是他與圓周率結緣的回憶。

　　第2章中，吉拉小學國語老師挑戰他們計算面積的故事，接到初中學習幾何知識配合根號求值解決問題，是在鋪陳古人計算圓周率的基礎。第4章中，古代人計算圓周率仰賴幾何知識（特別是畢氏定理），並且用根號配合求值。可以說，根號的計算圓滿了幾何方法，而幾何方法成就了根號的重要性（第3章特別再以反運算的觀點細說根號）。兩者相互搭配，完成了古代人對於圓周率的計算，而集其大成者是南北朝數學家祖沖之，他求得的3.1415926是之後一千年內最精確的值。

　　第2章中，吉拉四姊計算平方數的挑戰，以及第5章中，吉拉高中時對於完全數的迷戀，這兩者要引導的是，數學上的計算很容易就到達人力的極限，計算工具的精進成為人類追求的目標。而第5章中，吉拉學習電腦的故事在引進計算工具。最後第6章逐漸展現，數學知識加上電腦的威力，讓一些人力不能及的計算，完成到前所未有的境界。現代人對於圓周率的計算就是這個浪潮下的一個小浪花，其中2019年日籍女工程師岩尾算到小數點後31.4兆位數是一個旅程碑。

　　第7章雖然和計算圓周率沒有直接關係，主要是要強調，古人計算圓周率與根號有關，而與根號息息相關的重要素養是配方法。這一章舉各種例子說明配方法的重要性，希望學生能重視配方法這個素養。