帕斯卡並不就此滿足，他借助德札爾格所發明的投射法，進一步推廣這個定理。假設一隻燈泡被一張開一個小孔的紙遮住，於是通過小孔射出一束圓錐狀的光線。若將一張紙伸到這束光線中去，那麼根據紙片角度的變化，在紙上能夠看到光束的邊界呈現不同的圖形：圓、橢圓、拋物線和雙曲線，這些均為圓錐曲線。帕斯卡發現，上述定理中圓內接六邊形的這種性質，若將圓換成其他的圓錐曲線，例如橢圓，同樣是正確的。如果在光束與紙片之間插進一塊玻璃，在玻璃上畫一個「神祕六邊形」，當光束穿過玻璃投射到紙面上的時候，出現的即為「神祕六邊形」的影子。這影子也是一個「神祕六邊形」，因為它的三對對邊的交點也在一條直線上。
 
帕斯卡發現這個有趣的定理那年才16 歲。依照德札爾格建議，聰明的帕斯卡環繞這個定理寫兩篇論文，將超過400 條有關圓錐曲線的定理，其中包括阿波羅尼奧斯及其他前人的成果，用投射法作了系統性總結，把它們歸納為少數幾條基本定理。論文所涉及的是與過去希臘幾何完全不同的全新領域─射影幾何。
 
這裡研究的圖形，它的線段長短及角度大小，在射影對應下可以不同，但是在射影對應中圖形的某些性質仍然保持不變。例如，將圓換成其他的圓錐曲線，其內接六邊形三對對邊的交點共線，性質始終保持一致。
 
可惜這兩篇珍貴的文稿從來沒有發表，而且旋即失傳；其中的一篇只有薄薄8 頁，題為《圓錐截線論》，在1779 年重新找到。德國數學家萊布尼茲曾經看到過它的手抄本，而且對帕斯卡的外甥談起過裡面的內容。笛卡兒在1640 年讀過這兩篇論文，可是他不相信，這樣出色的論文竟然會出自一個16歲的少年之手！
 
◆雙重折磨
 
年輕的帕斯卡卻必須為這一連串令人驚羨的成就付出沉重代價，通宵達旦的工作使得他的健康遭到極大損害。從17 歲起，他的生活幾乎每天都在難忍的病痛中度過，嚴重消化不良導致鑽心的胃痛，把他折磨得汗如雨下；長期的失眠，使得漫漫長夜成為可怕的惡魔。