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大自然的數學遊戲
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內容簡介

  看似千變萬化的大自然,卻處處充滿著「模式」。
  為什麼花瓣的數量,大都是五瓣或八瓣,而少有六瓣或七瓣?
  為什麼火山是錐形、星體是球形,而星系大都是橢圓形或螺旋型?
  東南亞的某種螢火蟲能成群同步發光,是誰在指揮牠們?
  風吹過沙丘,為何會讓沙子堆疊的有如波浪?
  自然界的模式,也能用來預測「蝴蝶效應」嗎?

  我們常用藝術與文學的角度欣賞自然,
  這回《大自然的數學遊戲》將賦予你數學家的眼睛,
  讓你看見,大自然究竟在玩什麼樣的數學遊戲。
 

作者介紹

作者簡介

史都華(Ian Stewart)


  全球著名的數學科普作家、科幻作家,英國沃里克大學(Warwick University)數學教授,研究專長在非線性動力學、混沌理論及應用。

  著作包括《大自然的數學遊戲》(天下文化出版)、《骰子能扮演上帝嗎?》(Does God Play Dice?)等書。

  史都華在1995年,獲頒英國皇家科學院的「法拉第獎章」(Michael Faraday Medal),表揚他推動科普的傑出貢獻;2001年獲選為英國皇家學會院士。

譯者簡介

葉李華


  1962年生於高雄。台灣大學電機系畢業,美國加州大學柏克萊分校理論物理博士。自1993年起,即全心投入科普與科幻推廣工作,十數年如一日。曾獲中國時報張系國科幻小說獎首獎、吳大猷科學普及著作獎翻譯類銀籤獎。著有科幻小說《時空遊戲》、「衛斯理回憶錄系列」,科普譯作包括、《大霹靂》、《胡桃裡的宇宙》等十餘種,科幻譯作包括艾西莫夫「基地系列」、「帝國系列」等近二十種。
 

目錄

序 模式、模式、處處皆模式 李國偉
開場白 虛擬幻境機
第一章 大自然的秩序
第二章 數學能做什麼?
第三章 數學是什麼?
第四章 變與不變
第五章 從小提琴到電視機
第六章 因為失稱的緣故
第七章 噠噠的馬蹄聲
第八章 骰子扮演上帝嗎?
第九章 液滴、狐與兔、花瓣
結 語 開創形態數學
附 錄 名詞注釋
延伸閱讀

 
 



模式、模式、處處皆模式
李國偉


  在這本書中,pattern是很關鍵的字眼,但是如何翻譯它卻是很傷腦筋的事。如果你翻開字典,大概多數解釋成「圖案、花樣、式樣、典型」。你可以想像一面龐大的牆,上面貼著美麗的壁紙,壁紙總可以從一塊印好特別設計圖畫的區域出發,再把圖畫反覆向四方擴散開來。這就是pattern的一種最具代表性的具象意義。

  壁紙在視覺上帶來的規則性,就反映在圖案、花樣、式樣這些字眼裡。反過來當我們讀到這些字眼時,心裡便自然興起某種圖形的條理。但是我們現在需要把心理的認知向更抽象的層次提升,pattern標誌了物件之間隱藏的規律關係,而這些物件並不必然是圖畫式的,也可以是數字、抽象的關係、甚至思維的方式。

  總而言之,pattern與規律性是密不可分的,它強調的是形式上的規律,而非實質上的規律。譬如說兩個蘋果的組成化學成分相當雷同,但是pattern的規律表現在它們長的樣子類似。

  用圖案、花樣、式樣這些字眼翻譯pattern,似乎過於具象,但如果新造一些名詞,像「形樣」、「樣形」,或前面的「形」字都改成「型」字,讀者恐怕很難適應,也不容易掌握它的意思。因此我們採取中國大陸上專家討論這方面理論,已經漸漸約定俗成的翻譯法,把pattern譯作「模式」。

  數學的世界

  「模式」其實也是一個舊瓶,不過經由本書,讀者可以品嚐到它所容納的新酒,而且好像除了它,別的瓶子還不太容易裝這種新酒。

  所謂的新酒,也就是本書所要傳達的核心觀念,就是說數學是研究模式的科學。

  在巴比倫的時代,人已經會用數字記帳了。在古埃及的時代,丈量尼羅河氾濫後的田界,已經發展出幾何學。所以數學很久以來,被認為是研究「數」與「形」的學問。十七世紀牛頓(Isaac Newton, 1642-1727)與萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)發明微積分,開始有能力掌握變動的量。函數與變換的概念,也因而日漸成長為數學裡重要的結構。這種比「數」與「形」更抽象的概念一旦成為數學研究的對象,人類創造各類抽象對象的限制似乎完全消失。數學的世界充滿了不具實存意義的物件,可是它們之間的規律,又持有比物理世界更絕對的確定性。

  因此到了現代,數學已經遠超出研究「數」與「形」的範圍。如何刻劃數學研究的對象與特性,成為一個值得令人重新深思的課題。「模式」便是在這樣一種知識發展的背景中,被提出並且賦予統合意義的說法。

  風吹草低見牛羊

  本書的作者史都華是一位有成就的數學家,更練就一枝生花妙筆,在很多地方傳播數學的新知。他可能是繼《科學人》(Scientific American)雜誌「數學遊戲」專欄作家葛登能(Martin Gardner,《跳出思路的陷阱》及《啊哈!有趣的推理》作者)之後,寫數學普及文章最多產、也最有影響力的一位作家。

  本書的特點在充分利用動力學,特別是非線性動力學的實例,說明模式的無所不在。這些數學的成果雖然是非常晚近的進展,但是像碎形、混沌等等新名詞,都能在極短時間內俘虜了大眾幻想的心。

  自來水龍頭滴下的水滴,到底是以什麼過程與形式落下?馬匹奔騰的四蹄,到底什麼樣的順序與節奏邁進?環繞樹枝生長的葉片,到底按照什麼規則一圈圈伸展開來?這些現象都是日常生活中最容易看到的,但是它們背後的動力學成因,卻到最近幾年才搞清楚。如果你不看這本書,恐怕還不敢相信很普通的模式,卻具有極奧妙的產生機制。

  「天蒼蒼,野茫茫,風吹草低見牛羊。」你可以想像一枝枝草葉在風中擺盪的情景,但是巨大數量的草葉個別的運動狀態,簡直無法精確描述。然而牧草的原則,卻又像浩瀚的海洋,葉尖在風行下會如波浪般有規則、有韻律的起伏。因此一旦尋找到適當的尺度,就有可能發現形態或運動的規律模式。當代的數學仍在努力尋找恰當的語言與工具,去表達與發掘更深刻的模式。作者所倡議的新數學——「形態數學」(morphomatics),恐怕是我們別無選擇、非得邁進的道路。

——一九九六年三月於中央研究院
(本文作者曾為中央研究院數學研究所研究員、總辦事處處長、中正大學哲學研究所教授)
 

詳細資料

  • ISBN:9789865259457
  • 叢書系列:科學文化
  • 規格:平裝 / 272頁 / 14.8 x 21 x 1.36 cm / 普通級 / 單色印刷 / 初版
  • 出版地:台灣
 

內容連載

池塘中的漣漪
 
自然模式的對稱性到底從哪裡來呢?
 
讓我們試著想像一個靜止的池塘,它的表面光滑如鏡,可以把池塘視為一個數學的平面。而且池塘的面積也足夠大,因此雖然具有邊界,仍然能設想成一個無限的平面。
 
假如我們將一顆石子丟進池塘中,就能看到一個模式——漣漪,也就是許多圓形的波紋,以石子落水的位置為中心向外擴散。我們全都看過這種景象,沒有人會感到驚訝。畢竟我們看到了起因:那顆石子。若是我們未曾看到石子,也沒有看到任何可能擾動水面的東西,那就一定看不到任何波紋,在我們面前的,只是一個平靜而光滑如鏡的池塘罷了。
 
池塘中的漣漪是失稱的一個例子。一個理想的數學平面擁有大量的對稱性,每一部分都與其他部分完全相同。我們可將這個平面沿著任何方向平移任何距離,繞著任何中心旋轉任何角度,或是利用任何「鏡線」來使它反射,最後它看起來仍會跟原來的一模一樣。
 
反之,圓形漣漪的模式擁有的對稱性就比較少了,它的對稱僅對應於繞著石子落水點的旋轉,以及通過該點的各個「鏡線」造成的反射。除此之外,再也沒有任何平移、旋轉或反射能使它保持不變。石子破壞了平面的對稱,也就是說在它擾動池塘之後,水面的許多對稱性都消失了。
 
不過,並非所有的對稱性都消失,這就是我們還能看到一個模式的原因。
 
然而,這些都沒什麼大不了,因為我們知道全都是那顆石子闖的禍。事實上,由於石子的落水,而使池塘中某一點的地位變得跟其他各處都不一樣,所以漣漪的對稱性正是我們預料中的結果。這些對稱剛好對應於不會挪動那個特殊點的變換。所以說,當漣漪出現時,池塘並沒有發生自發性的失稱,因為我們還能偵測到引起諸如平移對稱消失的原因。
 
假如一個光滑如鏡的池塘,在沒有任何明顯緣由的情況下,突然產生了一連串的同心圓波紋,那我們就會比較驚訝,甚至大感驚訝。我們會想到,也許是池塘裡的魚擾動了水面,或是的確有什麼東西掉了進去,只是由於飛得太快,所以我們沒注意到。

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